第六节微分学的几何应用

1、二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线 的参数方程为：., )(),(),(上可导都在假设ttt )()()(tztytx)(t上一点，为设),(000zyxm，即它对应于参数0t )()()(000000tztytx. 0 )( ),( ),( 000不全为设ttt下面来求：. 点的切线在曲线m按定义，切线是割线的极限位置。ozyxmm q因此，上任取点我们在曲线m附近的一点m，设它对应于参数 tt0，即)(),(),( 000

2、ttttttmmm)()(),()(),()(000000ttttttttt的方程为割线mm)()()()()()(000000000tttzztttyytttxxmm 令)()()()()()(000000000tttzztttyytttxx即t t t ),0(t即对上式取极限，得 000 zzyyxx)( 0t)( 0t)( 0t.:点的切线方程在曲线这就是mozyxmm 方向向量q) )( ),( ),( (000tttt切线的方向向量也称为曲线的切向量。t过点 m 且与这点的切线垂直的平面0)( )( )( 000000zztyytxxt由点法式得：点 处的法平面方程为),(000z

3、yxm法平面：ozyxmm q法平面t例1 求曲线 x=t, y=t2，z=t3在点(1,1,1) 处的切线及法平面方程.练习:习题8-6a/1(1)(2).),(000的一点上是曲面zyxm在曲面 上，通过点 m任意引一条曲线 ，0),(:. 1zyxf的方程为曲面.)(),(),( ),(不全为零且点有连续的偏导数在设mfmfmfmzyxfzyx xyz m二、曲面的切平面与法线)()()(tztytx设 的参数方程为)( t，对应于参数点0000),(ttzyxm)( )( )( 000ttt、且不全为0. xyz o则处的切线方程为：处的切线方程为：在点在点曲线曲线m )( )( )(

4、 000000tzztyytxx上在曲面曲线0)(),(),(tttf可导上式左端在点0tt 0|)(),(),(0tttttfdtd(*) ,),(),(000处有连续偏导数在点zyxzyxf存在且)( ),( ),( 000ttt(链式法则)由链式法则，得0|)(),(),(tttttfdtd=) (xf) (yf) (zf(*)式变为)( ),(0000tzyxfx)( ),(0000tzyxfy)( ),(0000tzyxfz= 0(#)000,zyx0t) ( ) ( ) ( 000,zyx0t000,zyx0t令),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx又

5、)( ),( ),( (000tttt则(#)式可写为0tnnt 这表明：的切线的任意一条曲线在点上通过点曲面mm.都在同一个平面上.的切平面在点该平面称为曲面m切平面的法向量为),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx nxyzt o切平面的方程为)(),(0000 xxzyxfx +)(),(0000yyzyxfy +)(),(0000zzzyxfz 0法线：.的直线且垂直于该点的切平面过点m法线的方程为 000zzyyxx),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfz的切平面的法向量称为在点曲面m.的法向量在点曲面m),(:. 2yxfz 的方程为曲面000(,)m xyz即0),( zyxf令zyxfzyxf),(),(则:的方程为曲面0),(zyxfn000000000( (,),(,),(,)xyzfxyzfxyzf xyz=( , , 1 )xyff),(00yx),(00yx切平面的方程为000(,) ()xfxyxx+000(,) ()yfxyyy0()zz0即0()zz000(,) ()xfxyxx+000(,) ()yfxyyy法线的方程为 000zzy