第十二章重积分

1、第第1212章章 重积分重积分一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算三、三重积分概念与性质四、三重积分的计算五、重积分的应用第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分概念三、二重积分性质柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶),(yxfz d1. 1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体曲顶柱体：曲顶柱体：),(yxfz d以曲面以曲面：z=f(x,y)为顶，为顶， 一般一般z=f(x,y)在在d上连续。上连续。以平面有界区域以平面有界区域d为底，为底，侧面是

2、柱面，侧面是柱面， 该柱面以该柱面以d为准线，为准线， 母线平行于母线平行于z轴。轴。求曲顶柱体体积的步骤如下：求曲顶柱体体积的步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyodi),(ii先分割曲顶柱先分割曲顶柱体的底，并取体的底，并取典型小区域，典型小区域，),(yxfz 播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 ),(iidi z =f (x, y)yxz(1) 分割分割) , ,2 , 1( :nidi 任任意意分

3、分割割(2) 近似近似iii ),(任任取取) ,2 , 1( ),(nifviiii， (3) 作和作和 niiii,fv1)( (4) 取极限取极限令令 直直径径ini 1max niiii,fv10)(lim i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(1iinii xyo2、求平面薄片的质量、求平面薄片的质量0lim m 定义定义1 设设f (x, y)是有界闭域是有界闭域d上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域d任意分成任

4、意分成n个小区域个小区域存在，则称其为存在，则称其为f (x, y)在在d上的上的二重积分二重积分，记为，记为二、二重积分的概念二、二重积分的概念其中其中i i表示第表示第i i个小区域，也表示它的面积。在每个小区域，也表示它的面积。在每个个任意取任意取 ( ( i i , , i i) ) ，作积、作和，若极限，作积、作和，若极限n,21 niiiif10),(lim dniiiifdyxf10),(lim),( ddyxf ),(iiniif ),(lim10称称为为积积分分和和. .) ), ,f f( (, ,达达式式称称为为被被积积表表y y) )f f( (x x, , ,x x与

5、与y y称称为为变变量量, ,为为面面积积元元素素称称d d, ,d d称称为为积积分分区区域域y y) )称称为为被被积积函函数数, ,其其中中f f( (x x, ,i in n1 1i ii ii i曲顶柱体体积曲顶柱体体积 dyxfv d),(对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明： dyxm d),(平面薄片的质量平面薄片的质量(1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是任意的。选取是任意的。(2) 当当 f(x , y )在闭区域上连续时，定义中和式的在闭区域上连续时，定义中和式的 极限必存在，即二重积分必存在。极限必存在，即二重积

6、分必存在。二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值。的负值。若位于若位于xoy面上方柱体的体积为正值；面上方柱体的体积为正值；位于位于xoy面下方柱体的体积为负值，面下方柱体的体积为负值，二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。 dddxdyyxfdyxf),(),( 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域d，dxdyd 故二重积分可写为

7、故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为积分变量积分变量二重积分的具体形式二重积分的具体形式dxdy ddsdttsf),(性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质 对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为d的面积，的面积，dddd1性质性质 若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),(

8、dddyxgdyxf 特别地特别地.),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 则有则有（比较定理）（比较定理） 设设m、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 d 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值， 为为 d 的面积，则的面积，则 性质性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域 d 上连续上连续, 为为 d 的面积，则在的面积，则在 d 上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 性质性质（积分中值定理）（积分中值定理） dmdyxfm),( ),(),(fdyxfd（估值定理）（估值定理）不作计算，估计不作计算，估计 deidyx )(22的值，其中的值，其中 d是

9、椭圆闭区域：是椭圆闭区域： 12222 byax )0(ab . 在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab.2aeab 区区域域 d的的面面积积 , ab例例1估估计计 dxyyxdi16222 的的值值，其其中中 d： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解例例2 判判断断 122)ln(yxrdx

10、dyyx的的符符号号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解例例3oxy121比较积分比较积分 ddyx )ln(与与 ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中 d 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点三顶点 各为各为(1,0),(1,1), (2,0). 例例4 4解解 三角形三条边的方程为三角形三条边的方程为2 2x xy y1,1,x x0,0,y ye e2 2y yx x在d内1在d内1 d1 1y)y)ln(xln(x 0d d y y) )

