理论力学课件：第七章 正则方程

1、第七章 正则方程 力学体系的哈密顿形式（vs. 拉式形式理论框架）1.运动方程运动方程 Euler-Lagraingian 方程方程: 2s个个(, ) ()0LTVL qqtLdLqdtq2.体系的几种不变性：体系的几种不变性：.1.2. (, )(,) (,)(,) (,)(,)L rrtL rrtL rrL rrL rrL rrrr时间平移不变空间平移不变空间转动不变40.哈密顿方程回顾拉氏量描述的理论形式 需要广义坐标、广义速度相应方程是2阶微分now: 直接使用广义坐标、广义动量作为独立的变量 来表达运动方程：一阶！(数学上，任意高阶的方程通过引入中间变量总可以变为 一阶，代价是独立

2、变量增多，但是更统一！)哈密度形式正是这样的思路now： 具体如何实现(实现方式自然不唯一，我们需要一种统一的方式.)思路1：可以由统一的Euler方程出发，变换其到一阶！思路2：勒让德变换 广义动量拉氏量(, )LL qqt(,)L qqpq哈密顿函数Hp qL重要性质：(, )HH qpt原则上，从广义动量定义出，可以反求出然后代入H！(,)q qp注意：这三者是一代数关系(不保护额外微分关系)，故它们之间的关系在运动过程中不变，也与初始条件无关！用新变量表示正则方程，运动方程！()(, )(, )(, )()(, )(, )()(, )()(dHdp qLp d qq dpdLL qqt

3、L qqtL qqtdLdqd qdtqtqL qqtL qqtddqp d qdtdttqL qqtp dqp d qdttLdHq dpp dq(, )qqtdtt对比，既可得上面结果！性质2Lt拉氏量时间平移不变，H守恒拉氏量，哈密顿函数包含其他参数，假定把这些参数看到变量,比如：拉个朗日乘子系数；有进一步，比较 思考：把这些参数当作广义坐标，其相应的广义动量是0，则41.罗斯函数物理意义：对部分广义坐标相应的内容做勒让德变换 混和假设广义坐标 相应的广义动量性质or现在运动方程的表示完全用罗斯函数表达的运动方程 (剩余那一个)体系的能量存在循环坐标时(即某些广义坐标相应的广义动量是常数

4、!)如果q是循环坐标，L不显含q, 罗斯函数也不显含q,R只是 的函数.,p 此时，关于 的运动方程表达为其中p为固定常数，和体系的初始状态有关，该方程与q无关! 退耦。另外一个可以直接求!罗斯函数的作用：42. 泊松括号对任意力学量 有其中已定义代入哈密顿方程,有上面括号称为 泊松括号。运动积分条件不显含时间时，即要求算符，对易，。泊松括号的重要性质任意两个函数之间的泊松括号特殊情况，如果f, g之一是广义坐标或广义动量，则雅克比恒等式证明：1：直接代入：麻烦计算可得2：方便技巧方法左边，对f ,第一项只包含f的一阶微分，第二、三项包含f的二阶微分，现在来看第二、三项对f的二阶贡献设则D1，

5、D2的一般形式(不包含2次微分形式)其中系数任意。由此二、三项对f的2阶微分贡献为0左边只有二阶微分贡献？ , , , , , , = ()() + ()() +fg hg hfgh fpqpqpqh fghf gf ghpqpqpqfghh gghh gfp qpqpqppqpqqgh ffhh ffhfpqp qp qpp qp qqhp ()() =.fgfgfgfgfqpqpqppqpqq 0calculation by mathematica重要性质：如果f, g是运动积分，则它们的泊松括号也是运动积分。（注：表达成函数关系） 泊松定律证明： 不显含时间，直接由雅克比恒等式可得，取h

6、=H。显含时间由前面043. 作为坐标函数的物理作用量作用量回顾，最小作用量原理，2端点固定，求物理路径！Now: 固定初始位置，t2时刻通过不同位置q，这种情况下相应的物理路径的作用量。函数关系无穷小：路径和路径之间的作用量差，一个自由度回顾最小作用量原理:是t1,t2时刻，q1,q2固定，作用量应取极值,now: q2变，路径为真实物理路径，则可得(多自由度)可得，这种情况下同样可以研究t1时刻位置固定，不同时刻t经过不同位置q2 这样的物理情况下，作用量关于时间t,q2函数的性质：又可得再进一步：可以假设，初始时刻也变，初始点也变，4个变量，真实物理路径相应的作用量物理意义： 运动过程中

