“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略

1、“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略厦门一小邱春来1. 恒成立问题与有解问题的区分（1）两者在“量词”上有区别恒成立中使用的量词是全称量词，如“0、任意、所有、全部、均、恒、总、都”等；而有解问题中使用的量词是特称量词，如“入 存在、有、至少一个、有解”等。（2）两者在在等价转换上有区别a > fw恒成立 o a > /（x）max ； a < /（x）恒成立 o a < /（x）min6/ >/(x)min ； 6/ </(x)-<=>6/ </«ax ； 0 = /(兀)有解0&6广(兀)值域2. “恒成立问题

2、”与“有解问题”的解题策略(1)“恒成立问题”的解题策“恒成立问题”中一般有2个以上字母,我们把待求范围的那个字母定义为“参数”，把已知范围的字母定义为“变量”。法1 （分离参数法），即先把参数（所求的那个字母）分离出来，然后利用下面原理 a > /(x)恒成立 o a > /(x)max ; a < 于(兀)恒成立 o a v /(x)min法2、（构造函数法）即构造关于变量的函数，利用函数知识和方法解决°例1、函数.f （兀）=* + 2* + ",兀w 1,+00）对任意兀wl,+oo）, /（x） > 0恒成立，求d的取值范围。解析：这题中“

3、d”是参数，“兀”是变量，显然“d”很好分离，所以采取“分离参数法”对兀w l,+oo） , /（%） = “ + 2x + °°恒成、丫，只需° > 一兀2 一 2兀在兀丘l,+oo）时恒成立，考虑二次函数 g（x） = -x2 - 2x 在"1,4-00）的最大值 gmaxo） = g（l） = - 3 ,得 d > - 3例2、若不等式2x-l>m（x2-l）对满足|m| < 2的所有加都成立，求x的取值范围。解析：这题小“兀”是参数，“加”是变量，显然“兀”不好分离，所以采取“构造构造函数法” 构造关丁”的一次函数/（m）

4、 = m（x2 -1）-（2兀-1）,所以对满足网52的加,/（/n）<0恒成立,屮（一2）<0 j-2（-l）-（2x-l）<0 解得:土近<乂<4/（2）<02（x2-1）-（2x-1）<0222.2 “有解问题”的解题策略“他）/（b） <0”是/（兀）在（a,可内有零点的充分非必要条件,只有/（力在（“）上单调时是充要条件，所以在解“有解问题”时，首先看于在是否单调，若单调，则/（x）在小）内有零 点可以得到f（a） /（6）<0,若不明确于（兀）在劝的单调性，则采用“分离参数法”，即先把参数（待求范围的那个字母）分离出来，然后利用

5、下列原理。门兀）有解0。/（叽 ；。5兀）有解0。</叽 ；爪/（兀）有解0心（兀）值域例如3、已知方程-/+兀+。=0在(1,2)有解，求实数d的取值范围解析：这题屮“ a ”是参数宀”是变量，显然/(x) = -x2+x + c/ = o在(1,2)单调所以，方程-x2+x + a=0 在(1,2)有解 o/(l)j (2)v0 解得 aw (0,2)例如4、已知方程-x2 +x +a =0在-1,1有解有解，求实数。的取值范围解析：这题中是参数，“兀”是变量，/(%) = -兀2+“心0在不单调，而“/很好分离，所以采取“分离参数法”，本题0。=兀2_兀有解范围(/_兀)范围是-1

6、,2,所以a2443. “多变量恒成立问题”与“多变量有解问题”的解题策略：可以对变量逐一考虑，即先考虑 把一个变量当作主元，把另外变量当作参数，在分析完一个变量后再考虑剩下的变量。例如5、“2004 福建卷”已知f (x)二孕工(xgr)在区间1, 1上是增函数,实数a的值组成 x2 +2的集合a；设关于x的方程f(x)二丄的两个非零实根为xi、&试问：是否存在实数m,使得不等 式 m2+tm+l m xi x2i 对任意 aea 及 t w 1, 1恒成立?解析：本题中“ m ”是参数，“兀”与“/ ”均是变量，先把“ t ”当作参数，则n?+tm+l为参数, 所以 m2+tm+l

7、 |xi x2|对任意 aa 恒成立+ -|niax，容易求 a二a| lwawl 而 xi x21 二 j(兀+ 七)2 4兀尤2 二 jd彳 + 8 . * 1 wa.w1,xix2 = yl+ 8 w3.所以m2+tm+13对任意te-l, 1恒成立,此时 变量只剩“严，考察“严 的函数设g (t) =m2+tm2=mt+ (m2 2)是关于t的一次函数，观察一次函数图形知道g(l)=m2m20, g(l)=m24-m20 解得 mm2 或 mw2。4. 一些较为隐蔽的“恒成立问题、有解问题”(1) 一些较为隐蔽的“恒成立问题”%1 出现类似“在区间d上单调递增(递减)”的有关问题，其求

