高中数学 直接证明与间接证明

1、菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）第六节直接证明与间接证明第六节直接证明与间接证明菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1直接证明直接证明内容内容综合法综合法分析法分析法定义定义利用已知条件和某些利用已知条件和某些数学定义、公理、定数学定义、公理、定理等，经过一系列的理等，经过一系列的_，最后推，最后推导出所要证明的结论导出所要证明的结论_从

2、要从要_出出发，逐步寻求使它成立发，逐步寻求使它成立的的_，直至，直至最后，把要证明的结论最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成归结为判定一个明显成立的条件立的条件推理论证推理论证成立成立证明的结论证明的结论充分条件充分条件菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）2.间接证明间接证明反证法：假设原命题反证法：

3、假设原命题 _(即在原命题的条件即在原命题的条件下，结论不成立下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，经过正确的推理，最后得出_因因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法叫做反证法不成立不成立矛盾矛盾菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1综合法和分析法的区别和联系是什么？综合法和分析法的区别和联系是什么？【提示提示】综合法的特点是：从综合法的特点是：从“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向

4、逐步推向“未知未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法的特点：从件分析法的特点：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已已知知”其逐步推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题其逐步推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用时，经常把综合法和分析法结合起来使用菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）2反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？么

5、？【提示提示】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等义、公理、定理、事实矛盾等 菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1(人教人教A版教材习题改编版教材习题改编)用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三角形三个内角至少有一个不大于三个内角至少有一个不大于60”时，应假设时，应假设()A三个内角都不大于三个内

6、角都不大于60B三个内角都大于三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于三个内角至多有两个大于60【答案答案】B菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【答案答案】C菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【答案答案】D菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础

7、高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【答案答案】b菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）5定义一种运算定义一种运算“*”：对于自然数：对于自然数n满足以下运算性满足以下运算性质：质：1*11，(n1)*1n*11，则，则n*1_【解析解析】由由(n1)*1n*11，得，得n*1(n1)*11(n2)*121*1(n1)1n1n.【答案答案】n菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高

8、高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）小龙虾加盟 http:/ 0 吺唍哐菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用） 定义在定义在x0，1上的函数上的函数f(x)若若x10，x20且且x1x21，都有，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数成立，则称函数f(x)为理想函为理想函数数g(x)2x1(x0，1)是否为理想函数，如果是，请予是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由证明；如果不是，请说明理由【思路

9、点拨思路点拨】根据理想函数的定义加以判定证明根据理想函数的定义加以判定证明菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【尝试解答尝试解答】g(x)2x1(x0，1)是理想函数是理想函数当当x10，x20，且，且x1x21时，时，f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(x2)2x12x22，f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x212x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)，x10，x20，菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自

10、主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）2x110，2x210，f(x1x2)f(x1)f(x2)0，则则f(x1x2)f(x1)f(x2)故函数故函数g(x)2x1(x0，1)是理想函数是理想函数 菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1综合法是综合法是“由因导果由因导果”的证明方法，它是一种从已的证明方法，它是一种从已知到未知知到未知(从题设到结论从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已的逻辑推理

11、方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断知条件或已证的真实判断(命题命题)出发，经过一系列的中间推出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性理，最后导出所要求证结论的真实性2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）(2012湖南高考改编湖南高考改编)已知函数已知函数f(x)rxxr(1r)，其，其中中x0，r为有理数为有理数(1)若若0r1，求函数，求函数f(x)的最小值的最小值(2)

12、试用试用(1)的结论证明命题：的结论证明命题：设设a10，a20，b1，b2为正有理数，若为正有理数，若b1b21，则，则a1b1a2b2a1b1a2b2.【解解】(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令令f(x)0，得，得x1，菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【思路点拨思路点拨】从条件难以向结论转化

