随机过程马尔科夫过程PPT课件

1、马尔可夫 (1856年6月14日1922年7月20日）马尔可夫对数学的最大贡献是在概率论领域作出的十九世纪后二十年，他主要是沿着切比雪夫开创的方向，致力于独立随机变量和古典极值理论的研究，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理 二十世纪初，他的兴趣转移到相依随机变量序列的研究上来，从而创立了以他命名的著名概率模型马尔可夫链第1页/共44页王梓坤院士(1929年)江西吉安人,1952年大学毕业后，被分派到天津南开大学数学系任教. 是一位对我国科学和教育事业作出卓越贡献的数学家和教育家，也是我国概率论研究的先驱和学术带头人之一。 1954年，他又以优异的成绩考取了赴苏研究生。踏进世界著名学府莫斯科

2、大学，在这个学府世界概率论的奠基人柯尔莫哥洛夫院士正领导看一个强有力的概率研究集团。柯尔莫高洛夫慧眼识英才，非常信赖这位由中国选派的年轻人的能力，把他选作自己的研究生，去攻概率论的中心问题随机过程理论。 当时中国近代数学才刚刚起步，大学也没有概率课程。此时苏联的概率论水平已届于世界最前列。王梓坤也根本不知道什么是概率，可他的研究方向又恰恰被定为概率论，著有概率论基础及其应用、随机过程论、生灭过程与马尔科夫链等9部数学著作 第2页/共44页马尔可夫过程的定义马尔可夫链的转移概率与概率分布齐次马尔可夫链状态的分类转移概率的稳定性能本章主要内容第3页/共44页 引例(有限制随机游动问题) 设质点只能

3、在0，1，2，a中的各点上作随机 游动，移动规则如下：11,2,1ia（）移动前处; 1, 0,rqprqp0000,0,1p rprii+1i-1pqr010p0r20i （ ）移动前处3ia（ ）移动前处a-1aqaar,0,1aaaaq rqr设Xn表示质点在n时刻所处的位置第4页/共44页1马尔可夫过程的定义一.一. 基本概念基本概念1马尔可夫性马尔可夫性通俗地说，就是在知道过程现在的条件下，其将来的条件分布不依赖于过去，则称),(TttX具有马尔可夫（Markov)性。定义设),(TttX是一个随机过程，如果),(TttX在t0时刻所处的状态为已知，它在时刻0tt 所处状态的条件分布

4、与其在 t0 之前 所处的状态无关。0tt现在0tt将来0tt过去第5页/共44页2. 马尔可夫过程定义 设),(TttX的状态空间为S,122,nntttT 如果对( ),1,2,1iiiX txxSin在条件下)(ntX的条件分布函数恰好等于11()nnX tx在条件下的条件分布函数,即11221111( ),( ),()( )(,)()nnnnnnnnnP X txP X txX txX txX txXRtxx( ),X t tT马尔则称为可夫过程.第6页/共44页3.马尔可夫链定义 参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。注 只讨论马尔可夫链的状态空间为有限或可列无限.则

5、马尔可夫性可表示为12122, , ,nnntttT i iiS 对11111122()( ),( )( )(),),nnnnnnnnnP X tiP X tixX tiX tiRX tiX ti有第7页/共44页特别对取T=0,1,2,的马尔可夫链，记为0),(nnX或0,nXn此时的马尔可夫性为011, , ,nni iiS 对有0111(1)(1)(0),(1( )( ),nnnnP X niPXiXiX niXX niin10110111,),()nnnnnnnnXP XiP XXiXiiXii或今后,记1,2,3,0,1,2,ST,0nXn 马尔可夫链记为马氏链也称,或系统第8页/共

6、44页二 马尔可夫链的转移概率1. 转移概率定义 设0,nXn是马尔可夫链,称条件概率,0nXnni(它表示系统在 时处于状态的条件下经过k步转移,于n+k时到达状态j的条件概率).( )( )(,0,)1kijn knpnP Xj Xi jS nik,0nXn 为在n时的k步转移概率.( )( )kijipnj称以为第 行底 列元素的矩阵)()()()(npnkijkP,0nXn 为系统在n时的k步转移概率矩阵.第9页/共44页( )( )ijnp nP记为特别 当k=1时，(1)( )ijnpn 为系统在 时的一步转移概率,(1)(1)( )( )ijnpnP为系统的一步转移概率矩阵( )

7、ijpn记为第10页/共44页定义 称可数维的矩阵)(ijpP 为随机矩阵，如果0,(, )1,()ijijjpi jpi显然，0,nXn在n时的k步转移概率矩阵)()(nkP是一随机矩阵.特别k时，约定(0)1,00ijijijpi jS nij(0)( )I.Pn 此时为单位矩阵第11页/共44页实际中常会碰到具有时齐性的马氏链若对任意的状态i, j和时刻n，均有( )(1)(2)ijijijpnpnpn则称马氏链X具有时齐性，或称X为其次马尔科夫链，简称齐次马氏链.第12页/共44页 引理(有限制随机游动问题) 设质点只能在0，1，2，a中的各点上作随机 游动，移动规则如下：11,2,1

