空间直角坐标系15762

1、4.3. 空间直角坐标系 1 1数轴数轴ox上的点上的点m，用代数的方法怎样表示呢？，用代数的方法怎样表示呢？ 2 2直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点m，怎样表示呢？，怎样表示呢？ 数轴数轴ox上的点上的点m，可用与它对应的实数，可用与它对应的实数x表示；表示； 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点m，可用一对有序实数，可用一对有序实数(x，y)表示表示xoyaoxxm(x,y)xy 3 3空间中的点空间中的点m用代数的方法又怎样表示呢？用代数的方法又怎样表示呢？yxz 如图，如图， 是单位正方体以是单位正方体以o为原点，分为原点，分别以射线别以射线oa,oc, 的方向为正方向，以线段的方

2、向为正方向，以线段oa,oc, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中，其中点点o 叫做坐标叫做坐标原点，原点， x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为面叫做坐标平面，分别称为xoy 平面、平面、yoz平面、平面、zox平面平面cbadoabc ododxyzo abcabcdo在空间取定一点在空间取定一点o从从o出发引三条出发引三条两两两两垂直的射线垂直的射线选定某个长度选定某个长度(原点原点)

3、(坐标轴方向坐标轴方向)oxyz111（单位长度）（单位长度） 右手直角坐标系右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如轴的正方向，如果中指指向果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系角坐标系xyz右手系 设点设点m是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点m分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴轴于点于点p、q和和ryxzmo 设点设点p、q和和r在在x

4、轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点m就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）mrqp 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点p、q和和r，分别过，分别过p、q和和r各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点myxzmomrqpyxzpmqomr 这样空间一点这

5、样空间一点m的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点）叫做点m 在此在此空空间直角坐标系中的坐标间直角坐标系中的坐标，记作，记作m（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点m的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点m的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点m的的竖坐标竖坐标yxzabcabcdo oabcabcd是单位正方体以是单位正方体以o为原点，分别以射为原点，分别以射线线oa,oc, od的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段oa,oc, od的长为单的长为单位长，建立位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系oxyz试说出正

6、方体的各个顶点试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)小提示：坐标轴坐标轴上的点至少有两个上的点至少有两个坐标等于坐标等于0；坐标面；坐标面上的点至少有一个上的点至少有一个坐标等于坐标等于0。点的位置点的位置原点ox轴上ay轴上cz轴上d坐标形式坐标形式点的位置点的位置xoy平面内byoz平面内cxoz平面内a坐标形式坐标形式(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z

7、)(x,0,z)cdbacoabyzx特殊位置的点的坐标cbadoabc 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点d，c，a，b的坐标的坐标3|oa4|oc2|odd2odd解解： 在在z 轴上，且轴上，且 ，它的竖坐标是，它的竖坐标是2；它的横坐；它的横坐标标x与纵坐标与纵坐标y都是零，所以点都是零，所以点 的坐标是（的坐标是（0，0，2） 点点c 在在y 轴上，且轴上，且 ，它的纵坐标是，它的纵坐标是4；它的横；它的横坐标坐标x与竖坐标与竖坐标z 都是零，所以点都是零，所以点c的坐标是（的坐标是（0，4，0） 同理，点同理，点 的坐标是（的坐标是（3，0

8、，2）4ocaoyxzacbbacd 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点d，c，a，b的坐标的坐标cbadoabc 3|oa4|oc2|odoyxzacbbacd 解：解：点点b在平面上的射影是在平面上的射影是b，因此它的横坐标，因此它的横坐标x与纵坐与纵坐标标y同点同点b的横坐标的横坐标x与纵坐标与纵坐标y 相同在相同在xoy平面上，点平面上，点b 横横坐标坐标x=3，纵坐标，纵坐标y=4；点；点b在在z轴上的射影是轴上的射影是d，它的竖坐标，它的竖坐标与点与点d的竖坐标相同，点的竖坐标相同，点d的竖坐标的竖坐标z=2 所以点所以点b的坐标是（的坐标

9、是（3，4，2） 例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子中色点代表钠原子，黑点代表氯原子21 解解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标位置的坐标 例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积

10、成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子中色点代表钠原子，黑点代表氯原子21 如图建立空间直角坐标如图建立空间直角坐标系系o-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标后，试写出全部钠原子所在位置的坐标xyzo 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（ ， ，1）2121 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，中层的原子所在的平面平行于平面，与轴

11、交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（ ，0， ），（），（1， ， ），（），（ ，1， ），（），（0， ， ）；）；2121212121212121 下层的原子全部在平面上，它们所下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,2121（ ， ，0）.xyzo思考思考: :在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点 p p（x x，y y，z z）在）在xoyxoy平面

12、上的射影为平面上的射影为m m，则点，则点m m的坐标是的坐标是什么？什么？|pm|,|om|pm|,|om|的值分别是什么？的值分别是什么？xyzopmm(x,y,0)m(x,y,0)|pm|=|z|pm|=|z|22|o mxy=+思考思考: :基于上述分析，你能得到点基于上述分析，你能得到点 p p（x x，y y，z z）与坐标原点）与坐标原点o o的距离公式吗？的距离公式吗？xyzopm222|o pxyz=+思考思考: :在空间直角坐标系中，方程在空间直角坐标系中，方程 x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=r=r2 2（r r0 0为常数）表示什么图形是为常数）表示什么图形是什么？什么？ o ox xy yz zp pmnxyzop