二次函数有关面积问题的课堂简录

1、二次函数有关面积问题课堂实录（简录）教师：今天我们一起研究与二次函数有关的面积问题。（板书）问题 1 ：已知二次函数 ，画出它的图象，你能说出这个函数图象的下列特征吗？该抛物线的顶点 D 的坐标是_，与 x 轴的左交点 A 的坐标是_,右交点 B 的坐标是_, 与y轴的交点 C 的坐标是_。| AB|=_. 增减性为_.学生 1 : （答案略）点评：回顾二次函数的基础知识，引出图象上的特殊点，为引导学生提出问题做了一个很好的铺垫。教师：(把 的图象画在黑板上，如图 1 ）请同学们观察图象，你能提出与以点 A 、 B 、 C 、 D 、 O 有关的三角形面积问题并解答吗？试一试。（学生独立解答，

2、教师巡视约 2 分钟后，全班交流）（教师把学生 2 的答案标在黑板相应的图形之中，如图2）教师：精彩！这位同学求出了 9 个不同三角形的面积：其他同学还有补充吗？学生 3 ：老师，我也算出了 9 种，但感觉学生 2 在说面积的时候比较乱。其实我们可以根据边，有规律地说出这乡个三角形的面积，可以分别以 AO 、 BO 、 BA 、 DC 为边再找另一个顶点即可。教师：像这位同学有序地分类，就不会重复和遗漏。请说说，你在求这些图形面积时是怎样思考的？学生 3 ：利用面积公式。为了方便求出公式中有关线段的长度，尽量把它们与坐标轴上的线段建立联系。教师：求坐标平面内图形的面积，通过把面积公式中的相关线

3、段长度与坐标轴上的线段建立联系，是常用的方法。点评：设置让学生探求所有可求三角形的面积，很好地培养了学生思维的严谨性。尤其是学生 3 能有规律地说出 9 个三角形面积，说明该学生的数学基础扎实，对分类讨论方法掌握较好。教师合理设置开放性问题，课堂上的及时追问，对培养学生的思维，激发学习兴趣能起到促进作用。教师：在刚才所求的三角形面积中，哪些三角形面积较难求？学生 4 ：不规则的三角形面积较难求，因为他们的边均不在坐标轴上，如 BCD 和 ACD 。教师：确实，这两个三角形的三边都不与坐标轴平行或垂直，给计算带来困难，接下来我们重点以求 BCD 的面积为例进行研究。学生 5 ：用割补法，过 D

4、点作 y 轴的垂线，交 y 轴于点 E ，先计算出直角梯形 OEDB 的面积，再减去两个直角三角形的面积（ OCB 和 CED ）。（教师用“几何画板”直接演示学生的解题方法，如图 3 ) 教师：割补法是求面积问题的常用方法之一，还有其他的解法吗？学生 6 ：还可以这样用割补法，如图 4 ，过点 B 作 y 轴的平行线与过 D 点作 x 轴的平行线相交于一点 F ，算出矩形 OEFB 的面积，再减去三个直角三角形（ OCB 和 CED 和 DFB ）的面积。学生 7 ：直接计算。因为BCD= 90°，求出线段 BC 和线段 CD 长，即可以用三角形面积公式直接算，不需要作辅助线。教师

5、：为什么BCD = 90°？学生 7 ：因为 OC= OB , CE= ED ，所以 OCB= ECD= 45°，所以BCD= 90°。教师：还有其他求解方法吗？学生 8 ：过 D 点作x轴垂线交 BC 于点 M ，则 BCD 的面积等于 DM 乘以点 B 与点 C 的横坐标的差。由点 D ( l ，-4 ）和直线 BC 的解析式可求点 M 的坐标为 M ( 1 ，-2 ）。（教师用“几何画板”直接演示学生8的解题方法，如图 5 ) 学生 9 ：同学生 8 方法，也可过 C 点作 x 轴的平行线交 BD 于点 N ，则BCD 的面积等于CN 乘以点 B 与点 D

6、的纵坐标的差。由点 C ( O ，-3 ）和直线 BD 的解析式 y=2x- 6 可求点 N 的坐标为（，-3 ) （如图 6）。教师：我非常欣赏同学们积极思考的好习惯，已经出现了多种求 BCD 面积的方法，还有其他的解法吗？教师：通过对 BCD 面积问题的解决，我们能总结出哪些经验？学生 11 ：求不规则图形的面积，可以用割补法把不规则图形转变为规则图形。教师：通过上述问题的解决，我们知道了求不规则图形面积的基本方法 割补法。通过割补把不规则的图形转化为方便计算的规则图形。（教师板书）教师：如图 7 ，求 ACD 的面积，同学们有困难吗？众生：没有，可类比前面求 BCD 面积的方法。教师：请同学们课后选择一种你认为最简便的方法求解。点评：呈现出静态图形中不规则图形面积的多种解法后，教师及时引导学生归纳小结，建构了求坐标平面内不规则图形面积问题的基本策略：通过割补法转