数学物理方法第十二章ppt课件

1、 在复变函数实际中，我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进展反演就得到了原来常微分方程的解 积分变换法是经过积分变换简化定解问题的一种有效的求积分变换法是经过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法对于多个自变量的线性偏微分方程，可以经过实施积解方法对于多个自变量的线性偏微分方程，可以经过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进展反演，就得到了原来偏微分方程使问题得到大大简化，再进展反演，就得到了原来偏微分方程的解积分变换法在数学物理方程也包括积

2、分方程、差分方的解积分变换法在数学物理方程也包括积分方程、差分方程等中亦具有广泛的用途尤其当泛定方程及边境条件均为程等中亦具有广泛的用途尤其当泛定方程及边境条件均为非齐次时，用经典的分别变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，非齐次时，用经典的分别变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的处理方法，并且显而积分变换法为这类问题提供了一种系统的处理方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进展易于求解利用积分变得具有固定的程序，按照解法程序进展易于求解利用积分变换，有时还能得到有限方式的解，而这往往是用分别变换，有时还能得到有限方式的解，而这往往是用分别变量法不能得到的量

3、法不能得到的 特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最适宜不过了注明：无界或半无界的定界问题求解，最适宜不过了注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解也可以用行波法求解用积分变换求解定解问题的步骤为：用积分变换求解定解问题的步骤为： 第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；的积分变换；对于自变量在对于自变量在 (,) 内变化的定解问题如无界域内变化的定解问题如无界域的坐标变量常采用傅氏变换，而自变量在的坐标变量常采用傅氏变换，而自变量在 (0,)内变化内变化的

4、定解问题如时间变量常采用拉氏变换的定解问题如时间变量常采用拉氏变换 第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；方程化为一个含参量的常微分方程； 第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；条件； 第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解 用分别变量法求解有限空间的定解问题时，所得到用分别变量法求解有限

5、空间的定解问题时，所得到 的本的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数对于无限空间，用分别变量法求解定解问题时，所叶级数对于无限空间，用分别变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱普通是延续的，所求的解可表为对延续本征得到的本征值谱普通是延续的，所求的解可表为对延续本征值求积分的傅里叶积分值求积分的傅里叶积分 因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法本节将经过几个例子阐明运用傅里叶变换适用的求解方法本节将经过几个例子阐明运用傅里叶变换求解无界空间含一维半

6、无界空间的定界问题的根本方法，求解无界空间含一维半无界空间的定界问题的根本方法，并给出几个重要的解的公式并给出几个重要的解的公式 下面的讨论我们假设待求解的函数下面的讨论我们假设待求解的函数 u及其一阶导数是有限的及其一阶导数是有限的 . .12.1.1 12.1.1 弦振动问题弦振动问题例例1 求解无限长弦的自在振动定解问题求解无限长弦的自在振动定解问题假定：函数假定：函数 u及其一阶导数是有限的及其一阶导数是有限的) ) 2000,()|( ) |( )ttxxtttua uxuxux ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t exu x tUt e简化表示为

7、简化表示为 ( , )( , )u x tUtF对其它函数也作傅氏变换，即为对其它函数也作傅氏变换，即为( )( ) ( )( )xxFF解解 运用傅里叶变换，即用运用傅里叶变换，即用 i xe遍乘定解问题中的各式，遍乘定解问题中的各式，并对空间变量并对空间变量x x积分这里把时间变量看成参数，按照傅里积分这里把时间变量看成参数，按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： 于是原定解问题变换为以下常微分方程的定解问题于是原定解问题变换为以下常微分方程的定解问题222200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程

8、的通解为上述常微分方程的通解为ii( , )( )( )atatUtAeBe代入初始条件可以定出代入初始条件可以定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa这样这样iiii1111( , )( )( )( )( )22i22i( ) ( )cos()sin()atatatatUteeeeaaatata 最后，上式乘以最后，上式乘以 12 并作逆傅氏变换运用延迟定理和积分并作逆傅氏变换运用延迟定理和积分定理得到定理得到11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 这正是前面学过的的达朗贝尔公式这正是前面学过的的达朗贝尔公式.

9、 . 为了阐明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，我们特举一强迫弦振动问题： 求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题200( , ), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 解解根据与例根据与例1 1 一样的方法，作傅氏变换一样的方法，作傅氏变换例例2 2 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( ), ( )( )u x tUtf x tFtxx FFFF我们容易得到原定解问题可变换为以下常微分方程的问题我们容易得到原定解问题可变换为以下常微分方程的问题222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUtUt

10、上述问题的解为上述问题的解为 01( )( , )( , )sin()d( )cos()sin()tUtFa tata taa 利用傅氏变换的性质有利用傅氏变换的性质有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxFtf x tFf FFi()i()1sin()2ia ta ta tee代入得到代入得到00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( , )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x t

11、faxatxata 故得到故得到0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F12.1.2 12.1.2 热传导问题热传导问题例例 3 3 求解无限长细杆的热传导无热源问题求解无限长细杆的热传导无热源问题200, (,0)|( ) txxtua uxtux 解解 作傅氏变换作傅氏变换 ( , )( , )u x tUtF ( )( )x F定解问题变换为定解问题变换为22( , )0( ,0)( )Ua UtU常微分方程的初值问题的解是常微分方程的初值问题的解是 22( , )( )a tUte 再进展逆傅里叶变换，再进展逆傅里叶变换，2 22 21iii1( , )

12、( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交换积分次序交换积分次序22i ()1( , )( )d d2a txu x tee 援用积分公式援用积分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便利用积分公式，即得到以便利用积分公式，即得到22()41( , )( )d2xa tu x teat 例例4 求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 解解 利用利用 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( )u xtUtf xt