11、l ln n( (x xy y) )d d ( (x xl ln n有有dd2 2d d2 2y)y)ln(xln(xy)y)ln(xln(x 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似分割、近似、作和、取极限、作和、取极限”的方法，如下动画演的方法，如下动画演示示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似分割、近似、作和、取极限、作和、取极限”的方法，如下动画演的方法，如下动画演示示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割

12、、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似分割、近似、作和、取极限、作和、取极限”的方法，如下动画演的方法，如下动画演示示返回返回第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一、直角坐标系下的计算方法二、极坐标下的计算方法如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一

13、、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,zyx)(1xy)(2xyab)()(,| ),(21xyxbxayxd x型型 )()(21),()(xxdyyxfxa baxxd

14、xdyyxfv),()()(21 ddxdyyxf),( baxxdyyxfdx)()(21),( 先对先对y y后对后对x x的二次积分的二次积分在在d内任取一点内任取一点x,作平行于作平行于 yoz 面面的截面的截面.曲边梯形曲边梯形yxzabxydyy ),(yxf badxxav)(.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx dy型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界

15、相交不多于两个交点.二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式小结小结.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf y型型x型型注注:(1)如果如果d 既是既是x 型域又是型域又是y 型域型域,则则 baxxdyyxfdx)()(21),( dcyydxyxfdy)()(21),( (2).如果如果d 既不是既不是x 型域又不是型域又不是y 型域型域,则用平行于坐标轴的则用平行于坐标轴的 直线将直线将d 分成若干子域分成若干子域,利用积分的可加性进行计算利用积分的可加性进行计算.选择积分域和积分次序

16、是计算的关键选择积分域和积分次序是计算的关键例如例如:1d3d2d分块越少越好分块越少越好第一次积分要易于计算第一次积分要易于计算.321 dddd11解解: (1) 画图求交点画图求交点xy 2xy x型型, 10 xxyx 2 xxdyyxdxi2)2(10y型型10 y,yxy yydxyxdyi)2(10 xxyyxdx2| 2)2(102 ddxdyyx22xy xy1 2 x21x型型, 21 xxyx 1 xxdyyxdxi12221dxyxxx1212| )1( dxxxx 212)1( dxydxdyye1 x1 yxy2 y型型21 y2,21yx yxydxyedyi21

17、21 yxydxyedy2121 2121|dyeyxy 212)(dyeey dydxdyxe22xy 1 y1y型型10 y,0yx yydxxedyi0102 1002)|21(2dyxeyy 10221dyyey 3234032xxyydyedx,340 x32xyx 2xy 343xy 32y型型320 y,232yxy yyyydxedyi23320232 3202)32(32dyyyeyy 28220),(yydxyxfdy20 ,822 yyxyyx2 28yx 2222x型型1d2d21ddd 20 , 20:21xyxd 2280 ,222:xyxd 21ddi122 yx

18、422 yxx型型1d2d3d4d4321ddddd :1d, 12 x2244xyx :3d, 11 x2241xyx 性质性质8 8则则奇奇函函数数, ,关关于于变变量量x x( (或或y y) )为为y y) )且且f f( (x x, ,轴轴对对称称, ,区区域域d d关关于于y y( (或或x x) )积积分分存存在在, ,的的二二重重y y) )在在有有界界闭闭区区域域d d上上, ,1 1) )若若二二元元函函数数f f( (x x则则偶偶函函数数, ,关关于于变变量量x x( (或或y y) )为为y y) )且且f f( (x x, ,轴轴对对称称, ,区区域域d d关关于于

19、y y( (或或x x) )积积分分存存在在, ,的的二二重重y y) )在在有有界界闭闭区区域域d d上上, ,2 2) )若若二二元元函函数数f f( (x x0),( ddyxf 21),(2),(2),(ddddyxfdyxfdyxf 例例为半径的圆域.为半径的圆域.为以原点为中心,以r为以原点为中心,以r其中d其中d, ,)d)d y ysin(xsin(x) )y ysin(xsin(x计算i计算id d3 32 22 23 3xyo) )关关于于y y为为奇奇函函数数, ,y ys si in n( (x x函函数数, ,) )关关于于x x为为奇奇y y连连续续函函数数s si