8、解策略利用以卞结论：/(%)在d上单调递增，则.厂(x)2 0在d上恒成立于(兀)在d上单调递减，则fx)<0在d上恒成立%1 定值问题，其求解策略利用以下结论：f(x) = anxn+ + 绚+ + a。为定值 o an = an_ =. = % = 0例如6、在半面直角坐标系xoy中,过定点c(0, p)作直线与抛物线f =2p.y(p>0)和交于a、b两点，是否存在垂直于y轴的直线/,使得/被以ac为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求 出/的方程;若不存在，说明理由.解析：假设满足条件的直线/存在，其方程为)=0，人(坷,x)利用垂径定理可以求出弦长为i pq = 他一彳

9、）+4a（"一a）令 q-彳=° ,得。=£，此吋pq = p为定值，故满足条件的直线/存在，其方程切咄函数对称问题，其求解策略利用以下结论:/(x)关于(a,b)对称 o /o) + /(2d-兀)=2b恒成立/(兀)关于x = a对称 o f(x) = f(2a-x)例如7、设函数/(x) = ax + !(a, bwz),曲线y = f(x)在点(2, /(2)处的切线方程为y二3函x + b°°数y = f(q的图像是一个中心对称图形，求其对称中心；解析：容易求 /(x) = x + , /(x) = x +一关于(a,b)对称 o f

10、(x)- f(2a -x) = 2b恒成立x-x-/(x) + f(2a -x) = 2b恒成 '/1 <=> x +2a-x +j= 2/?恒成、'/：x 12a x u> (2b - 2a)x2 + 2(2b 一 2a)ax + (2ci 一 2b)(2a 一 1) + 2a - 2 = 0恒成立o (2b 一 2a) = 0,2(2b - 2a)a = 0, (2a 一 2b)(2a-l) + 2a-2 = 0 恒成立解得a=b = ,所以/(x) = x + !关于(1,1)对称x-1函数单调性的逆运用问题，其求解策略利用以下结论：x < x2,

11、/(xj) < /(x2) <=> /(兀)为增函数 o fx)>0 恒成立兀1 < x2,/(xj) > /(x2) «> /(x)为减函数o .厂5 0恒成立例如8、“2011 福建省质检”已知函数/(x) = x + -+ln,令g(x) = /z(x),问是否存在实数k, 使得函数gd)的图彖上任意不同两点连线的斜率都不小于k,若存在，求k的取值范围；若不存 在，说明理由.>k解析：在函数g(兀)任取两点a(xliy1b(x2,y2xl <x2 函数g(q的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于koo y2 一 开 >

12、kx2-kxx <=> y2 - kx2 > y - kx o g(x2)-kx2 > goj-hq构造 h(x) = g(x)-kx 9 则 h(x2) > fi(xj <=> 方(兀)为增函数 o fi'(x) > 0恒成立函数最值的逆运用，其求解策略利用以下结论：/(%)最大值为m u> /(x) < m恒成立/(%)最小值为加o /(x) > m忙(成立 例如，9、设 agr,函数 f(x) = ax3-3x2,若函数 g(x) = /(x) + /z(x), xg 0, 2,在 x二0 处取得最犬 值，求a的取

13、值范围.解析：这题若从函数g(x)单调性入手非常麻烦，涉及到字母讨论，但若转化为恒成立问题就很简 单，避免了字母讨论,即如下转化：等价于g(x)wg(o)=o在0,2上恒成立,然后采取分离参数法容易求出。的取值范围是1 o0(2) 一些较为隐蔽的“有解问题”%1 出现类似“/(兀)在区间d上存在增区间(减区间)”冇关问题，英求解策略利用以下结论：/(x)在区间d上存在增区间，则> 0在d上有解于(兀)在区间d上存在减区间，则兀)<0在d上有解例如12、/(x) = x2-l-alnx在1,2存在增区间，求a范围解析：本题o广=2兀+纟>0在(1,2)有解%1 “两函数图形至少

14、有一个交点(有交点)”问题，其求解策略利用以下结论：y = /(兀)图象与y = g(o图象有交点o /(%) = g(x)有解o f(x)-g(x)=0有解例如 13> 已知函数 f (x) =2cos2x+cos x 1, g(x) =cos2x+a(cos x +1) cos x 3.若 y = f (x) 与y = g(x)的图象在(0, ji)内至少有一个公共点试求a的取值范围解析： 本题o fo)= g(x)在(0,兀)有解 oq = w x + 2二cos无+ 1 + 1在(0,龙)冇解cos x + 1cos x 4-1%1 存在性、探究性问题，“是否存在”可以转化为“是否有解”3x,a = f(x) o a = f (兀)有解o a w f (兀)值域不存在兀,a = /(x) <=> a = f (兀)无解o a e /(x)值域例如10、“2011 福建卷”已知a, b为常数，且aho,函数f(x) = -x + b + axinx,/(e) = 2 ,是否同时存在实数m和m(m<m),使得对每一个t e m, m,直线y二t与曲线y=f(x)(x g -,e )都有 _e _公共点，若存在，求出最小的实数m和最大的实数m；若不存在，说明理由