7、，无论外部作用对体系如何，终点运动状态都不可能是初始状态的任意函数！ 只有右端表达式构成全微分的那些运动才有可能(注：任意作用下)，于是，不管拉格朗日函数具体形式，最小作用量原理给出了可能的运动集合的一定限制！直接由最小作用量原理到哈密顿方程： 把坐标和动量作为独立变分的变量1个自由度情况(分部积分)0真实的路径即满足44.莫培督原理： (略) 仅确定运动轨迹，不确定轨迹关于时间的函数！ 对比：2体中心力时，第一个只确定r关于角度的关系给出轨迹方程！45. 正则变换在广义坐标、广义动量 这2s个变量做变换下，如果运动方程保持正则形式，这样的变换称为正则变换！设要求iP由此要求，可得要求被积核仅

8、相差一时间全微分，即正则变换可由函数F描述，称为母函数母函数是新、老广义坐标的给定函数给出了新、老变量之间的关系，也给出哈密顿量之间关系也可以用广义坐标、动量来表示母函数改写(新的母函数)其他2种变量表示情况母函数不显含时时，此时，新老哈密顿量相等！注意：这里在变换下，为保持方程形式不变，新哈密顿量并不是直接由老哈密顿直接用新变量代换而来只在母函数不显含时间下，如此！正则变量的广泛性p, q正则共轭变量重要性质证明思路46.刘维尔定理相空间的概念: 即状态空间2s维刘维尔定律内容 物理运动过程中，相空间某区域体积不随时间变化。 该体积在正则变换下也不变！Consider a region in

9、 phase space and watch it evolve over time. Then the shape of the region will generically change, but Liouvilles theoremstates that the volume remains the same.40Proof: Lets consider an infinitesimal volume moving for an infinitesimal time. We start in a neighbourhood of the point (qi; pi) in phase

10、space, with volumeThen in time dt, we know that41So the new volume in phase space iswhere detJ is the Jacobian of the transformation dened by the determinant of the 2n * 2n matrixTo prove the theorem, we need to show that detJ = 1.42a single degreeb of freedomwhich means thatso that the volume remai

11、ns constant for all time.43进一步，在正则变换下，相空间体积也不变.这点，在了解 正则变换和体系演化 间的关系后回头看，会更直接和清楚.47.哈密顿-雅可比方程回忆：作用量作为坐标和时间的函数时，有代入，有称为哈密顿雅可比方程作用目的: 给定H关于广义坐标动量的关系，可求出物理路径所相应的作用量S, 等价于运动方程！这点容易想象：因为前面的关系都来自于最小作用量原理， 或物理路径所相应的作用量。差别在于：表述的自变量不同，待求解的量也不同！ 但是之间都有等价关系。哈密顿雅克比方程(一阶偏微分方程)的性质解的普遍形式：来源:方程中只含有S的微分形式now: start

12、playing gameProblem: How to get q(t) from such solved S自变量采用老坐标、新动量联系前面的正则变换，选取下列母函数回忆则有f满足哈密顿-雅克比方程(因为就是解)则有由此，新坐标，新动量：又由正则变换关系可用时间和2s个常数来求出s个坐标，于是求得解！达到目的：知道S的解后，就可求出q(t).应用哈密顿雅克比方程的思路:1:根据哈密顿量形式写出哈密顿雅克比方程2:求解哈密顿雅克比方程(即求出全积分,不是一般积分.)3: 求解 代数方程组 得到坐标、动量关于 常数以及t 的关系。 注意：常数的数目和初始状态。特例： 保守系统，哈密度量不显含时间

13、时，可求得 代入，也有48.分离变量求解哈密顿雅克比方程的方法回忆数学物理中的分离变量思想：一致！情况：假如一个坐标q和其相应的d/dq在方程中只以某种组合出现，该组合不包含其他坐标和时间，即假如方程如：(其实即是：和其他变量脱离耦合，退耦)其中 qi不包含q1则方程的解可写成如下(和的形式分离 对比数学物理里面乘积的形式分离)代入不包含q1只包含q1并且q1,qi独立变量只能新的偏微分方程独立变量下降了！1：完全变量分离： 所有的变量都可以分离的情况，全积分形式2:体系有循环坐标时(H不显含某些变量)则也不显含在哈密顿雅克比方程中，此时可求得例子：1：球坐标下的H形式：单粒子Problem：

14、正则方程形式哈密顿雅克比方程形式注：这里面已经应用了H守恒！注意：上面形式不同变量之间脱离耦合Problem: why 球坐标？势能的形式相关代入有积分可得对这几个常数求导结果，等于新的常数，既得到坐标、动量关于时间的函数关系！ 常数由初始状态决定求导结果求导结果2：抛物线坐标柱坐标到抛物线坐标的变换公式引入可得拉氏量形式(柱坐标与抛物线坐标)广义动量：哈密顿量物理上感兴趣的势能形式哈密顿雅克比方程代入积分可得任意积分常数：3：椭圆坐标拉氏量形式哈密顿量形式哈密顿雅克比方程分离变量、通解形式例例1 写出粒子在中心势场写出粒子在中心势场 Vr 中的哈密顿函数和正则方程。中的哈密顿函数和正则方程。