8、ia（）移动前处; 1, 0,rqprqp0000,0,1p rprii+1i-1pqr010p0r20i （ ）移动前处3ia（ ）移动前处a-1aqaar,0,1aaaaq rqr第13页/共44页设Xn表示质点在n时刻所处的位置，则其一步转移概率矩阵为,00,1, nXnSa是以为状态空间的齐次马尔可夫链.aarqprqprqprqpr000000000000000000000000P第14页/共44页例(天气预报问题) 如果明天是否有雨仅与今天的天气(是否有雨)有关，而与过去的天气无关. 并设今天下雨、明天有雨的概率为a，今天无雨而明天有雨的概率为b，又假设有雨称为0状态天气，无雨称为

9、1状态天气. Xn表示时刻n时的天气状态，则0,nXn是以1 , 0S为状态空间的齐次马尔可夫链.其一步转移概率矩阵为bbaa11P第15页/共44页天气的变化过程还可以用不同的马尔科夫链来描述，假设任意一天的天气与前一天的天气有关，即如果昨天和今天都为晴天，明天为晴天的概率为，昨天和今天分别为晴天和阴天，明天为晴天的概率为，昨天和今天分别为阴天和晴天，明天为晴天的概率为，如果昨天和今天都为阴天，明天为晴天的概率为。如果将阴天和晴天分别记为0,10,1，则昨天和今天的所有天气情况可以用数对表示为集合S=S=（1,11,1），（1,01,0），（0,10,1），（1,11,1） ，由此，将数对看

10、做状态，天气的变化过程可用状态空间为S S上的其次马尔科夫链描述，一步转移概率矩阵为：第16页/共44页100001100001P第17页/共44页练习天气预报问题，其模型是：今天是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前面两天有雨，第三天晴天.),问能否把这一问题归纳为一马尔科夫链，如果可以，问该过程的状态有几个？如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率为0.8；过去连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其他天气情况，今天的天气和昨天相同的概率为0.6，求这个马儿科夫链的转移概率.第18页/共44页例2 （埃伦菲斯特模型）设一个坛子中装有m个球，它们或是红色的，或是黑色的，从坛子中随机的

11、摸出一球，并换入一个相反颜色的球.其一步转移概率矩阵为01000001010000000202000001010000010mmmmmmmmmP,0nXn 是以, 1 , 0mS为状态空间的齐次马尔可夫链.设经过n次摸换,坛中黑球数为Xn,则第19页/共44页例3（群体增长）某种生物群体的每个个体在其生存期内彼此独立地产生后代，假设每个个体都以概率pk产生k个后代，且有00,(1,2,)1kkkpkp用Xn表示第n代生物群体的总数，它是生物群体的第n-1代的每个个体的后代个数的总和，因此第n+1代的个体总数仅依赖于第n代的个体总数，所以X=Xn, n=0,1,2,是一个马尔科夫链，状态空间为S

12、=0,1,2，第20页/共44页则马氏链的一步转移概率为：1()nnP Xj Xi如果记第n代的生物群体个数nXi记i个个体各自产生的后代数分别记为随机变量 ，且 有概率分布12,i (0,1, )lli(),0,1,2lkPkpk故一步转移概率为112()()nniP Xj XiPj第21页/共44页例4（卜里耶模型）设一个坛子里有b个黑球和r个红球，每次随机地从坛子中摸出一个球后再放回去，并加入c个与摸出球同颜色的球。重复以上步骤将摸球进行下去，设Xn表示第n次摸球放回后坛子中的黑球数，试写出其一步转移概率矩阵和状态空间1( )(),1,0,ijnnpnP Xj Xiijicbrnciji

13、brnc 其他第22页/共44页例5：设 是相互独立同分布的随机变量序列，且:0nn(1),(1)1,0,0nnPpPppn 令随机序列：0,0nnkkXn验证：随机序列X=Xn: n0是一个齐次马氏链.第23页/共44页例6（网页浏览）用集合 表示因特网中的所有网页，假设网页 上的超级链接数为 ，对应的网页集合为 ，用户进入网页 后，按照以下规则进入新的网页；以概率p进入网页集合S中任何一个网页或者以概率q进入 的任一个超级链接，令Xn表示用户在n次选取后所在的网页，问Xn是非是一马氏链，若是的话，写出其一步转移概率.12=NS， ，i(1)iillN()iiS SSii+,=,jiiijj

14、iqpSlNppSN第24页/共44页. 马尔科夫链的概率分布定理 (C-K方程)()( )()( )( )(),0, ,k mkmijilljlpnpn pnkn m ki jS或矩阵形式)()()()()()(knnnmkmkPPP（解决了k步转移概率与一步转移概率间的关系）证明()( )k mijn k mnpnP Xj Xi ,()n kmnln kPXjliXX ,)()n k mnn klPXj XliX,)()n k mnnlkPXj XiXl 第25页/共44页)(,)(nn k mnnn klkPXiP Xj XXlXil )()nn k mn kn klPXiPllXXj

