平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、学习必备欢迎下载平面向量 复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （ 1,2）， B（ 4,2），则把向量AB按向量a （ 1,3）平移后得到的向量是_（答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是AB)；|AB|（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5）

2、平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行 。 提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（因为有0 ) ；三点A、B、C共线AB、AC共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。如下列命题：（ 1）若ab，则ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC，则ABCD是平行四边形。（ 4）若ABCD是

3、平行四边形， 则ABDC。（ 5）若ab ,bc，则 ac 。（ 6）若a / b, b / c，则a / c。其中正确的是_（答：（ 4）（ 5）2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，则平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y，称x, y为向量a 的坐标，a x, y叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.

4、 平面向量的基本定理：如果e1 和e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使a=1 e12 e2。如（ 1）若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，则 c_（答： 1a3b ）；224、实数与向量的积：实数与 向 量a 的 积 是 一个 向 量 ， 记 作a，它的长度和方向规定如下：1aa , 2 当>0 时，a 的方向与a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与a 的方向相反，当 0时，a0，注意：5、平面向量的数量积a 0。：（ 1）两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作OAa ,OBb，AOB0称为向量a ，

5、 b学习必备欢迎下载的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直。2（ 2）平面向量的数量积 ：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a |b | cos叫做 a 与 b的数量积（或内积或点积） ，记作： ab ，即 a b a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数， 不再是一个向量 。如（ 1） ABC 中，| AB |3，| AC | 4，| BC |5，则 AB BC_（答： 9）；（ 3）b 在 a 上的投影 为 | b |cos，它是一个实数， 但不一定大于 0。如 已知 | a |3

6、 ，| b |5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答：12 ）5（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。（ 5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则： abab0 ；当 a ， b 同2aa2, a2b ab ；当向时， a b a b ，特别地， aaa ；当 a 与 b 反向时， a为锐角时，ab 0，且 a、b 不同向， a b 0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， ab 0，且 a、b 不反向，ab 0是为钝角的必要非充分条件；非零向量 a ，b 夹角的计算公式： c

7、osab； | a b | | a | b | 。a b如（ 1）已知 a( ,2 ) ，b (3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角， 则 的取值范围是 _（答：40或13且）；36、向量的运算：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用 “三角形法则” ：设 ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（ 1 ）

8、 化简：ABBCCD_ ； ABADDC_； ( ABCD)( ACBD )_（答：AD ； CB ； 0 ）；（ 2）坐标运算 ：设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则： 向量的加减法运算 ： ab (x1 x2 ， y1 y2 ) 。如（ 1）已知点 A(2,3), B(5,4)， C(7,10) ，若AP ABAC(R) ，则当 _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答：1 ）；2 实数与向量的积 ：ax1 , y1x1,y1 。学习必备欢迎下载若 A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 ABx2x1, y2y1，即一个向量的坐标等于表示这

9、个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3), B( 1,5)，且1ACAB，AD3AB，则、 的坐标分别是（答：C D_311),(7,9) ）；(1,3 平面向量数量积 ：abx1x2y1 y2。如已知向量a （，）b （sinx，） c （ ， ）。sinx cosx,sinx,1 0（ 1）若 x3，求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 3 , ，函数 f (x)a b 的最大值为1 ，求的值（答：842(1)150;(2)1 或21）；2 向量的模 ：| a |x2y2, a2x2y2 。如 已知 a, b均为单位向量， 它们的夹角为60 ，那么 | a3b | a

10、 |2 _（答：13 ）； 两点间的距离 ：若 Axy,B, x y ,，则|AB|x22y22xOy12x1y1 。如 如图，在平面斜坐标系12中，xOy60，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2 ，其中 e1, e2分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量，则 P 点斜坐标为( x, y) 。（ 1）若点 P 的斜坐标为 （2， 2），求 P 到 O 的距离 PO；（ 2）求以 O 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（ 1） 2；（ 2） x2y2xy10 ）；7 、 向 量 的 运 算 律 ：（ 1 ） 交 换 律 ： abba ，a

