高中数学第8章统计与概率8.3正态分布曲线讲义含解析湘教选修2_3

1、8.3正态分布曲线16抽象问题情境化.新知无师自通读教材填要点1.正态曲线及其特点正态曲线的概念:函数p(x)=m，+m ），其中实数, d （T >0）为参数，我们称p（x）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线的特点 曲线位于X轴上方，与x轴不相交; 曲线是单峰的，它关于直线 X= 1对称;1 p（ X）在X = 1 处达到最大值 弋2 n d 当d 一定时，曲线随着 1的变化而沿X轴平移; 当1 一定时，d越大，正态曲线越扁平；d越小，正态曲线越尖陡; 曲线与X轴之间所夹的面积等于 1.2. 标准正态分布随机变量X为服务从参数为 1和d2的正态分布，简记为 XN（ i ,

2、 d 2）.特别当1 = 0, d 2= 1时称为标准正态分布，其密度函数记为1"(X) =_2n e2Xg<x<+8 ），其图象如图所示，简记为XN0,1），其分布函数记为（X）.(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率.R 卩 一 <xw 卩+ b ) = 68.3%;R (1 2 b <x w (1 + 2 b ) = 95.4%;R 1 3 b <x w i + 3 b ) = 99.7%.小问题大思维1. 正态曲线$ i, b(x)中参数1 , b的意义是什么？提示：参数1是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值 E(X)去估计;b

3、是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差QX)去估计.2. 如何由正态曲线求随机变量X在(a, b的概率值？提示：随机变量 X落在区间(a, b的概率为P(avXw b)巴；$(x)dx，即由正态曲 线，过点(a, 0)和(b, 0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积， 就是随机变量 X落在区间(a, b的概率近似值，如图所示.3. 设两个正态分布 N 1 1, b 2)( b 1> 0)和N 1 2, b 2)( b 2>0)的密度函数图像如图所 示.则1 1与1 2, b 1与b 2的大小关系是什么？提示：根据正态分布曲线的性质： 正态分布曲线是一条关于

4、x = 1对称，在x = 1处取得最大值的连续钟形曲线;b越大，曲线越“矮胖”；b越小，曲线越“瘦高”.故 1< 卩 2, （T 1< （J 2.也可通过比较两图象的最高点来判断，1 ,(Tin和显然有3 i< 3 2, T 1< T 2.高频考点題组化名师一点就通正态曲线及其性质例1某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）,则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是（）A. 甲科总体的标准差最小B. 丙科总体的平均数最小C. 乙科总体的标准差及平均数都居中D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析由题

5、中图象可知三科总体的平均数 （均值）相等，由正态密度曲线的性质，可 知T越大，正态曲线越扁平；T越小，正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到 大依次为甲、乙、丙答案A利用正态曲线的性质可以求参数(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x= 1对称，由此性质结合图象求1 .1正态曲线在x = 1处达到峰值，由此性质结合图象可求d .d 2 n1<2冗，求该正态分由d的大小区分曲线的胖瘦.1 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 布的概率密度函数的解析式.解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以正态曲线关于 y轴对称，即1= 0，而正态分布的概率密度函数的最大值是,

6、 1所以 _2n d= <2 n，解得d = 4.2x_故函数的解析式为 01,d (x) = e 32 , 4寸2 nX ( m,+m ).利用正态分布的对称性求概率 因为 F(3 v Xc 5) = F( 3<Xw 1),1所以 F(3 v Xc 5) = 2【P( 3 v Xc 5) P( 1v Xc 3) =§ F(1 4v X< 1 + 4) F(1 2 v X< 1 + 2)=1 F(卩2 d v Xc 卩+ 2 c ) F(卩=1(0.954 5 0.682 7) = 0.135 9.现偉怎结正态变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正

7、态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.熟记 R d <Xc (1+ d),F( i 2 d <Xc i + 2 d ), F( i 3 d <Xc 口 + 3 d )的值.(3)注意概率值的求解转化： F(X<a) = 1 F(X> a)； F( X< 1 a) = F( Xi + a)；则 HX<b)= T2. 已知随机变量 XN(2 , d2)，若 F(X<a) = 0.32，贝U F(acX<4 a) =解析：ri由正态分布图象的对称性可得:Raw X<4 a) = 1 2P(X<a) = 0.36.答案：0.363设随

