高等数学课件：7-3空间曲线与曲面的参数方程

1、一、空间曲线的参数方程一、空间曲线的参数方程二、两种曲线方程的互化二、两种曲线方程的互化* *三、曲面的参数方程三、曲面的参数方程7.3 7.3 空间曲线与曲面的参数方程空间曲线与曲面的参数方程 四、点的柱面坐标和球面坐标四、点的柱面坐标和球面坐标 五、投影柱面和投影曲线五、投影柱面和投影曲线( ),( ),( ,)( ),xx tyy ttzz t 一、空间曲线的参数方程一、空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程A MM t 解解xyzot以以时时间间 为为参参数数，( , , )AtM x y z动动点点从从点点 出出发发，经经过过 时时间间，运运动动到到点点，( , ,0

2、)MxoyMx y 设设点点在在面面上上的的投投影影为为，螺旋线的参数方程还可写为螺旋线的参数方程还可写为cosxat sinyat 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程zvt t 令令 ，vb cossinxayazb 解解消去参数得消去参数得二、两种曲线方程的互化二、两种曲线方程的互化例例2 21求求例例 中中螺螺旋旋线线的的一一般般方方程程. .cossinxayazb 由由 ，222cosxyazxab 222sinxyazyab cossinzxabzyab 解解例例3 322222221(1)(2).2360 xyzaxyxzxyax 将将下下列列曲曲线线化化为为参参数数方方程程表表示

3、示， (1) 根根据据第第一一个个方方程程引引入入参参数数，得得cosxt sinyt 1(62cos )3zt (02 )t (2) 将将第第二二个个方方程程变变形形为为222()24aaxy ，cos22aaxt sin2ayt 11cos22zat (02 )t xyzo1. 柱面坐标柱面坐标 四、点的柱面坐标和球面坐标四、点的柱面坐标和球面坐标( , , )M x y z( , ,0)M x y ( , , )M rz rz柱柱面面坐坐标标002rz 规规定定： ，cossinxryrzz 直直角角坐坐标标与与柱柱面面坐坐标标的的关关系系：22rxy( , , )( , , )M x

4、y zM rz 柱面坐标系的三组坐标面柱面坐标系的三组坐标面xyzOxyzOxyzOr 常常数数圆圆柱柱面面 常常数数半半平平面面z 常常数数水水平平面面解解例例4 42222()4zxyzxy 将将旋旋转转抛抛物物面面和和上上半半球球面面分分别别用用柱柱面面坐坐标标表表示示. .22()zxy 旋旋转转抛抛物物面面的的柱柱面面坐坐标标2zr ，224zxy上上半半球球面面的的柱柱面面坐坐标标24.zryoxz2. 球面坐标球面坐标( , , )( , , )M x y zM r 球球面面坐坐标标:0002r 范范围围， ， 直直角角坐坐标标与与球球面面坐坐标标的的关关系系：sincossin

5、sincosxryrzr 2222222xyzrrxyz ( , , )M x y z( , ,0)M x y r ( , , )M r xyzOr球面坐标系的三组坐标面球面坐标系的三组坐标面rO 常常数数以以 为为球球心心的的球球面面 常常数数半半平平面面O 常常数数以以 为为顶顶点点的的圆圆锥锥面面xyzO xyzO 解解例例5 5222zzxy将将平平面面和和圆圆锥锥面面分分别别用用球球面面坐坐标标表表示示. .2z 平平面面的的球球面面坐坐标标2cosr ，22zxy圆圆锥锥面面的的球球面面坐坐标标22cossinrr sinr .4 消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线

6、关于曲线关于 面的面的投影柱面投影柱面xOy设空间曲线的一般方程设空间曲线的一般方程:以此空间曲线为准线，母线垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：五、投影柱面和投影曲线五、投影柱面和投影曲线( , , )0( , , )0F x y zG x y z 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yOz面上的面上的投影曲线投影曲线,xOz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xOy如图：投影曲线的

7、研究过程如图：投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面zyxC1o1yz两两方方程程相相减减，得得 解解例例6 62222221(1)(1)1.xyzxoyxyz 求求曲曲线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线代代入入第第一一个个方方程程，得得投投影影柱柱面面22220 xyyxoy曲曲线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程为为222200 xyyz 例例7 7解解 (1) 消去变量消去变量z，得，得在在 面上的投影为面上的投影为xOy2221.12xyzz 求求曲曲线线在在坐坐标标面面上上的的投投影影2234xy ，22340 xyz ；所以在所以在 面上的投

8、影为线段面上的投影为线段.xOz(3) 同理在同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yOz(2) 因为曲线在平面因为曲线在平面 上，上，21 z13220zxy ，；13.220zyx ，空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体空间立体曲面曲面解解zxyo例例8 8222243().zxyzxyxOy设设一一个个立立体体，由由上上半半球球面面和和锥锥面面所所围围成成，求求它它在在面面上上的的投投影影C.xOyxOy因因半半球球面面与与锥锥面面所所围围立立体体在在面面上上的的投投影影即即为为二二者者交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线所所围围区区域域xOy

9、而而二二者者交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线为为221.0 xyz 221.0 xyz 故故所所求求投投影影为为空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程小结小结空间曲线在坐标面上的投影柱面、投影曲线空间曲线在坐标面上的投影柱面、投影曲线 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxTP239-9(8)222222000 xyzxzaxya画画出出，（第第一一卦卦限限部部分分）所所围围成成的的立立体体图图形形. .zxyo oaoa201zyzxxyzxOy 求求曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转所所成成曲曲面面与与平平面面的的交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. .P239-3解解20zyzx 曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转所所成成曲曲面面方方程程为为22zxy221zxyxyz 它它与与所所给给平平面面的的交交线线为为xOy此此曲曲线线在在面面上上的的投投影影柱柱面面方方程程为为221xyxyxOy此此曲曲线线在