20、 in n( (x xx x轴轴都都对对称称. .d d关关于于y y轴轴显显然然, ,解解3 32 22 23 3dddd3 32 22 23 30 0)d)d y ysin(xsin(x0,0,)d)d y ysin(xsin(x所以有所以有0 0i i从而有从而有.),( ddyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分在极坐标系中在极坐标系中,设设d的边界与过极点的射线相交不多于两点的边界与过极点的射线相交不多于两点,用过极点的射线和以极点为圆心的圆周将用过极点的射线和以极点为圆心的圆周将d分成若干子域分成若干子域,如图可知如图可知: d dddf )sin,cos

21、( d d d ddd .)sin,cos()()(21 dfd ado)(1 )(2 dddf )sin,cos(1)区域特征如图区域特征如图, ).()(21 注注:.只研究先对只研究先对 后对后对 的积分次序的积分次序; 区域特征如图区域特征如图, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd dddf )sin,cos(aod)(2 )(1 aod)( .)sin,cos()(0 dfd区域特征如图区域特征如图, ).(0 dddf )sin,cos(2).如果如果d是曲边扇形是曲边扇形: dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd极坐标系下区域的面

22、积极坐标系下区域的面积. ddd 区域特征如图区域特征如图).(0 doa)( ,2 0(3).如果如果d包含极点包含极点:二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式小结小结 dddf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 dfd )(0)sin,cos( dfd.)sin,cos()(020 dfd注意注意:下列情形适合用极坐标计算下列情形适合用极坐标计算(1).积分区域适于极坐标表示积分区域适于极坐标表示,例如例如:圆圆,圆环圆环;(2).被积函数形如被积函数形如 ;)(22yxf (3).用直角坐标系计算不出时用直角坐标系计算不出时. 例例1 1 计算计算 d

23、dxdyyx)4(224:22 yxd20 ,20: d ddxdyyx)4(22 ddd )4(2 20320)4( dd dyxyx dsin. 22222例例41:22 yxd21 ,20: d. 4dsind2120 dyxyx dsin2222 dxy darctan. 3例例围成的第一象限的区域围成的第一象限的区域为为0, 4122 yxyyxd21 ,40: d dxy darctan.643dd22140 2140dd 1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosyx1sincos 直线方程直线方程1 1cossin1,20: d解解32 61 sin4 si

24、n2 yyx422 yyx222 03 yx03 xy3xy xy3 sin4sin2 ,36: d解解dxdyedyx 22 aded0202 ).1(2ae 解解0,| ),(2221 yxryxyxd0,2| ),(2222 yxryxyxd0 ,0| ),(ryrxyxs 显显然然有有 21dsd , 022 yxe 122dyxdxdye syxdxdye22.222 dyxdxdye1d2dss1d2drr2 rxrxdxedxe0022lim又又 syxdxdyei22 ryrxdyedxe0022;)(202 rxdxe 1i 122dyxdxdye);1(42re 同理同理

25、2i 222dyxdxdye);1(422re 0 ,0| ),(ryrxyxs );1(4)()1(4222220rrxredxee ,41 i,42 i,4 i,21iii );1(4)()1(4222220rrxredxee xyz2a2ad2224yxaz axyxd4:22 dzdxdyv2 122244ddxdyyxa第三节第三节 三重积分的概念与性质三重积分的概念与性质一、问题的提出二、三重积分概念三、三重积分性质变密度物体的质量变密度物体的质量一、问题的提出一、问题的提出设物体位于空间有界闭域设物体位于空间有界闭域 上上,密度为连续函数密度为连续函数 .),(zyx iv (1

26、) 分割分割nvvv ,21(2)(2)近似近似iiiiivm ),( (3)(3)求和求和iiiinivm ),(1 直直径径iniv 1max (4)(4)取极限取极限 niiiiivm10),(lim 定义定义1 设设f (x, y,z)是有界闭域是有界闭域上的有界函数，上的有界函数，将闭区域将闭区域任意分成任意分成n个小区域个小区域存在，则称其为存在，则称其为f (x, y,z)在在v上的上的三重积分三重积分，记为，记为二、三重积分的概念二、三重积分的概念nvvv ,21 niiiiivf10),(lim niiiiivfdvzyxf10),(lim),( 其中其中 v vi i表示第