8、机变量 XN(2,9)，若 P(X>c + 1) = P(X<c 1).(1)求c的值；求 R 4<X< 8) 解：(1)由XN(2,9)可知，密度函数关于直线x = 2对称(如图所示)/ R 冷c + 1) = F(X<c 1),故有 2 (c 1) = (c + 1) 2, c = 2. P( 4<X< 8) = F(2 2X 3<X< 2 + 2X3) = F(卩一2 c <X< 卩 + 2 c ) = 0.954 5.1“.：|利用标准正态分布表求概率例3若随机变量XN0,1)，查标准正态分布表，求：(1) P(X<

9、; 1.26) ; (2) P(X>1.26);(3) P(0.51< X< 3.2) ; (4) P(X< 2.1) 解(1) RXW 1.26) = 0.896 2.(2) P(X>1.26) = 1 P(X< 1.26)=1 0.896 2 = 0.103 8.(3) P(0.51< X< 1.2) = RX< 1.2) RXW 0.51) = 0.884 9 0.695 0 = 0.189 9.(4) P(X< 2.1) = PX> 2.1) = 1 RXW 2.1) = 1 0.982 1 = 0.017 9.现S胡细

10、要求随机变量X在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及特殊概 率的值进行转化求值即可.4. 已知随机变量X服从正态分布N(0, d2)，若P(冷2)= 0.023，求P( 2<X< 2).解：因为随机变量 XN0, d 2),所以正态曲线关于直线x= 0对称.又 P(冷2) = 0.023 ,所以 F(X< 2) = 0.023 ,所以 F( 2< XW 2) = 1 F(X>2) P(X< 2) = 1 2X 0.02 3 = 0.954.5. 已知 XN3 , d 2)，若 P(X< 2) = 0.2，求 RXW 4).解：由正态分

11、布知识，因为XN(3 , d 2),所以 RXW 3) = 0.5 ,RXW 2) = 0.2 = P(X>4),所以 RXW 4) = 1 P( X>4) = 1 0.2 = 0.8.n |解题高手妙解题某厂生产的圆柱形零件的外直径&N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？尝试巧思要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知， 关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间 ( 3 d , 1 + 3 d )之内，还是在区间 (1 3 d , 1 + 3 d )之外若该零件的

12、外直径在区间 (卩3 6,卩+ 3d )之间，则认为该厂这批零件是合格的，否 则，就认为该厂这批零件是不合格的.妙解由于圆柱形零件的外直径& N(4,0.25),由正态分布的特征可知，正态分布N4,0.25)在区间(4 3X 0.5, 4 + 3X 0.5 ),即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026，而 5.7?(2.5,5.5)1. 正态分布密度函数为$"X)2x8 , X ( m,+m )，则总体的平均数和标准差分别是(A. 0 和 8C. 0 和 2B. 0 和 4D. 0 和 2解析：选C由条件可知= 0, d = 2.2右图是当X取三个不同值 Xi, X

13、2, %的三种正态曲线N(0 , d 2)的图像，那么(T 1 ,这说明在一次试验中， 出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基 本思想，认为该厂这批零件是不合格的.随堂垛习常懸化.当堂强化所学d2, d 3的大小关系是()A. d 1>1> d 2> d 3>0B. 0< d 1< d 2<1< d 3C. d 1> d 2>1> d 3>0D. 0< d 1< d 2= 1< d 32_ X12解析：选D当3 = 0, (T = 1时，正态曲线f( X)= e 在x= 0时，取最大1值

14、-2 n，故d 2= 1.由正态曲线的性质，当3 定时，曲线的形状由d确定.d越小， P(X<0)=1 0.3 0.32=0.2.曲线越“瘦高”；d越大，曲线越“矮胖”，于是有 0< d 1<d 2= 1< d 3.3. 已知随机变量X服从正态分布N(2,d 答案：25. 设随机变量 XN(4 , d 2)，且 P(4<X< 8) = 0.3，贝U P(X<0) = 解析： P(4<X< 8) = 0.3 , P(0 w X<4) = 0.3.)，且P(Xv4) = 0.8 ,则P(0vXv2)=()A. 0.6B. 0.4C. 0.