13、FtxFFF对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题 22( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU 上述问题的解为上述问题的解为2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe 为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即 假设假设 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF那么那么 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF而积分而积分 222i211dexp242atxxea tat即为即为 222121exp42atxea tatF

14、最后得到定解问题的解为最后得到定解问题的解为2222()()t4 ()4011( , )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 12.1.3 12.1.3 稳定场问题稳定场问题 我们先给出求半平面内 (0)y 拉普拉斯方程的第一拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法读者可以与格林函数解法进边值问题的傅氏变换系统解法读者可以与格林函数解法进行比较行比较例例 5 5 定解问题定解问题x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 解 对于变量 x作傅氏变换，有作傅氏变换，有1 ( , )( , ), ( )( )u x

15、yUyf xFFF定解问题变换为常微分方程定解问题变换为常微分方程 222( , ) 0,( ,0)( )lim ( , ) 0UUyyUFUy由于由于 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为 | | |( , )( )( )yyU x yCeDe由于由于 lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解为常微分方程的解为| |( , )( )yUyFe设设 | |( , )yGye根据傅氏变换定义，根据傅氏变换定义， | |ye的傅氏逆变换为的傅氏逆变换为0| |iii22011111ddd 222ii()yxyxy

16、xyeeeey x y xxy再利用卷积公式再利用卷积公式 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到原定解问题的解为最后得到原定解问题的解为22( )( , )d()yfu x yxy容易看出与格林函数解出的结果具有一样的表示式容易看出与格林函数解出的结果具有一样的表示式例例6 6 假设定解问题为以下第二边值问题假设定解问题为以下第二边值问题x0 (,0)( ,0)( ) lim( , )0 xxyyyuuxyuxf xu x y 解解 令令 ( , )( , ),yx yux yv即即 0( , )( , )dyyu x yxv容易得到容易得到 ( , )x yv满足定解问题为满足

17、定解问题为x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyxyxf xx y vvvv那么根据上述稳定场第一边值问题公式那么根据上述稳定场第一边值问题公式22( )( , )d()yfx yxyv故得到故得到0002222221( )( , )( , )ddd()1d( )d()1( )ln()d( )yyyyyyfu x yxxfxfxyx v 本节引见另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题本节引见另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题 12.2.1 12.2.1 无界区域的问题无界区域的问题例例12.2.1 12.2.1 求解无限长细杆的热传导无热源问题求解无限长细杆的热

18、传导无热源问题20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux (12.2.1)(12.2.1)12.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作傅氏变换的函数必需定义在由于要作傅氏变换的函数必需定义在 ),(上，故当上，故当我们讨论我们讨论 半无界问题时，就不能对变量半无界问题时，就不能对变量x作傅氏变换了作傅氏变换了 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf x tF x pLL ( , )( , )( ,0) (12.2.2)tu x tpU x pu xL由此原定解问题中的泛定方程变为由此原定解问题中的泛定方程

19、变为 22222d11( )( , )0 (12.2.3)dUpUxF x pxaaa对方程对方程(12.2.3)(12.2.3)实施傅氏逆变换来进展求解实施傅氏逆变换来进展求解. .利用傅氏逆变换公式利用傅氏逆变换公式1222b xbebF【解】【解】 先对时间先对时间 t作拉氏变换作拉氏变换 以及卷积定理以及卷积定理-1( ) ( )() ( )dFGf xgF得方程得方程(12.2.3)(12.2.3)的解为的解为11( , )( )d( , )d22ppxxaaU x peFpea pa p (12.2.4)(12.2.4)(12.2.4)式作拉氏逆变换式作拉氏逆变换, ,并查阅拉氏变

20、换表，并查阅拉氏变换表， 得原定解问题得原定解问题(12.2.1)(12.2.1)的解为的解为222201()( , )( )expd421() ( , )expd d (12.2.5)4 ()2()txu x ta tatxfa tat 2 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt (12.2.6)解首先作变量解首先作变量 t的拉氏变换的拉氏变换 ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (12.2.7) ()( ) tu xtU x pu xtpU x pu xqtQpLLL原定解问题即为原定解问题

21、即为12.2.212.2.2半无界区域的问题半无界区域的问题例例 2 2 求定解问题求定解问题222d( , ) 0 d(0, )( ) , ( , ) (12.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM易得到易得到(12.2.8)(12.2.8)式的解为式的解为( , )( )( ) (12.2.9)ppxxaaU x pC peD pe( , ) (0)u x pMx( )0 (12.2.10)D p 又又 (0, )( ) (12.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (12.2.12)pxaaU x pQ p ep由于由于221411 (12.2.13)xpxaa tee

22、ptL及拉氏变换的卷积定理及拉氏变换的卷积定理10 ( ) ( )( ) ()d (12.2.14)tF p G pfg tL最后最后, ,得原定解问题的解为得原定解问题的解为224()0( , )( )d (12.2.15)()xtatau x tqet2 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt 【解】首先作变量 t的拉氏变换的拉氏变换 ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (12.2.7) ( )( ) tu x tU x pu x tpU x pu xq tQ pLLL原定解问题即为原定解问

23、题即为222d( , )0 d(0, )( ) , ( , ) (12.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM12.2.212.2.2半无界区域的问题半无界区域的问题例例 2 2 求定解问题求定解问题易得到易得到(12.2.8)(12.2.8)式的解为式的解为( , )( )( ) (12.2.9)ppxxaaU x pC p eD p e由于由于 ( , ) (0)u x pMx所以所以( ) 0 (12.2.10)Dp 又又 (0, )( ) (12.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (12.2.12)pxaaU x pQ p ep 利用利用221411 (12.2.13)xpxaa teeptL及拉氏