27、表示第i i个小区域，也表示它的体积。在每个小区域，也表示它的体积。在每个个任意取任意取 ，作积、作和，若极限作积、作和，若极限),(iii dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 称称为为积积分分和和. .v v) ), , ,f f( (, ,达达式式d dv v称称为为被被积积表表z z) )y y, ,f f( (x x, , ,z z称称为为变变量量y y, ,x x, , ,积积元元素素为为v v称称d d, ,v v称称为为积积分分区区域域z z) )称称为为被被积积函函数数, ,y y, ,其其中中f f( (x x, ,i in n1 1i ii ii ii i

28、 体体变密度空间立体的质量变密度空间立体的质量 dvzyxm),( 对三重积分定义的说明：对三重积分定义的说明： dvv则则(1) 三重积分的定义中，对闭区域的划分和介点三重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是任意的。选取是任意的。(2) 当当 f(x , y,z )在闭区域上连续时，定义中和式的在闭区域上连续时，定义中和式的 极限必存在，即三重积分必存在。极限必存在，即三重积分必存在。, 1),( zyxf若若dzdxdyzyxfdvzyxf ),(),()3(性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( dvzyxfkdvzyxkf性质性质 dvzyxgzyxf),(),(.),

29、(),( dvzyxgdvzyxf（三重积分与二重积分有类似的性质）（三重积分与二重积分有类似的性质）三、三重积分的性质三、三重积分的性质性质性质 对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 dvzyxfdvzyxfdvzyxf性质性质若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),(dvzyxgdvzyxf )(21 性质性质5|),(),(vfdvzyxf 第四节第四节 三重积分计算三重积分计算一、在直角坐标系计算三重积分一、在直角坐标系计算三重积分二、在柱坐标系计算三重积分二、在柱坐标系计算三重积分三、在球坐标系计算三重积分三、在球坐标系计算三重积分一、直角坐标系中将三

30、重积分化为三次积分一、直角坐标系中将三重积分化为三次积分xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx,dxoy 面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs 1 1 若积分区域若积分区域为为 z z 型区域型区域的边界曲面的边界曲面与平行于与平行于 z z 轴轴的直线相交不多于两点的直线相交不多于两点. .),(),(21yxzzyxz dyx ),(: dyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(若若d是是x型域型域 ),(),()()(2

31、121),(yxzyxzxyxybadzzyxfdydx先对先对z后对后对y再对再对x的三次积分的三次积分同理同理,可将可将 投影到投影到 yoz 面或面或 zox 面上面上,使三重积分化成其他顺使三重积分化成其他顺序的三次积分序的三次积分: dxzyxzydzdxdyzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),( dzyxzyxdydzdxzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(),(),(),(21dyxyxzzyxz 例例1 1 计算计算 xdxdydz解解,210 , 10:xyx 其中其中 由三个坐标面及由三个坐标面及12 zyx 围成围成481 将将 向向

32、 xoy 面作投影面作投影,则则 yxxxdzdydxxdxdydz21021010 21010)21(xdyyxxdx 1032)2(41dxxxx.xyz1121yxz210 12 yx 例例2 2 计算计算 xyzdxdydz其中其中 由坐标面和球面由坐标面和球面 所围成的第一卦限所围成的第一卦限的区域的区域1222 zxyxyz0, 0, 1:22 yxyxdxy解：解：.2210yxz xydyxxyzdzdxdyxyzdxdydz2210 101010222yxxzdzydyxdx 例例3 3 计算计算 dxdydzzx22其中其中 由由 及及422 yzxy围成围成 dxdydz

33、zx22),(),(),(:21xzdzxzxyyzxy 4yxz., 4:22 yzx解：解：422 zx422 zx xzdzxdyzxdxdz42222 xzddxdzzxzx2222)4( dyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(11),(),( dzyxzyxdydzdxzyxfdxdydzzyxf),(),(11),(),( dxzyxzydzdxdyzyxfdxdydzzyxf),(),(11),(),(是奇函数是奇函数关于关于对称，对称，关于关于zzyxfxoy),()1( 是奇函数是奇函数关于关于对称，对称，关于关于xzyxfyoz),()2( 是奇

34、函数是奇函数关于关于对称，对称，关于关于yzyxfxoz),()3( 满足上述特点的积分值为零满足上述特点的积分值为零2 2 截面法的一般步骤截面法的一般步骤z,)1(轴）轴）向坐标轴投影（如向向坐标轴投影（如向将将z ,21ccz 得得到到投投影影区区间间，的平面去截的平面去截面面点且平行于点且平行于，用过，用过对对 xoyzccz,)2(21zd得一截面得一截面 zddxdyzyxf),()3(先计算先计算其结果为其结果为z z的函数的函数f(zf(z) ) 即即得得三三重重积积分分的的值值。最最后后计计算算单单积积分分 21)()4(ccdzzf),(),(21 zdccdxdyzyxf

