高中数学第二章参数方程22直线和圆锥曲线的参数方程直线参数方程及其应用素材北师大版4-4!

1、精品资料欢迎下载2.2直线参数方程及其应用一、直线参数方程建立课本在 P55“向量与直线”阅读材料中，介绍了利用向量法建立直线方程的参数式：x x0 at为参数 )00)是直线上的一点， (a,b)y y0 bt (t（* ） , 其中 (x ,y是直线的一个方向向量,P(x,y) 是直线上任意一点，实数t 是对应点 P 的参数 .这种直线的参数式方程可直线称为直线参数方程.事实上，我们还可以这样来建立直线的参数方程：因过定点P(x,y) 且倾斜角为的直00sin(x x )(0yy0 x x0. 令其比值为 t,于是线方程为： y y cos , 且 2 ), 则有： sin cos00y

2、y0x x0x x0 tcos为参数 )（ * ）, 这也是直线的参数方程 .得： t, t, 即有(tsincosyy0 tsin很显然其中参数 t还有很好的几何性质，即 |t| PP |.0为区别于其它形式的参数方程，参数方程（* ）我们称为直线的标准参数方程. M（ x ，00y 0 ）为定点点，而t 表示有向线段M0P 的数量，我们规定：当P在 M的上方时， t 0；而 P在 M的下方时， t 0. 通常，当我们将（ * ）代入二次曲线C的方程能得到： at 2 bt c0（ * ）如果 a 0，且 b 2 4ac 0 时，则（ * ）所表示的直线L 与 C相交于 A、B 两点， M0

3、A，t 2 M0B. 下面的几个且有向线段 M0A， M0B的数量是方程（ * ）的二根 t 1， t 2，即 t 1结论是经常用到的：22t 1；（ 1） | AB| | t 1t 2| (t 2+t 1) -4t（ 2） AB的中点 P对应的参数为t t12；2t（ 3）设P分有向线段的比为 ，则Pt 1 t 2对应的参数为.AB1 （ 4）当 t1， t 2 满足关系 t 1 t 2时，则 ( t 1 t 2) 2 1· t 1t 2 2二直线参数方程应用例 1(1) 已知直线过点 A( 2,3),B(1, 5),求直线 AB的参数方程； (2) 直线 l 过点 A(1,5),

4、倾斜角为 3, 求直线 l 的参数方程 .解： (1) 直线 AB 的方向向量为v (1, 5) ( 2,3) (3, 8),精品资料欢迎下载又因其过点 A( 2,3)，直线 AB的参数方程为x 2 3t.y 38tx 1 tcos13x 1 t(2) 直线 l 的参数方程为2, 即.y 5 tsin33y 5 2 tx 1 tsin70例 2 若直线参数方程为y 2 tcos70 (t为参数 ) ，求直线的倾斜角 .x 1y 2cos70解：由参数方程得： sin70 cos70, y 2 sin70(x 1),y 2 tan160 (x 1),由此普通方程可知其倾斜角为160 .例 3(1

5、) 直线 l 过点 P(1,2),倾斜角为 4，求 l上与 P 的距离为2 2的点； (2) 求直线x 2 2t2的点的坐标 .(t 为参数 ) 上的点到 P( 2,3) 距离为y 3 2tx 12t解： (1) l 的参数方程为22 2, 令 |t|2y22 tt ±2 2, 代加原参数方程得所求点为(3,4)或 ( 1,0).(2) 可化成普通方程处理，现仍将参数方程整理成标准形式，利用参数的几何意义求解 .x 2(2t)(22)即有, 又直线过定点P ( 2,3) ，且直线上任一点P 对应参数为20y 3 (2t) ·22t, 2,则有 | P0P | |2t|2t

6、±2, 当 2t 2时，所求点为 ( 3,4) ；当 2t 2时，所求点为 ( 1,2).例 4 已知过点P0 （ 1， 2）的直线 的参数方程是x 1 3t，求点0 到另一直y 2 4tP线 2x y1 0的交点 P 的距离 .解： 因为a2 b232 4251，所以此直线的参数方程不是标准线，31x 1 5t令 t 5t ，化为标准式，得4,y 2 t5将其代入方程 2 10，解得交点P对应的参数值tP 3，故 |0 |t'P|3.xy2P P2例 5过点 M(2，1) 作直线 l ，交 x,y 轴的正半轴于A，B 两点 .(1)求|MA| ·|MB| 的最小值

7、；精品资料欢迎下载(2) 当 (1) 取最小值时，求直线l 的方程 .解析： (1) 设直线 l 的倾斜角为 (0 ) ，则其方程为x=2+tcos( 为参数， 2y=1+tsin ),x,y 轴方程为 xy=0,代入整理得t 2sincos +t(2sin+cos)+2=0 ,MA=t 1， MB=t2，即为的两个根，243|MA| ·|MB|=|t 1| ·|t2|= |sin cos | =|sin2| , 当 = 4 时|MA| ·|MB| 的最小值为4.x=2+tcos3(2) A， B 为直线 l 与 x,y 轴正半轴的交点，334= 4，将 =4代入

8、得3 ,y=1+tsin4x-2= 2t即2, 消去 t, 得 x+y-3=0即为所求的l 的直线方程 .2y-1= 2 t例 6 在已知圆 x2 y2 4 上有定点 A（ 1, 3）及动点 P、Q 且 QAP ，求 APQ3面积的最大值 .x 1tcos 为参数 )，解： 设直线的方程为(tAPy 3 tsin将其代入 x 2 y 2 4，得 t 2 2（cos a3sin a）t 0，由弦长公式 | AP| |2 （ cos a 3sina ） | 4|sin （ 6 ）| ，同理可得 | AQ| 4|sin （ 6 ）| ，而 2 3 ，所以 | AQ| 4|cos a| ，故 SAPQ1| AP| AQ|sin 43|sin （ ）| ·|cos a| 43|sin cos cos sin）23666| ·|cos a|4 3|(312311sin cos cos)| 2 3|sin2 cos2 |222221 2 3|sin(2 6) 2|当 a 6时， Smax 33.例 7 已知圆 x2+y2=r 2 及圆内一点 A(a， b)(a ，b 不同时为零 ) ，求被 A 平分的弦所在直线方程精品资料欢迎下载x a tcos 解： 设所求直线的方程为y b tsin (t为参数 ) ，代入圆的方程x2y2 r 2，整理得t