第六章压杆稳定

1、第六章 压杆稳定 6-1 引言1、构件失效形式存在三种失效强度失效：构件最大应力超过许 用应力。刚度失效：变形量超过许用变形。稳定性失效：杆件受轴向压力， 逐渐增大压力p，当p达到一定时，杆突然向侧向弯曲，失去继续承载称为稳定性失 效，简称失稳。2、本章研究重点掌握杆件失稳前所承受的最大载荷即临界载荷计算公式和临界应力计算式及压杆稳定性校核。了解影响压杆临界力的主要因素及提高稳定性的主要途径。6-2 压杆稳定的基本问题一、问题提出直杆承受轴向载荷其破坏有两种强度屈服破坏失稳破坏例如：对于一个长l，截面尺寸为bt = 102 mm2 矩形截面杆。屈服强度s =235mpa，求使之屈服所需力ann

2、= sa=20 235=4700(n)但对某一长度压杆，使之失稳的轴向力只需100n，并且杆越长，所需轴向力越小。二、平衡的稳定性平衡稳定性稳定平衡不稳定平衡随遇平衡1、稳定平衡如图：小球受一瞬间推力，小球在凹面往复摆动，最后总停在最低位置点，位能极小，属于稳定平衡。f2、不稳定平衡如图：凸面小球加一瞬间推力，小球沿表面滚下，无法回到原位置，凸面上小球处于不稳定平衡。3、随遇平衡如图：平面小球受到瞬间水平力作用，位能不变，其停止位置是不确定的，其平衡是随遇平衡。fggr判断三种平衡方法： 稳定平衡物体受一微小侧向力，物体经几次位置变动后，又静止于初始位置物体初始处于稳定平衡。不稳定平衡物体受一

3、微小侧向力作用后，运 动就不停止了，再也回不到初始 状态物体初始处于不稳定平衡。 随遇平衡物体受一力作用，运动一段后，又静止于某一位置，位置是不定的物体初态是随遇平衡。三、刚性压杆稳定性问题如图：一刚性cd杆上端连有两个弹簧，刚度k，杆轴向压力p，d端固定铰支座。dcpxcdffpxx在c端加一微小侧向力f，使c端偏转，位移x，杆上端受力图。c端受左弹簧推力fx ，右弹簧拉力fx 及压力p两弹簧使杆恢复到垂直位置，恢复力矩 m1 = 2kx压力p使杆倾斜，倾斜力矩m2 m2 = px当m1 m2 ，杆运动几次后 最终处于平衡 杆处于稳定平衡。当m2 m1 ，杆受到瞬间侧向力作用就会连续 倾斜。

4、当m1 = m2 ，杆受到瞬间侧向力作用后，倾斜 一定角度后，就处于稳定状态。 此时cd杆处于稳定平衡与不稳定 平衡之间临界状态。 此时载荷p临界载荷。如图：一理想压杆，杆件受压力p作用。逐渐增加p，压杆发生的现象1、压力p从0逐渐增加，当压力p小于某极限plj时，杆始终保持直线，即使杆侧向受一微力作用发生微小弯曲，外力去除后，杆又恢复直线，p plj ，压杆是稳定平衡。p2、当压力p达到某极限plj时，杆受一侧向微力杆变弯曲，撤去外力 杆仍弯曲，当p=plj时，压杆处于随遇平衡， plj称为临界压力。又称使压杆保持直线的最大轴向力或使压杆变曲线的最小力。3、杆失稳后，在plj压力作用下，压杆

5、逐渐弯曲。6-3 两端球铰支座细长压杆的临界压力plj 一、临界压力计算式推导如图（1）：一端固定铰支，一端滑动铰支，受轴向力plj作用， plj为使压杆保持微小弯曲平衡的最小轴向压力，杆件微弯曲平衡如图（2），变形量为yplj( 1 )pljy( 2 )plj用截面法在杆上任一位置截开，分离体受力图（3）yplj( 3 )n=pljm(x)xn = plj ，m(x)= plj y，挠度y为负挠曲线微分方程：eimyx)( eipyy 令0 pyeiyeipk 20 2yky截开截面存在内力n及弯矩m(x)方程通解：y=c1 sinkx+c2 coskx 边界条件： x=0，y=0 得 c2

6、 =0，x=l，y=0即 y=c1 sinkl=0c10，sinkl=0，kl=n(n=0,1,2 )nleip222leinpn=0 p=0，与原假设相反，不成立使p最小，n=122minleipplj此式称为欧拉公式n=1时，lkxlcysin1正弦波曲线两端铰支压杆临界状态挠曲线为半个正弦波曲线如图：lyx6-4 其它支座条件下细长杆的临界压力plj工程上两端约束最典型有四种情况：两端铰支一端自由 一端固定一端铰支 一端固定两端固定两端铰支约束压杆受力模型一端自由一端固定约束受力模型一端铰支一端固定约束受力模型两端固定约束受力模型pppp这四种约束的压杆临界压力计算， 采用相当长度法相当

