几何与代数：第一章 行列式和线性方程组的求解 (4)

1、含有含有n个未知元个未知元n个方程的方程组：个方程的方程组： Cramer 法则法则含有含有n个未知元个未知元m个方程的方程组：个方程的方程组： Gauss 消元法消元法 + y + y 对应的行列式记为对应的行列式记为 det A 或者或者 |A| . 1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,1 1 0 0 40 1 0 2 20 2 0 2 30 0 0 0 4 1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0 其中其中 , 是自是自由未知量由未知量 (A, )

2、 的非零行数的非零行数 记为记为r(A, ); A的非零行数的非零行数 记为记为r(A); 其增广矩阵为其增广矩阵为 则有则有 r(A, ) =r(A) = 3=未知元的个数未知元的个数 其增广矩阵为其增广矩阵为 则有则有 r(A,b) = r(A) = 2 未知元的个数未知元的个数 其增广矩阵为其增广矩阵为 则有则有 r(A,b) r(A) x2x4 x4考察一般的考察一般的n元方程组元方程组其增广矩阵其增广矩阵经过若干次初等行变换一定可以化成一经过若干次初等行变换一定可以化成一个个s n 0 0 0 1： 在最后的阶梯形矩阵在最后的阶梯形矩阵 中中, r( ) 和和 r() 的关系如何？的

3、关系如何？ （）r(） r( )r(） = r( ): (1) (2) r(） = r( ) + 只可能是只可能是 只可能是只可能是r(） = r( ) r(） = r( ) = 矛盾方程出现，方程组无解；矛盾方程出现，方程组无解；方程组有无穷多解方程组有无穷多解方程组有唯一解方程组有唯一解例例 求下述齐次线性方程组的通解求下述齐次线性方程组的通解x1 x2 3x3 + x4 =02x1 2x2 + x3 - x4 =04x1 4x2 5x3 + x4 =0 x1 x2 + 4x3 - 2x4 =0解解1-1 -3 12-2 1 -14-4 -5 11 -1 4 -2 1-1 -3 10 0

4、7 -30 0 7 -30 0 7 -31-1 0 -2/70 0 1 -3/70 0 0 00 0 0 01-1 -3 10 0 1 -3/70 0 0 00 0 0 0r2 -2r1 r3 -4r1 r4 -r1r3 r2 r4 r2 1/7r2 r1 +3r2通解为通解为 x1 = x2 + 2/7x4 (+0); x3 = 3/7x4 (+0).含有含有n个未知元个未知元n个方程的方程组：个方程的方程组： Cramer 法则法则含有含有n个未知元个未知元m个方程的方程组：个方程的方程组： Gauss 消元法（消元法（3种情形）种情形）习题参考书1线性代数学习指导线性代数学习指导. 张小

5、向张小向, 陈建龙编陈建龙编.北京北京:科学出版社科学出版社,2008. O151.2-42 2 线性代数一本通线性代数一本通. 唐明唐明等等编著编著. 浙大出版浙大出版社社 2007. O151.2-42/97 3线性代数线性代数 (第五版第五版) 同步辅导及习题全解同步辅导及习题全解. 郭郭志梅志梅, 王曙东王曙东 主编主编.中国水利水电出版社中国水利水电出版社 2009. O151.2/107/-5(4) 4线性代数复习和解题指导线性代数复习和解题指导. 同济大学工程数同济大学工程数学教研室学教研室 编著编著. 同济大学出版社同济大学出版社 2002 . O151.2-44/12 习题一（习题一（B）7，9, 10, 11 注意注意：矩阵之间的行变换用：矩阵之