35、dzdxdydzzyxf zdxdydz,10 zddxdyzdz0, 0,1| ),( yxzyxyxdz)1)(1(21zzdxdyzd 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111zyx 1dvez 2)2(xyz22 , 0 z解：解：zdzyxdz24:22 22)2(20)2( zdzzdxdyedzdve20)2(2 zdzdxdydze 20)2()24(2dzzez : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zdccdxdydzzxyzozd解解)1()1(222222czbczadxdyzd ),1(22czab ccdzzcza

36、b222)1(.1543abc | ),(yxdz 1222222czbyax 原式原式二二、利用柱面坐标系计算三重积分、利用柱面坐标系计算三重积分柱面坐标系实际上是平面直角坐标系加上柱面坐标系实际上是平面直角坐标系加上z轴构成轴构成描描述述来来可可用用则则点点点点的的极极坐坐标标为为是是平平面面上上的的投投影影点点在在设设空空间间点点),(m),(,),(zrrppxoyzyxm xyzo),(zyxm),(rpr zzryrx sincos1关系关系、柱坐标与直角坐标的、柱坐标与直角坐标的为常数为常数r为常数为常数 2、柱坐标系的三坐标面分别为、柱坐标系的三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平

37、面；半平面；xyzox zyo zrzr 200,3的的变变化化范范围围、规规定定xyzo为常数为常数z平平 面面 dxdydzzyxf),(故故.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd、体体积积元元的的关关系系4dzrdrddv dzdrrd高高为为底底面面积积近近似似看看作作高高体体积积底底面面积积 例例1的闭区域。的闭区域。所围成所围成和旋转抛物面和旋转抛物面球面球面由上半由上半其中其中计算三重积分计算三重积分2222332,)(yxzyxzdvzyx 解解 积分区域如图所示积分区域如图所示 20102:22 rrzr表表为为所所以以积积分分区区域域122

38、 yxxoy域是域是面上的投影区面上的投影区在在由重积分性质由重积分性质9,9,有有 1042201022033127)2(21022 drrrrdzdzrdrdzdvidvydvxrr面面对对称称关关于于是是奇奇函函数数，分分别别关关于于xozyozyxyx,33 例例计算计算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得， 旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2d

39、, 422 yx.222020:22 zrr:1d,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2d1d,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii 12821drfdzrdrdi,345 22222drfdzrdrdi,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd三、利用球坐标计算三重积分三、利用球坐标计算三重积分所所表表示示的的意意义义如如右右图图来来表表示示也也可可用用点点为为空空间间点点设设 ,),(,),(rrmzyxmpxyzo),(zyx

40、mr zyxa cossinsincossin1rzryrx标标系系的的关关系系、球球坐坐标标系系与与直直角角坐坐为常数为常数r为常数为常数 圆锥面；圆锥面；球球 面；面；2 2、球面坐标系的三组坐标面是、球面坐标系的三组坐标面是xyzoxyzo的可取值范围的可取值范围、规定、规定 ,3r,r 0,0 .20 为常数为常数 半平面半平面x zyo4 4、体积元的关系、体积元的关系 drxyzodr dsinr rd d d sinr高高体积底面积体积底面积 drdrrd高为高为长为长为另一底边另一底边一底边长一底边长,sin, ddrdrdvsin2 dvzyxf),(故故 ddrdrrrrf

41、sin)cos,sinsin,cossin(2例例3 3区域。区域。所围成的空间所围成的空间和锥面和锥面是由球面是由球面其中其中计算三重积分计算三重积分 )0(2,)(222aazzyxdvzyx解解如如图图积积分分区区域域 面面对对称称关关于于由由于于xozyoz, 200cos20: ar0 ydvxdv ddrdrrzdvdvzyxsincos)2（故故 cos203020sincosadrrdd 054sincos8da)cos1(3463 a小结小结三重积分有三种坐标系，选择坐标系三重积分有三种坐标系，选择坐标系的一般原则是的一般原则是则则选选柱柱坐坐标标计计算算。或或或或区区域域有

