高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结(共17页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高考数学圆锥曲线重要结论1、 定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线； 引申定义:若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和； 在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其

2、长轴长为已知圆的半径。 过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（-1<m<0时，焦点在x轴上；当 m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。 将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆； 连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等； 两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线

3、，其垂足的点的轨迹为椭圆。 对应练习：在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于 N 点，则MI/IN的值为多少？ 若过点P作F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有 在椭圆上任一点P求: · 的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点 的最短距离为a-c. 若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。则应 连接M与左焦点F'，由 |MF'|+|MP|+|PF|PF'|+|PF|=2a,当P,M,F

4、9;在同一条直线上时距离 最小.最小距离为2a-|MF'|. 二、椭圆的标准方程：(略) P（x1，y1）为椭圆上任点则焦半径（椭圆上任一点与焦点之间的线段长）为： |PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex2； 从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会经过另一个焦点。 (8)离心率的求解可根据具体情况对相关线段整体设置,也可以进行坐标设置. 对应小题题例: 当m+n<0时,求椭圆离心率的取值范围; 求证:直线AB与P不相切.(09新乡一模21题) 解析:设点F,B,C的坐标分别为F(-c,0),B(0,b),C(1,0) 证明:假设相切,则点B必为切点,而kAB=b, 设F1

5、,F2为椭圆上的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点的连线所成的角为90°, A.1:5 B.1:3 C.1:2 D.1:1 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则离心率的取值范围 A. B.2 C. D.3 A 此类题的解题思路不外乎是依据第一或第二定义进行整体设置或根据参数方程进行坐标设 置,本题就可以进行依据第一定义整体设置:过B作BB'l,则BF:BB'=1:,又BF=AB/2, 故BB':AB=1:.ABB'=45°,又F到l的距离为1,所以AF=.此为法一; 法二:设l交x轴为D,则FD=1,F

6、A=3FB,故点F的横坐标为4/3,则右求出其纵坐标为1/3,并 可求出A的纵坐标为1,所以FA=. A.0,3 B.2,3) C.0,2) D.0,4 已知A(2cos,sin),B(2cos,sin),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足 满足条件+=6的动点轨迹为C,若曲线C上三点到点(0,4) 解析:由题中条件知曲线C为一条在(-3,0)到(3,0)的线段,此等比数列的三 项的最短与最长分别为4和5,而其比为公比q的平方. A.c B.b C .a D.不确定 C(10年湖北八校联考) 如图,由已知,RtOAMRtOFB,OA:OB=OM:OFOB·OM=OA·

7、;OF=a2,故ON=a. 11.已知 F是橢圓C 的一個焦點, B是短軸的一個端點,線段BF 的延長線交C於點D. 析:法一,依題意知點D 坐標為,由點D在曲線上,故滿足 法二：过点B及点D分别向其准线作垂线，垂足为B'，D'依题意得： 例已知椭圆的两个焦点分别为F1（0。-1），F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线， 求椭圆的方程； 若点P在椭圆上，设| |-|=m（m1），试用m表示·； 解：（本题第一问主要是考查椭圆的几个参量之间的关系，第二问主要考查椭圆的基本定义及向量 介入的有关运算；第三问主要考查平面几何的有关知识如三角形任意两边之差小于第三边，但

8、在 椭圆中若是椭圆上任意一点与两个焦点之间的连线所构成的三角形则是这点与两焦点连线所在的 边之差小于等于第三边，同时也考查了相关函数的单调性。） 即m2，所以m1，2 过椭圆的右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线炮大圆于第一象限办点A， OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线。 证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标； 解：由题设条件知：RtOFARtOBF 直线BF与y轴的交点. 直线BF与y轴交点为（0，a）点为M（0,a） （b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 由消去x整理得：（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0

9、 注意到：a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2 例已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1,且过右焦点F交椭圆 于A,B两点， + 与 =（3，-1)共线。 求椭圆的离心率： 设M为椭圆上任意一点，且 = + （，R） 由 + =（x1+x2，y1+y2）, =（3，1） 且 + 与 共线得：3（y1+y2-2c）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c。 由知a2=3b2 椭圆方程为：x2+3y2=3b2，设 =（x，y） 由已知（x，y）=（x1，y1）+（x2，y2） 又x21+3y21=3b2 x22+3y22=3b2 代入得 2+2=1故所求为定值。 双