15、 解：粒子在中心势场中运动的特点、自由解：粒子在中心势场中运动的特点、自由度、广义坐标如何？度、广义坐标如何？粒子的拉格朗日函数为粒子的拉格朗日函数为rrrmL )(21222 （1） 广义动量广义动量 22,mrpmrLpmprrmrLprr （2） 哈密顿函数哈密顿函数 rrppmrrrmWhyVTHr )(21)()(21?)(222222例题于是得正则方程于是得正则方程 （径径向向运运动动方方程程）22232)(rrrmrmrprHpmppHrrrr （3） （角角动动量量守守恒恒）常常数数 220mrpHpmrppH（4） 例例2 写出粒子在等角速度转动参考系中的写出粒子在等角速度转

16、动参考系中的H函数和正则方程。函数和正则方程。 解：解：(取图取图7.3所示的转动参考系所示的转动参考系)。粒。粒子的子的L函数为函数为 VrmrmmL 22)(21)(21 （1） 所以所以回忆拉式量)(rmmLp rmp （2 2）（3）则哈密顿函数则哈密顿函数VrmmVrmrmmrmmLpH 2222)(2121)(21)(21)( （4）（3）式代入（）式代入（4）式，得）式，得 VrpmpH )(22 （5） 将将rmmp 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程Frmmrmm mrmFam2)( 正则方程为正则方程为 rVprHprmpPH

17、)(（6） 例例3 用正则变换法求平面谐振子的运动用正则变换法求平面谐振子的运动yxpp ,，振，振 解：设振子沿解：设振子沿x，y方向的动量为方向的动量为动频率为动频率为21, ，哈密顿函数为，哈密顿函数为)(21)(2122222122yxmPPmVTHyx 设母函数设母函数),()(212222121 qFctgyctgxmF 由（由（7.19）式，得）式，得 2222221221112211csc21,csc21, ymQFPxmQFPxctgmyFPxctgmxFPyx （2）xPyP将（将（3 3）式中的）式中的及及表示代入（表示代入（1 1）中，得）中，得 )(21)(22222

18、12222212221yxmctgyctgxmH )1(21)1(212222212221 ctgymctgxm 2222212221csc21csc21 ymxm *)(2211HPP （4） （5） 由（由（7.15）式，得）式，得 221121,0,0 QQPP （6） 积分得积分得 2221112211, tQtQCPCP （7） 积分常数积分常数2121, CC由起始条件决定。由起始条件决定。 由（由（3）式得振子运动方程）式得振子运动方程 )(csc21)(csc2122222221122111 tymCPtxmCP )sin(22)sin(22221111 tmCytmCx （8

19、） 7.5 解题指导解题指导 （1）习题类型及基本解法）习题类型及基本解法 哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。 基本解法：将体系的拉格朗日函数基本解法：将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数或哈密顿函数H代入相应的方程即得代入相应的方程即得 体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是： 补充 分析体系约束类型，主动力性质；分析体系约束类型，主动力性质； 确定自由度，选择

20、适当的广义坐标；确定自由度，选择适当的广义坐标； 正确写出体系的正确写出体系的L函数和函数和H函数；函数； 将将L或或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可得出体系的运动微分方程；得出体系的运动微分方程； 方程，出要求的量。方程，出要求的量。 范例范例 例例1 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。 解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2，以，以r，Q为为广义坐标，拉格朗日函数为广义坐标，拉格朗日函数为 rrrmL )(21222代入哈密顿原理表达式

21、，得代入哈密顿原理表达式，得0)2()()2()()()()()()(21)(2122122212212222212222122221222212222121 dtrr rmrdtrrrmmrrrmddtrrr rmrdtdmrmrrrmrrmdtddrrdtdrrrrdtdrmdtrrrrrrrmdtrrrmdtrrrmLdtstttttttttttttttttt 0)2()(22221212 dtrr rmrrrrmmrrrmtttt 0)2()(02221 dtrr rmrrmrrmtt 0)2()(22 rrmrrrm 例例2 用哈密顿用哈密顿雅可比方程解开普勒问题。雅可比方程解开普勒

22、问题。 解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为雅可比方程形式为EqWgH ),( （1） 哈密顿函数哈密顿函数rarppmHr )(21222 （2） 由由 ),(,),(rWprrWprr，代入（，代入（2 2）和（）和（1 1）得哈密顿）得哈密顿雅可比方程为雅可比方程为 EraWrrWm )(1)(21222 （3） 求出方程（求出方程（3）的解，代入）的解，代入 2),(),(mrrWprmrrWpr （4） 可得可得 0)2()(22 rrmrarrm用用22mr乘（乘（3 3）式两边，并移项得）式两边，并移项得 2222)()(2)( WrraEmrWr （5） 用分离变量法求解，令用分离变量法求解，令)()(),(21 WrWrW （6） 将（将（6）代入（）代入（5）得）得 22221)()(2