42、有、如如果果被被积积函函数数或或积积分分),(1222222zxzyyx 球球坐坐标标系系。则则选选用用区区域域有有、如如果果被被积积函函数数或或积积分分,2222zyx 选选用用直直角角坐坐标标系系。便便计计算算时时、前前两两种种坐坐标标系系都都不不方方,3第五节第五节 重积分的应用重积分的应用一、求曲面的面积二、物体的质心三、物体的转动惯量四、引力五、广义重积分一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx若要计算的某个量若要计算的某个量u对于闭区域对于闭区域d具有可加性具有可

43、加性(即当即当闭区域闭区域d分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量u相应地分相应地分成许多部分量，且成许多部分量，且u等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭，并且在闭区域区域d内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，相应时，相应地部分量可近似地表示为地部分量可近似地表示为 的形式，其的形式，其中中 在在 内这个内这个 称为所求称为所求量量u的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 ddyxfu ),(du实例实例一颗地球的同步轨道通讯一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆

44、轨道通内，且可近似认为是圆轨道通讯卫星运行的角速率与地球自转讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在的角速率相同，即人们看到它在天空不动若地球半径取为天空不动若地球半径取为r，问卫星距地面的高度问卫星距地面的高度h应为多少？应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？通讯卫星的覆盖面积是多大？二、曲面的面积二、曲面的面积卫星卫星hoxz 设曲面的方程为设曲面的方程为：),(yxfz ,dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxms .dsdadadsszd 则有则有，为为；截切平面；截切

45、平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxmdaxyzso,面上的投影面上的投影在在为为xoydad ,cos dad,11cos22yxff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyaxydyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxazxdxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzayzdzxyx

46、例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa ),(yx 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐

47、标为的坐标为 niiniiiymxmmmx11， niiniiixmymmmy11三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymi12， niiiyxmi12.

48、四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxidy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 几何应用：曲面的面积几何应用：曲

49、面的面积物理应用：质心、转动惯量、引力物理应用：质心、转动惯量、引力六、小结六、小结定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分第第1313章章 第一型的曲线积分与曲面积分第一型的曲线积分与曲面积分一、第一型曲线积分二、第一型曲面积分三、应用 第一节第一节 第一型的曲线积分第一型的曲线积分一、第一型曲线积分的概念性质二、第一型曲线积分的计算三、应用一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :不均匀曲线的质量不均匀曲线的质量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l. sm 均匀曲线的

50、质量均匀曲线的质量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取极限取极限.),(lim10 niiiism 精确值精确值近似近似),(yx 二、第一型曲线积分的概念定义定义 设设f(x,y)f(x,y)是定义在曲线是定义在曲线l l上的有界函数上的有界函数, ,将将l l任任意分成意分成n n个子弧段个子弧段iimm1 ，其长度记为，其长度记为is 设设maxis 在每个子弧段上任取一点在每个子弧段上任取一点),(ii iiniisf ),(1 作和式作和式 如果当如果当00时，这和式的极限存在时，这和式的极限存在, ,且极限

51、值不依且极限值不依赖于对赖于对l l的分法的分法, ,也不依赖于也不依赖于 在子孤段上的在子孤段上的取法取法, ,则称此极限值为函数则称此极限值为函数f(x,y)f(x,y)在曲线在曲线l l上对弧长上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分的曲线积分或第一类曲线积分, ,记为记为),(ii iiniisf ),(lim10 ldsyxf),(.),(lim),(10 niiiilsfdsyxf 被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式（1）不均匀曲线的质量）不均匀曲线的质量.),( ldsyxm , 1),()2( yxf. ldsl,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的

52、的表表示示立立于于当当yxlyxf. ls柱柱面面面面积积sl（4）推广）推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf ),(yxfz dsdsyxf),(定理定理1.（存在条件）：（存在条件）：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 ldsyxflyxf注意：注意：.),(),( ldsyxflyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数性质性质 .),(),(),(),()1( llldsyxgdsy

53、xfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf).(21lll (4)对称性对称性 若平面曲线若平面曲线l关于关于y轴对称，函数关于轴对称，函数关于 x为为 偶函数，则偶函数，则 ldsyxf),( 1),(2ldsyxfl1是在是在y轴右侧的部分弧。轴右侧的部分弧。 若平面曲线若平面曲线l关于关于y轴对称，函数关于轴对称，函数关于 x为为 奇函数，则奇函数，则 0),( ldsyxf三、第一型曲线积分的计算法三、第一型曲线积分的计算法1.设曲线设曲线l的参数方程为的参数方程为x=x(