7、长度法在压杆某一相当长度内任何约束压杆 其失稳挠曲线均为半波正弦曲线，由此将其它约束压杆转化为两端铰支压杆，利用欧拉公式计算临界压力。例：一端固定，一端自由杆，其失稳挠曲线为半波正弦曲线。如图：则半波正弦曲线长2l，与2l长两端铰支压杆失稳挠曲线相同。2l为此种约束的相当长度。两端铰支的2l压杆，失稳临界压力plj22)2( leiplj2lpl由此得到其它约束情况压杆临界压力：22)( leiplj欧拉公式一般表达式l压杆相当长度 长度系数四种约束的取值：两端铰支：=1，一端自由一端固定： =2一端铰支一端固定：=0.7，两端固定： =0.5越大，plj越小，越易失稳，工程上尽可能固支。例题

8、：如图，已知 ef为刚性轴，端部受力p，受两细长杆ab,cd支承，ab,cd抗弯刚度ei，求结构最大允许载荷。abcdefpla/2a/2a解：对ef杆进行受力分析，受力图pncdabrrnxy列平衡方程x=0y=0m(e)=0rx=0ry+nab+ncdp=0paanancdab22三个方程，四个未知数，属超静定问题，需补充方程。ab、cd压杆：各杆最大可承受载荷为临界载荷压杆失稳时仍具有承载能力，承载极限载荷为pljab杆承载极限 cd杆承载极限22leinab22leincdpaaleialei2222222243leip6-5 压杆的临界应力一、临界应力lj 由欧拉公式 得压杆临界应力

9、plj 22leiplj压杆临界状态时 杆截面的应力临界应力lj aleiapljlj22)(人为规定：i=i2a， i截面最小惯性半径aii 令 ，称为压杆柔度或压杆长细比物理意义：反映压杆长度l、约束条件、横截面尺寸及形状i对临界应力影响。il22elj欧拉公式另一种表达方式。注意：lj与压杆材料(e)、两端约束()、长度(l)、横截面积大小及形状有关。压杆局部削弱，压杆临界应力不变，对稳定问题不必考虑局部结构；但对强度问题，必须考虑局部削弱问题。如图：压杆横截面有一孔，其临界压力与无孔压杆相同。压杆存在两个惯性矩i时 如矩形截面，临界压力plj 计算式中i应取最小的i 如图：bh 123

10、1bhi 1232hbi phb二、欧拉公式适用范围欧拉公式由近似微分方程导出， 在小变形下服从虎克定律欧拉公式适用范围：lj p压杆临界应力不大于材料比例极限，此时压杆失稳为弹性失稳。如果 lj p，材料发生了塑性变形，不服从虎克定理 ，eimyx)( 不成立，欧拉公式也不存在。eimyx)( 只有当柔度 ，欧拉公式才成立。令 plje22pe2pe2ppe2当p 压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式成立。il计算当p 时临界压力计算公式成立特别注意：计算压杆临界压力plj或临界应力lj时首先计算 及如果 p ，则可应用)(ilppe222)( leiplj#三、中柔度压杆的临界公式1、直线公

11、式lj = ab a、b值是与材料性质有关常数。由a、b及 可计算出临界应力lj 临界压力plj = lj a直线公式适用范围：p lj = ab s ， 令basbass当s p 时，直线公式成立 即lj = ab用图表示个公式应用范围：sp短粗杆压缩强度失效问题中柔度杆失稳问题细长杆失稳问题 =ljs =a-b =e22ljlj6-6 压杆稳定性校核一、稳定安全准则为了保证压杆受力不失稳，其工作压力必小于临界压力plj 还要有一定安全储备。压杆最大允许压力pmaxwljnppmax或wplj计算临界压力nw稳定安全系数w稳定许用应力，wljwn稳定安全系数nw总大于强度安全系数ns(nb)

12、其原因：实际中存在一些难以避免因素（如不完平直、材料不均、压力偏心及支座缺陷等），这些因素对压杆稳定影响巨大。压杆失稳属突然性，危害大。注意:有局部削弱压杆的安全校核方法：首先进行稳定性校核，此时不必考虑削弱处结构与尺寸。按临界无缺陷压杆计算对削弱处进行强度计算wljnpp _ap两者均安全，则此压杆才是安全的二、压杆稳定安全系数法如果计算出临界压力plj ，压杆工作时载荷p压杆工作安全系数 ljljppn如果 nnw 则 压杆稳定例题：如图一手动挤压装置。已知ab为刚性杆，压杆bc,其弹性模量e=206gpa，p=235mpa，如果压杆安全系数nw =4求a端允许最大力p1003006200

13、bcdap解：取ab杆 为研究对象, 其受力如图列力矩平衡方程 nbc100= p3003bcnp nnpbcd求nbcil5 . 14646424dddaii3 .1335 . 12001932ppe p 可用欧拉公式计算临界压力plj )(6 .3228)22nleiplj（许用压力)(807 nnpnwljbc)(2693maxnnpbc6-7 提高压杆稳定性措施由临界应力公式 可以看出由以下有关方面因素影响压杆稳定性，提高稳定性方法如下：一、减小压杆柔度 2222)(eileljil中间加支座，长度l缩短一半,plj增加为原来的4倍。1、减小压杆长度l 细长杆可以通过中间加支座减小l，如图：pp2、增加截面最小惯性半径,选择合理截面形状不同截面i不同，如果将材料布置到离中心远一些则可增加i, 如采用空心结构。3、加强支座约束尽量采用最小结构，如两端固支= 0.5最小。尽可能采用两端固支结构。如:由两端铰支约束,改为两端固支约束,临界载荷可增加4倍aii 二、合理选材提高e值1、对细长杆 对各种钢材e均相差不