11、a ， a bba ； (2) 结 合 律 ：a b ca b c, a b c a b c ，a ba bab ； （ 3 ） 分 配 律 ：aaa,abab ， abcacbc 。如下列命题中： a ( bc)a ba c ； a ( b c) (a b ) c ； ( a b)2 | a |2222a bb2 | a | | b | b | ； 若 a b0 ，则 a0 或 b0 ；若 abc b, 则 a c ； aa ；2；aa ( ab)222； ( ab) 222ab2abab 。其中正确的是 _（答：）提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以

12、移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a(b c)(a b)c ，为什么？8 、向量平行( 共线 ) 的充要条件 ： a / b ab( a b)2(| a | b |)2x1 y2 y1 x2 0 。 如 (1) 若向量a( x,1), b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）；学习必备欢迎下载9 、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： a ba b 0| a b | | a b |x1 x2A BA CA

13、 BA C1,2),OB(3,m) ，若 OA OB ，则 m()(A B。)如(1) 已知 OA (A BA CA C10. 线段的定比分点 ：（ 1）定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1 P2 上异于 P1 、P 2 的任意一点， 若存在一个实数y1 y20 . 特 别 地（答： 3 ）；2，使 12PPPP ，则叫做点 P 分有向线段PP12 所成的比， P 点叫做有向线段PP12的以定比为的定比分点；（ 2）的符号与分点P 的位置之间的关系：当 P 点在线段 P1P2上时>0；当 P 点在线段 P1 P 2的延长线上时< 1；当 P 点在线段 P 2 P1 的延长线上时

14、10 ；若点 P 分有向线段 PP12 所成的比为，则点 P 分有向线段 P2 P1所成的比为1 。如若点 P分 AB 所成的比为3 ，则 A 分 BP 所成的比为 _（答：7）43（ 3）线段的定比分点公式：设111、2 22，P(x, y)分有向线段PP12所成的比为，则P ( x , y )P ( x , y )x1x2xx1x2x21 1 时，就得到线段 P1 P 2 的中点公式，特别地，当yy。在使用定比分点的坐标公式y1y2y12y21时，应明确 ( x, y) ， ( x1 , y1) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件

15、，灵活地确定起点， 分点和终点， 并根据这些点确定对应的定比。如（ 1）若 M（ -3，-2），N（ 6，-1），且 MP1MN，3则点 P 的坐标为 _（答： (6, 7)）；311. 平移公式 ：如果点 P( x, y) 按向量 ah, k平移至 P( x , y ) ，则 xxh ；曲线 f ( x, y)0按向量yykah,k平移得曲线f ( xh, yk) 0 .注意 ：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性， 可别忘了啊！如（1）按向量 a 把 (2, 3)平移到 (1,2) ，则按向量 a 把点 (7,2) 平移到点 _（答：（，）；（ 2

16、）函数 ysin 2x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 ycos 2x1，则 a _ （答： (,1) ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（ 2） | a | |b | | a b | | a | | b | ，特别地，当a、b 同向或有0| a b | | a | b |a | | b | | a b | ； 当 a、b 反 向 或 有 0| a b | | a |b| |a | b| |a | b； 当 a、b 不 共 线| |a|b| |a | b|a |( |这b些和实数比较类似).学习必备欢迎下载（ 3）在ABC 中，若 A x , y, Bx , y2,C x , y ，则其重心的坐标为G x1x2x3 , y1y2y3 。1123333如若 ABC的三边的中点分别为 （ 2，1）（、 -3 ，4）、（ -1 ，-1 ），则 ABC的重心的坐标为 _（答：(2,4) ）；33 PG1(PAPBPC )G 为ABC 的重心，特别地 PA PB PC0P 为ABC 的重心；3PA PBPB PCPCPAP 为ABC 的垂心；向量(ABAC )(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线