15、X ( )()( )()kmilljlpn pnk系统在n 时从状态i的出发,经过k+m步转移,于n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发，经过k步转移于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时从中间状态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最终状态j,而中间状态l要取遍整个状态空间S.C-K方程的直观意义：第26页/共44页定理 马尔可夫链的k 步转移概率由其一步转移概率 所完全确定.若取m=1,则由C-K方程的矩阵形式:)()()()()()(knnnmkmkPPP得(1)( )(1)( )( )()kknnnkPPP(1)( )(1)()knnknkPPP( )(1)(1)()nn

16、nknkPPPP分量形式11 212(1)( )( )(1)()kkkijijj jj jjjjpnpnpnpnk ( ,0)n k ( ,0, ,)n ki jS第27页/共44页齐次马尔可夫链为方便，一般假定时间起点为零即对齐次马尔可夫链，k步转移概率也与起始时刻n无关记为( )kijp( )0(),0kijkpP Xj Xii jS k相应的k步与一步转移概率矩阵分别记为(k)PP与第28页/共44页例：设Xn, n0是描述天气变化的齐次马尔科夫链，状态空间为S=0,1,其中0,1分别表示有雨和无雨，X的一步转移概率矩阵为0.70.30.40.6P试对任意的i, jS,计算三步转移概率(

17、3)ijp20.610.390.520.48P320.5830.4170.5560.444PPP第29页/共44页1）初始分布(0)0(),iqP XiiS称为马尔可夫链的初始分布3.马尔可夫链 的分布0,nXn称 第i个分量为)0(iq的(行)向量)0(q为马尔可夫链的初始分布向量. 即)()0()0(iqq2）有限维分布定理 马尔可夫链0,nXn的有限维分布由其初始分布和一步转移概率所完全确定.证明12121, 0, , , ,nnnttt i ii iS 对第30页/共44页1212,ntttnP Xi XiXi12120,(),ntnittPXi XiXiiX12201,(),ntti

18、tnPXi XXiiXi12012(,)ntttniPXi XiXiXi121110200,()()()tttiXiXiPP XXiiP XiXi11110(,)nntnttnXiP XiXiXi12100121()()()tttiXiXiPP XiP Xi Xi11()nntntnP Xi Xi112111 21(0)11(0)( )().nninntttttiii iiiniqpptpt第31页/共44页又因为马尔可夫链的k步转移概率由一步转移概率所完全确定.所以马尔可夫链的有限维分布由其初始分布和一步转移概率所完全确定.第32页/共44页3）绝对分布( )(),0,njnqP XjnjS

19、称为马尔可夫链 的绝对分布0,nXn称 第j个分量为)(njq的(行)向量)0(q为马尔可夫链0,nXn的绝对分布向量. 即)()()(njnqq绝对分布、初始分布和n步转移概率有如下关系：( )(0)( )(0)0, ,nnjiijiqqpni jS或矩阵形式)0()()0()(nnPqq第33页/共44页( )()njnqP Xj(0)( )(0)0, ,niijiqpni jS0(),)niPXiXj0(,)niPXi Xj0(,)niP Xi Xj00()()niP XiP Xj Xi第34页/共44页( )( )(0)(1),0;(2),0;(3) ,0kkkknkkXnPPqqP的

20、有限维分布由其初始分布和一步转移概率所完全确定齐次马氏链有相应的结果第35页/共44页例 设0,nXn是具有三个状态0，1，2的齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为3104411142431044P初始分布, 2 , 1 , 0,31)0(iqi试求：022(1) (0,1);(2) (1).P XXP X第36页/共44页解020201(0,1)(0(10)P XXP XP XX（）)(2)0113p(2)01p其中为一个两步转移概率，在两步转移概率矩阵中是第一行第二列的元素.22PP（ ）5181 65131 621 63911 611 6645(2)01516p02(0,1)P XX15

21、53 1648第37页/共44页(0)(2)21(2)(1)iiiP Xqp(2)(2)(2)0111211()3ppp1 519()3 162161124第38页/共44页例：如果将社会家庭中个体的收入分为低收入、中等收入和高收入三个等级，则早在20世纪50年代，社会学研究者发现个体收入的等级在很大程度上取决于其父代收入的等级。如果令Xn表示一个家庭第n代个体的收入等级，并用1,2,3分别表示低收入，中等收入和高收入，则一个家庭中相继的后代收入等级的变化可以用其次马尔科夫链来描述，状态空间为S=1,2,3，并且有以下的转移的概率矩阵0.650.280.070.150.670.180.120.360.52P第39页/共44页如果当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体收入等级的概率分布，并具体计算n=10时个体收入等级的概率分布。(3)3032(23)0.49P XXp(10)(10)