空间向量与立体几何复习

1、空间向量与立体几何（复习二）【学情分析】：学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量 的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。【教学目标】:（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。【教学重点】：o计算空间角。【教学难点】：计算空间角，角的取舍。【课前准备】：投影【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习1o两条异面直线所成的角，转化为分别与这两条异面直线 共线的两个向量的夹角（或补角）。（要

2、特别关注两个向 盖的七向）2o直线与平面所成的角，先求 直线与平面的法向量的夹角（取锐角）再求余角。3o二面角的求法：方法一：转化为分别是在二面角两个半平面内且与棱都垂直的两条直线 cA上的两个向量的夹角BD（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角al邛的大小为0,A, Bel, AC a, BD p, AC±I, BD±I贝lj 6=< AC, BD >=< CA , DB方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角补角）。4。点P到平面的距离：0这里只用向量解题， 没包括传统的解法。d先在内任选一点Q,求出PQ与平面的夹角0Q则 d PQ si

3、n二、实例例2.如图，三棱锥pABC中，PBJ底面于NARCcBCA=90 ° , PB=BC=CA= 4 2 ,点 一,匚点F分别是PC,AP的中点.(1)求证：侧面PACJ侧面PBC;(2)求异面直线AE与BF所成的角；(3)求二面角A BEF的平面角.解：(1),/ PB_L平面 ABC ,平面 PBC_L平面 ABC, 又; AC± BC,ACJ平面PBC侧面PACJ侧面PBC.此处可引导特色 班的学生尝试传 统的方法来解(2)以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由 条件可设P(0,0,4 2),B(0,0,0),C(0,4 2,0), A(

4、4 2,4 2,0)贝I E(0,2 2,2 2),F(2 2, 2 2,2 2)AE ( 4 2,2 2,2 2),BF (2 2, 2 2,2 2),AE BF16J AE| |BF | 24 2,cos AE,BFAE与BF所成的角的余弦值是3)平面EFB的法向量a= (0,1,1),平面ABE的法向量为b=(1, 1, 1) cos a,b 3二面角A BE F的平面角的余弦值例3.如图，正方体 ABCD ABCD 的 棱长为1, E、F 、 N分别是 M、 BC BiG 的 A1B1中点,为zzW0)用向量方法求直线EF与MN的夹角；、(II)求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；(

5、III )求二面角N EFM的平面角的余弦值.解：建立如图所示的空间直角坐标系11则有 E ( , 0, 1, ) , F ( 1, (1,Axyz ,1,0), M (,11, 1) , N2222三、小结四、作 业夜111).1 ti1) a-efeF= y , MN=(,-,20),1,2222211 1-'.EF± MN,即直线EF与MN的夹角，为0) = . +0=0.90° .24411.(鲍的omN) , MN=(,-,0?EFAFN=F3)二面 角（见一）MN，平面ENF.所成角的余弦为零。22MEFN的平面角的余弦值为1051.在直三棱柱 ABCA

6、iBiC 中，CA=CB=CC 1=2,E、F 分别 ZACB=90 ° , BA、BC 的中点，G 是 AA是±EG- i上一点，且ACiI ）确定点G的位置；ID求直线AC I与平面EFG所成角e的大小.解：（I ）以C为原点，分别以CB、CA、 y轴、z轴建立空间直角坐标轴、CCi 为 x系，贝lj F ( 1, 0, 0), (1, 1, 0) , A (0, 2, 0)Ci (0, 0, 2),ACi (0, 2,2)设 G (0, 2,h),贝IJEG ( 1,1, h) . ACiEG,BEGAC70.-1 Xo+1 X ( 2)+2h=0.h=1,即 G 是

7、 AA 1 的中点.Il')设m (x,y,z)是平面EFG的法向日M,则 m FE,m EG.所以0 x 1 y OzO, xy zO.平面EFG的一个法向量m= ( 1, 0, 1)sin |m ACi|21,|m| |ACi|22 22-6,即AC与平面EFG所成角为62.在三棱柱ABCAiB£i中，四边形A1ABB1是菱形，四边 形 BCC1B1 是矩形，AB±BC,CB=3 , AB=4 , Z A iAB=60 ° . ( I )求证：平面 CA iB_L平面AiABB 1;( II )求直线AC与平面BCC 1B1所成角的余弦值；(III)求

8、点C到平面ACB的距离. 答案：(I )先证BCJ平面AiABBi, 平面CAiB_L平 面 AA 1BB1,(II ) 13. 5(III) C到平面AiBC的距离为2 3.教学与测试(基础题)1.空间四边形OABC中，OB OC ,AOB AOC , 3贝lj cos < OA, BC >的值是()A.B.1C.一D. 0答:cos OA,BCOA BCOCOA OC cos OA OBcos30OA BCOA BC2 . 2.若向量a2ijk,b4i9jk,则这两个向量的位置关系是 答：垂直 a (2, 1,1) ,b (4,9,1) , a b 0 a bo3 .如图所示的