10、曲线: 一、概念： 第一定义：到两定点F1（-c，0）、F2（c，0）的距离差为定值2a（小于两定点的距离）的 点的轨迹 叫做双曲线。两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。 引申定义： 与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的 双曲线的一支; 过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。 圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点)间的距离为焦距长。二、标准方程：(略) 三、相关运算： 注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点

11、弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点 焦半径公式：P（x0，y0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a 若点P在左支上时,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a. A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.外切或相交在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。如直线y=kx+m，若焦点在x轴上的 如果在进行直线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为 x=my+c的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若 是求的范围，a<m<b，则所求的直线的斜率为

12、1/b<k<1/a，这一点务必注意。 在焦点三角形中,过F1作F1PF2的平分线的垂线,则垂足H的轨迹为圆,其方程为x2+y2=a2,(本题证明可延长F1H交PF2于M点）,依题意知PF1=PM故PM-PF2=F2M=2a,即点M是以F2为圆心2a为半径的的圆即：(x-c)2+y2=4a。 相关点与双曲线只有一个交点的直线条数:在双曲线外部与双曲线只有一个交点的直线条数有2条;在双曲线上时,与双曲线只有一个交点的直线条数为3条;在双曲线外部:在直线与双曲线之间(如渐近线与双曲线一支之间且位于x由上方)由于过该点平行于渐近线的与双曲线只有一个交点,但要与双曲线相切只有让该直线的斜率大

13、于正斜率的渐近线故只有与右支相切,同理与双曲线相切的直线也只有与右支相切,所以共有四条.已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左右顶点分别是A,B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,PAB=,PBA=,APB=,试确定三个角之间的关系. 双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即dc-a.若在双曲线外部有一点P,要在双曲线上求作一点M,使该点到P点与到对应焦点的距 离之和最小.其主要方法:过点P作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点.小题题例: A,F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,P是双曲线右支上任一点,若PFA=PAF,则= 2 .(特值检验通径)

14、A. B.2 C. D. C设e1,e2分别为有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,p为两曲线的一个公共点且 右准线l:x=1/2,|AF|=3,过F作直线交双曲线右支于P,Q两点,延长PB交右准线l于M点。 求双曲线的方程； 若·=-17，求PBQ的面积S； 若=，（0,-1),问是否存在实数=f（）的左右焦点，使得=,若存在，求出=f（）表达式，否则说明理由 （题中=及所求=f（）其实都是两点P，Q之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系） 注：在求解与证明与圆锥曲线相关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不

15、存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成x=my+n的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的m与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。例（成都市07第二次毕业诊断性测试22）如图,与抛物线x2=-4y相切于A（-4,-4）的 （理）求中切点T到直线PQ的距离的最小值； 抛物线 一、概念：平面内与定点F的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。定点为焦点,定直线为准线;与圆锥曲线的

16、第二定义:到一定点与一定直线的距离比为定值(1)的点的轨迹.即 离心率为1. 注意:不能把抛物线看成双曲线的一支,它们是有本质区别的:当抛物线上的点趋于无穷大时,曲线 上点的切线趋近于和对称轴平行;而双曲线上的切线趋近于与渐近线平行. e:设AB的中点为M,过M作MM'l,连结AM',BM',M'F.则AM'平分A'AB,BM'平分ABB', AM'B=90°,M'FAMB(M'B'BM'FB).故以AB为直径的圆必与准线相切。 f:焦点在x轴上的抛物线y2=2px(p>0)

17、时,设A(x1,y1),B(x2,y2),设过AB的直线为l;其斜率为k,则 A'F与AM',B'F与BM'均交于一点.故有： 以AB为直径的圆与准线相切，以A'B'为直径的圆与AB相切,以AF为直径的圆与x轴 相切,以BF为直径的圆与x轴相切. 例:过定点A(0,2)作与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线,共几条? 当x=0时,即斜率不存在时,符合题意,g:最值问题:利用抛物线的定义进行转化:h:过抛物线的焦点弦的两端点作抛物线的切线,其交点的轨迹是该抛物线的准线; 例定长为3的线段AB端点在y2=x上移动,求AB中点到y轴的最小距离,并求出M 的坐标.(本题只需转化成A,B两点横坐标最小即可,即到准确性线的距离之和)建立目标函数: 为y=x2上一动弦,且|AB|=a(0<a<1),求动弦AB中点M离x轴的最近距离, 从点A与点B向