15、3D. 0.2解析：选C 正态曲线关于 x = 2对称，P( Xv 4) = 0.8 , P(冷4) = 0.2，而 RX>4) = P(X<0),又 P(Xv 2) = 0.5 , R0<X<2) = F(X<2) P(X<0) = 0.5 0.2 = 0.3.24. 若随机变量 xN( 3 , d )，贝U Rx< 3 ) =.解析：由于随机变量XN 3 , d 2),其正态密度曲线关于直线 X = 3对称，故P(X< 3 ) 2.答案：0.26. 已知XN(1,4)，求X落在(一R, 3)内的概率. 解：由题意知 3 = 1 , d = 2

16、, P( 1<X< 3) = P(1 2<X< 1 + 2) = 68.3%.由正态曲线的对称性，可知1F(冷3) = 2( 1 0.683) = 0.158 5 ,在（一a, 3）内取值的概率为1 0.158 5 = 0.841 5.应用気YING YONG课下训镰经典化，贵在触类旁通、选择题1.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且 F(2 < X4) = 0.682 6,则 F(冷4)=(B. 0.158 7D. 0.158 5A. 0.158 8C. 0.158 6解析：选B正态曲线关于= 3对称，1 0.682 6F（冷4） =2= 0.158 7.

17、2. 设随机变量X服从正态分布N（2,/），若F（X>c）= a,贝UF（冷4c）等于（）A. aB. 1 aC. 2aD. 1 2a解析：选B因为X服从正态分布 N2 , cr2）,所以正态曲线关于直线 x= 2对称，所以 RX>4 c） = P（X<c） = 1 RX>c） = 1 a.3. 若随机变量XN（2,100），若X落在区间（一a, k）和（k,+a ）内的概率是相等的,则k等于（)A. 2B. 10C. 2D.可以是任意实数解析：选A 由于X的取值落在（一a, k）和（k,+a ）内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x=k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该

18、相等，于是正态曲线关于直线 X=k对称, 即= k，而= 2,. k = 2.4已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0 , 32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量E服从正态分布 N 1 ,'），则R<E <1+ d） = 68.26%, P（ i2 d <E <1 + 2d ） = 95.44%.）B. 13.59%D. 31.74%A. 4.56%C. 27.18%解析：选B由正态分布的概率公式知F( 3< E <3) = 0.682 6 ,F( 6< E <6) = 0.9

19、54 4 ,故 P(3< E <6)=0.954 4 0.682 62=0.135 9 = 13.59%，故选 B.二、填空题5.某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80,标准差为10,从理论上讲，在 80分到90分之间有人.解析：设X表示该市学生的数学成绩，则XN80,10 2），则F（80 10<XW 80 + 10） = 0.683.1所以在80分到90分之间的人数为 48 000 X X 0.68 3 = 16 392（人）.答案：16 3926. 右图是三个正态分布XN（0 , 0.25） , YN0,1） , ZN0,4）的密度曲线，

20、则三个随机变量X, Y,解析：在密度曲线中，(T越大，曲线越“矮胖”；(T越小，曲线越“瘦高”.答案：7. 若随机变量 X服从正态分布 N(0,1)，已知P(Xv 1.96) = 0.025，贝UX < 1.96)解析：由随机变量X服从正态分布 N0,1),得 P(X< 1.96) = 1 P(X< 1.96).所以 印 X < 1.96) = P( 1.96 < X< 1.96)=P(X< 1.96) RXW 1.96)=1 2P(X< 1.96)=1 2X 0.025=0.950.答案：0.950fx±2).1 &若随机变量 X的正态分布密度函数是$(x) =Xe 8( x R)，则2j2nE(2 X 1)=解析：由题知cr = 2,卩