54、t），），y=y(t）（）（t）则则dttytxtytxfdsyxfl)()()(),(),(22 注意：定积分的下限注意：定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限。2.设曲线设曲线l的方程为的方程为 y=y(x）（）（axb）视为特殊的参数方程视为特殊的参数方程: x=x，y=y(x）（）（axb）dxxyxyxfdsyxfbal )(1)(,),(2.)(:dycyxl .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl )(dc 3.设曲线设曲线l的方程为的方程为)(),( dfdsyxfl)()(sin,cos),(22 推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()

55、()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf解解l：x=rcost ，y=rsint （0t）由公式由公式 202222cossincosdttrtrtrxdsl例2 计算 其中其中l为连接为连接o(0,0),a(1,0),b(0,1) 的闭折线的闭折线 ldsyx)(因为因为l=oa+ab+bo所以所以例例1 计算计算 lxds其中其中l是是 的上半圆弧的上半圆弧222ryx 2020costdtr解解 boaboaloaboa: )10(0 xy2101)0()(10 dxxdsyxoaab:)10(1 xxy2)1(1)1()(102 dxxxdsyxab21)( bo

56、dsyx同理同理于是于是12)( ldsyxoab例例3 计算计算 ldsyx22其中其中l是是axyx 22o 122222lldsyxdsyx解：由对称性解：由对称性1l2, 0,cos:1 al 20221 ldsyx cosa d)()(22 202cos da例例4)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求azayaxxyzdsi解解.223ka adaa2sincos2 20iazayax )( ,cos)( ,sin)( 22222cossinaaads a2 例例5 . 0,22222zyxazyxdsxi为圆周为圆周其中其中求求解解由对称性由对称性, 知知.22

57、2 dszdsydsx dszyxi)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa,)1(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx.,22 lylxdsyidsxi 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标)2(., lllldsdsyydsdsxx 四、物理应用四、物理应用例例7oxy求求ix解：微元法分析解：微元法分析dsxydmydix2 dsy 2 lxdsyi2 ,:rl drix222)sin( dr 23sin1.若已知双纽线若已知双纽线 )44(2cos22 a其上任一点处的密度，等于该点到原点的距离，其上任一点处的密度，等于该点到原点的

58、距离，求：该双纽线关于极轴的转动惯量。求：该双纽线关于极轴的转动惯量。 lxdsyxyi),(2 解：解：22),(yxyx lxdsyxyi222)44(2cos:22 al)20)(cos1(),sin( ttayttax),(yxx 2.已知摆线已知摆线上任一点上任一点（1）该摆线弧的质量；）该摆线弧的质量；（2）该摆线弧的质心坐标；）该摆线弧的质心坐标；（3）该摆线弧关于）该摆线弧关于轴的转动惯量。轴的转动惯量。处密度等于该点的纵坐标，试求处密度等于该点的纵坐标，试求：yyxu ),(解：摆线上任一点解：摆线上任一点(x,y)处的密度为处的密度为 （1）质量：）质量：syxumld )

59、,( syld .),(,),()2(mdsyxyymdsyxxxll 质心：质心： 小结小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用思考思考对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？is is 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度. 第二节第二节 第一型的曲面积分第一型的曲面积分一、第一型曲面积分的概念性质二、第一型曲面积分的计算三、应用一一. .第一型第一型曲面曲面积分的概念与性质积分的概念与性质引例引例 非均匀曲面

60、的质量非均匀曲面的质量设有一设有一曲面曲面，上各点的上各点的面面密度密度(x,y,z(x,y,z) )在在上连上连续，求续，求的质量的质量m m. .若若面面密度是常数密度是常数， 则则m=sm=s当当面面密度是变量密度是变量(x,y,z(x,y,z) )时时, ,分割分割近似近似求和求和取极限取极限iiiniism ),(1 iiiniism ),(lim10 )(maxisd iiiism ),( nissss ,21is ),(iii 定定义义iiiniisfdszyxf ),(lim),(10 iiiniisf ),(1 作和作和式式 设设f(x,y,z)f(x,y,z)是定义在是定义