9、多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AECF所截面而得到的，其中AB 4,BC 2,CCi3,BE 1. I )求BF的长；II )求点C到平面AEG F的距离.A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2, 4,1),Ci(0, 4,3)设 F (0,0, z).丁 AECF为平行四边形,由AEGF为平行四边形，由 AF ECi 得,(2,0, z) ( 2,0,2), z 2. F (0,0,2).EF(2, 4,2).于是|BF|26,即BF的长为26.(H)设m为平面AECF的法向量，显然m不垂直于平面ADF,故可设m(x,y,1)又CG(0Q,3),设CG与m的夹角为，则由 n

10、i AE 0,得 0x4y10m AF 0,2x0y204y 1 0,1,2x2 0,CCi m3 4 33cos|CCi| |m|3i 1 i33 ' C到平面AECiF的距离为d I CC1 | cos 3 4 334 3333114 .如图，在长方体ABCD A1B1C1D1,中，ADAAAB2,点E在棱AD上移动.(1)证明:DiE AiD ；EC2)当E为AB的中点时，求点E到面ACDi的距离;3)AE等于何值时，二面角Di EC D的大小为.4解：以D为坐标原点，直线DA,DC,D»分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE x ,则Ai(1,0,1),Di(

11、0,0,1), E(1,x,0), A(1,0,0), C(0, 2,0)1)因为1)0,所以 DAi DiE.2)因为 E 为 AB 的中点，则 E (1,1,0),从而 DiE (1,1,1), AC (1,2,0),n AC 0,a2b0也即acOADi ( 1,0,1),设平面ACDi的法向量为n (a,b,c),则n ADi 0,a 2b,从而n （2,1,2）,所以点E到平面ACDi的距离为aciuit n I z iz i nIn I33n DiC 0, nCEO,依题意COS4InDDD|n|DDi|2222 (x 2) 2 5 23)设平面 DiEC 的法向量 n(a,b,c

12、), A CE (1,x 2,0), DiC (0,2, 1),DDi (0,0,1),2b cOab(x2)0.令b1，c2,a2, x.Xi2 3 （不合，舍去）AE2 3时，二面角DiECD的大小为.4（中等题）5 .如图，在三棱柱ABC AiBCi中，AB侧面BBiCC, E为棱CC上异于C,C的一点，EAEBi,已知AB2, BBi2,BC 1, BCCi ,求:3异面直线AB与EBi的距离;（II ）二面角AEB1A1的平面角的正切值.解：（I）以B为原点，BB- BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系 由于，AB 2, BBi2, BC 1, BCCiB(0,0,0), A(0,0

13、, 2), Bi(0,2,0) ,C( 23,12,0),Ci( 23,23,0)设 E(户,0),由 EAEB*得 EAEB2即233o ( , a, 2) ( ,2 a,0) 223 23 a(a 2) a2 2a , 44)B Q p12B1E得(a 21)(a 32)。，即 a ) 或 a 23 (舍去)，故 E(BE EBi (3 J 0)(33o)3310 0 0 0/1/又AB侧面BBiCiC ,故AB BE.因此BE是异面直线AB,EBi的公垂线,3151IJ|BE|43 41 1 ,故异面直线AB,EBi的距离为1.%)由已知有EAEBwBAEBi,故二面角AEBiA的平面角

14、的大小为向量BA与EA的夹角.31因 B1A1 BA (0,0, 2), EA(, 2),22故cosEAB1 A13,ABCD, E 是 AB 上| EA| B1A1I6 .如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面 一点，PF EC.已知 PD 2,CD 2, AE 1,2求(I )异面 直线PD与EC的距离；(II)二面角E PCD的大小.解：(I )以D为原点，DA、DC、 DP分别为x, y, z轴建 立空间直角坐标系.由已知可得 D (0,0,0), P(0,0, 2), C (0, 2,0)设 A(x,0,0)( x 0),则 B(x,2,0),113E(x, ,O),PE (x, , 2),CE (x, ,0).由 PE CE 得 PE CEO, 2 2 2即 x23 0,故 x3 由 de CE ( 3,1,0) ( 3, 3,0)0 得 DE CE ,422222又PDDE,故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得|DE|1,故异面直线PD,CE的距离为1.(II)作 DG PC,可设 G(0,y,z) ,由 DG PC 0 得(0, y, z) (0,2,