13、转换角度从结从条件难以向结论转化转换角度从结论出发，寻找使结论成立的充分条件论出发，寻找使结论成立的充分条件菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1对于无理不等式，常用分析法证明通过反推，逐对于无理不等式，常用分析法证明通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺步寻找结论成立的充分条件，

14、正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键利获解的关键2对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”，优点是利于思考，因为它，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁清晰，形式简洁菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安

15、徽专用）文科数学（安徽专用）【证明证明】m0，1m0，所以要证原不等式成立，只需证明，所以要证原不等式成立，只需证明，(amb)2(1m)(a2mb2)，即证即证m(a22abb2)0，即证即证(ab)20，菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）而而(ab)20显然成立，显然成立，故原不等式得证故原不等式得证.菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用

16、） (2011安徽高考安徽高考)设直线设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数，其中实数k1，k2满足满足k1k220.(1)证明：证明：l1与与l2相交；相交；(2)证明：证明：l1与与l2的交点在椭圆的交点在椭圆2x2y21上上【思路点拨思路点拨】第第(1)问采用反证法；问采用反证法；(2)求直线求直线l1与与l2的的交点坐标，代入椭圆方程验证交点坐标，代入椭圆方程验证菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知

17、能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1当一个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”、“至少至少”、“唯唯一一”或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实

18、矛盾等假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等2用反证法证明不等式要把握三点：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结必须否定结论；论；(2)必须从否定结论进行推理；必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是推导出的矛盾必须是明显的明显的菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且满足，且满足anSn2.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)求证：数列求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数

19、中不存在三项按原来顺序成等差数列列菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；

20、或两种方法交叉关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用使用菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常性，常常用常用“要证要证(欲证欲证)”“”“即要证即要证”“”“就要证就要证”等分等分析到一个明显成立的结论析到一个明显成立的结论2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出

21、矛盾结用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的果，其推理过程是错误的菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）反证法证明的关键：反证法证明的关键：(1)准确反设；准确反设；(2)从否定的结论正确推理；从否定的结论正确推理；(3)得出矛盾得出矛盾菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）从近两年高考试题看，综合法、分析法是高

22、考考查的热从近两年高考试题看，综合法、分析法是高考考查的热点，主要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力，同点，主要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力，同时也考查考生运用综合时也考查考生运用综合分析法分析问题、解决问题的能分析法分析问题、解决问题的能力多在知识的交汇处命题，如数列、立体几何中的平行垂力多在知识的交汇处命题，如数列、立体几何中的平行垂直、不等式、函数、解析几何等都可能考查在具体求解直、不等式、函数、解析几何等都可能考查在具体求解时，应注意运用转化与化归思想寻求解题思路时，应注意运用转化与化归思想寻求解题思路菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落

23、实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【解析解析】中，中，a2b2(ab)(ab)1，a，b为正为正实数，若实数，若ab1，则必有，则必有ab1，不合题意，故正确，不合题意，故正确菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）【答案答案】菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）易错提示：易错提示：

24、(1)解题时不注意分析题目中条件与结论的差解题时不注意分析题目中条件与结论的差异之处，不能化异为同，从而导致无从下手或无的放矢异之处，不能化异为同，从而导致无从下手或无的放矢(2)忽视命题真假不定，而一味地证明其为真，导致事倍忽视命题真假不定，而一味地证明其为真，导致事倍功半，甚至出现错误功半，甚至出现错误菜菜 单单课课后后作作业业典典例例探探究究提提知知能能自自主主落落实实固固基基础础高高考考体体验验明明考考情情新课标新课标 文科数学（安徽专用）文科数学（安徽专用）防范措施：防范措施：(1)注意培养观察能力，即观察条件、结论，注意培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如且能从数学的角度揭示其差异，如“高次高次低次低次”、“分式分式(根式根式)整式整式”、“多元多元一元一元”等，从而为我们的化归转等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础化指明方向，奠定基础(2)注意这类判断命题真假的题目，其解法上既要规范，注意这类