学案9 幂函数与二次函数

1、学案9幂函数导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况自主梳理1幂函数的概念形如_的函数叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数2幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性过定点yxRR奇(1,1)yx2R0，)偶0，)(，0yx3RR奇y0，)0，)非奇非偶0，)yx1(，0)(0，)(，0)(0，)奇(，0)(0，)(2)所有幂函数在_上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第_象限无图象(3)>0时，幂函数的图象通过点_，并且在区间(0，)上是_，<0时，幂函数在(0，)上是减函数，图象_

2、原点自我检测1(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ()A2，2B2，2C，2,2，D2，2， 2已知函数：y2x；ylog2x；yx1；y.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ()ABCD3(2011·沧州模拟)设1,1，3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A1,3B1,1C1,3D1,1,34与函数y的图象形状一样的是()Ay2xBylog2xCyDyx15已知点(，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(

3、x)的表达式是()Af(x)x3Bf(x)x3Cf(x)Df(x)探究点一幂函数的定义与图象例1已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)求当x为何值时：f(x)>g(x)；f(x)g(x)；f(x)<g(x)变式迁移1若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)试求函数h(x)的最大值以及单调区间探究点二幂函数的单调性例2比较下列各题中值的大小(1)，； (2)，；(3)，； (4)，和.变式迁移2(1)比较下列各组值的大小：_；0.20.5_0.40.3.(2)已知(

4、0.71.3)m<(1.30.7)m，则m的取值范围是_探究点三幂函数的综合应用例3(2011·葫芦岛模拟)已知函数f(x)(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足<的a的范围变式迁移3已知幂函数f(x)(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)>f(a1)的实数a的取值范围1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴

5、(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1右图是函数y (m，nN*，m、n互质)的图象，则 ()Am，n是奇数，且<1Bm是偶数，n是奇数，且>1Cm是偶数，n是奇数，且<1Dm是奇数，n是偶数，且>12(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0

6、，函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是()A幂函数B对数函数C指数函数D余弦函数3下列函数图象中，正确的是()4(2010·安徽)设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aa>c>bBa>b>cCc>a>bDb>c>a5下列命题中正确的是()幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；当n0时，函数yxn的图象是一条直线；幂函数yxn当n>0时是增函数；幂函数yxn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小A和B和C和D和题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6

7、(2011·邯郸模拟)若幂函数y的图象不经过原点，则实数m的值为_7已知ax，b，c，x(0,1)，(0,1)，则a，b，c的大小顺序是_8已知函数f(x)x(0<<1)，对于下列命题：若x>1，则f(x)>1；若0<x<1，则0<f(x)<1；当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；若0<x1<x2，则<.其中正确的命题序号是_三、解答题(共38分)9(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数当1x<1时，yf(x)的表达式是幂函数，且经过点(，)求函数在2k1,2

8、k1)(kZ)上的表达式10(12分)已知f(x)(n2k，kZ)的图象在0，)上单调递增，解不等式f(x2x)>f(x3)11(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f(x)(kZ)满足f(2)<f(3)(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为4，？若存在，求出q；若不存在，请说明理由答案 自主梳理1yxx2.(2)(0，)四(3)(0,0)，(1,1)增函数不过自我检测1B方法一由幂函数的图象与性质，n<0时不过原点，故C3，C4对应

9、的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；由增(减)快慢知n(C1)>n(C2)>n(C3)>n(C4)故C1，C2，C3，C4的n值依次为2，2.方法二作直线x2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，22，故n值分别为2，2.2D第一个图象过点(0,0)，与对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y，yx1恰好符合，第二个图象对应；第三个图象为指数函数图象，表达式为yax，且a>1，y2x恰好符合，第三个图象对应；第四个图象为对数函数图象，表达式为ylogax，且a>1，ylog2x恰好符合，第四个图象对应.四

10、个函数图象与函数序号的对应顺序为.3A4.C5.B课堂活动区例1解(1)设f(x)x，图象过点(，2)，故2()，解得2，f(x)x2.设g(x)x，图象过点(2，)，2，解得2.g(x)x2.(2)在同一坐标系下作出f(x)x2与g(x)x2的图象，如图所示由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(1,1)当x>1，或x<1时，f(x)>g(x)；当x1，或x1时，f(x)g(x)；当1<x<1且x0时，f(x)<g(x)变式迁移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有：h(x)根据图象可知函数h

11、(x)的最大值为1，单调增区间为(，1)和(0,1)；单调减区间为(1,0)和(1，)例2解题导引比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组解(1)函数y3x是增函数，30.8>30.7.(2)函数yx3是增函数，0.213<0.233.(3)，.(4)1；0<1；<0，.变式迁移2(1)<<(2)m>0解析根据幂函数yx1.3的图象，当0<x<1时，0<y<1，0<0.71.3<

12、1.又根据幂函数yx0.7的图象，当x>1时，y>1，1.30.7>1.于是有0.71.3<1.30.7.对于幂函数yxm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知，当x>0时，随着x的增大，函数值也增大，m>0.例3解函数f(x)在(0，)上递减，m22m3<0，解得1<m<3.mN*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222×233为奇数，122×134为偶数，m1.而y在(，0)，(0，)上均为减函数，<等价于a1>32a>0，或0>a1>32a，或a1&

13、lt;0<32a，解得a<1或<a<.故a的范围为a|a<1或<a<变式迁移3解(1)m2mm(m1)，mN*，而m与m1中必有一个为偶数，m(m1)为偶数函数f(x)(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数f(x)经过点(2，)，即.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.由f(2a)>f(a1)得解得1a<.a的取值范围为1，)课后练习区1C由图象知，函数为偶函数，m为偶数，n为奇数又函数图象在第一限内上凸，<1.2C(xy)x·y，幂函数f(x)x不具有此性质loga(xy)logax·

14、logay，对数函数f(x)logax不具有此性质axyax·ay，指数函数f(x)ax具有此性质cos(xy)cos x·cos y，余弦函数ycos x不具有此性质3C对A、B，由yxa知a>1，可知A、B图象不正确；D中由yxa知0<a<1，ylogax应为减函数，D错4Ay在x(0，)递增，即a>c，y()x在x(，)递减，即c>b，a>c>b.5D61或2解析由解得m1或2.经检验m1或2都适合7c<a<b解析(0,1)，>>.又x(0,1)，<x<，即c<a<b.8解析作出

15、yx(0<<1)在第一象限内的图象，如图所示，可判定正确，又表示图象上的点与原点连线的斜率，当0<x1<x2时应有>，故错9解设在1,1)中，f(x)xn，由点(，)在函数图象上，求得n3.(4分)令x2k1,2k1)，则x2k1,1)，f(x2k)(x2k)3.(8分)又f(x)周期为2，f(x)f(x2k)(x2k)3.即f(x)(x2k)3(kZ)(12分)10解由条件知>0，n22n3>0，解得1<n<3.(4分)又n2k，kZ，n0,2.当n0,2时，f(x)x，f(x)在R上单调递增(8分)f(x2x)>f(x3)转化为x2x>x3.解得x<1或x>3.原不等式的解集为(，1)(3