实数和二次根式地基本概念

1、知识点睛一.实数的基本概念1无理数的概念：(1) 定义：无限不循环小数叫做无理数(2) 解读：1) 无理数的两个重要特征：无限小数；不循环2) 无理数的常见类型： 具有特定意义的数。如n等； 具有特定结构的无限小数，如0.1212212221(每相邻两个1之间依次多一个2)等; 开方开不尽的数 ，如-2 ,34等.那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？ ？3) 有理数与无理数的区别： 有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也 必定是无理数2.实数的概念及分类：(1) 定义：有理数和无理数统称为实数.(2)

2、分类：有理数!整数按定义分：实数分数-有限小数或无限循环小数i无理数无限不循环小数按性质分:正实数实数0正有理数正无理数负有理数负无理数实数有理数f正整数、整数J零,负整数 从務！正分数 分数'伯来 负分数有尽小数或无尽循环小数负实数无理数负无理数无尽不循环小数 i负无理数(3)实数的性质:相反数:a与b互为相反数=a b = 0.绝对值:a, a 0= <0,a=0 或 a=-a, a ： 0心0 或 a= a，a 0-a,a；0 a, 0(4)实数和数轴上的点是对应的n是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示:n因为直径为用一个直径为1的圆形从

3、数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是1的圆的周长为 n(5)实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右 的顺序进行，有括号的先算括号里的。(6 )实数中非负数的四种形式及其性质：形式：a >0 :a0 : 启0 ( a色0 )；Ja中a启0 .性质：非负数有最小值 0;有限个非负数之和仍然是非负数；几个非负数之和等于 0,则每个非负数都等于 0.(7)实数中无理数的常见类型： 所有开不尽.的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； 圆周率n及含有n的数是无理数，例如：2 n 1等； 看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.0232

4、332333.(一)根据实数的定义解题：【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数？哪些是正实数？0.313 131 ，n,阿 ,23,-327 , 3.14,0.4829,1.020020002(相邻两个2之间0的个数逐次加1), -39 , 3T05.【例2】在实数0,1,2,0.1235中无理数的个数是()A . 0B . 1C. 2D . 3【拓展】22，2 , 9 ,3.14,0.61414,0.1001000100001(1 这 7 个实数中,无理数的个数是( )A . 0B . 1C. 2D . 3【例3】下面有四个命题： 有理数与无理数之和是无理数. 有理数与无理数之积是无理

5、数. 无理数与无理数之和是无理数. 无理数与无理数之积是无理数.请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【例4】判断正误，在后面的括号里对的用“vf错的记“冷表示，并说明理由(1) 无理数都是开方开不尽的数.()(2) 无理数都是无限小数.()(3) 无限小数都是无理数.()(4) 无理数包括正无理数、零、负无理数.()(5) 不带根号的数都是有理数.()(6) 带根号的数都是无理数.()有理数都是有限小数.()(8)实数包括有限小数和无限小数.()(二)实数的绝对值：【例5】求下列各数的相反数及绝对值：3. -64(2) 3-二【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数【拓展】I x

6、 | = | n|，求x的值。【例 7】若 0 ：, b :：: 1 则 b2, b ,、. b ,1丄这四个数有下列关系(bA.b2一 1:b ：、b :b1 ： . b : b : b2C. b【例8】比较下列各组数的大小:、. b : : b2 : bD.b、7 和 3(2)、X21 和 ' X2二.二次根式的概念1. 二次根式的定义：形如 ja (a>0的式子叫做二次根式2. 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 “.1”。第二，被开方数是正数或 0。第三，二次根式 ja ( a >0表示非负数a的算术平方根。3性质(1)( a) =a (a >0 .障)

7、a (a>0 a = -a (av °)(3/ab = 4a Jb (a>0 b>0-.a b = '- ab (a>Q b>0【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。.二,2, -4, -2, .X21,盲八可(口乞0),3二实用文档【例2】当x取怎样的实数时、x 1 ;、一 2 - x ；.X 一 3 :2x被开方数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；在实数范围内有意义【拓展1】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义 32 2x 3 ;(2).；一=2x-11 -Vx【拓展

8、2】x取何值时，下列各式有意义？x 亠21(1). 3 Bx ；(2)； 11 x 1 '2x-52x.x9【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：-X2 ；(2) J-x分母中不含二次根式。二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？(1)(3a2b(2)J-a-(3)Jx2+ y2Ua b( a> b)(5)V5(6)8 ；3. 最简二次根式二次根式a( a_0 )中的a称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（a,2-2ab ,A.1个B.2个C.3个)b , . 24

9、x，. X2 4x 亠 4 .4D.4个【例3】在下列二次根式10 , a ,2. 5m, 3x2 , a2_b2，- , 12x, a b ,1 - , a , a b 中，最简二次73+血 422根式有。【练习】下列根式，¥，w - 2中式最简二次根式的有（式。合并同类二次根式：X b、x=（a bKx .同类二次根式才可加减合并.【例1】下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（）A 5 2x 和 3 ,x B 12ab 和：佥C.2中与.3【例2】在D.3【巩固】F列二次根式中，哪些是同类二次根式?（字母均为正数）1五；1彳；2x t x是同类二次根式的个数是【例4】把下列各式

10、化成最简二次根式。.25x350x2 x > 0 24（2） 75a34. 同类二次根式【例3】下列各组二次根式中，属于可以合并的是（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根A .12 与 72 B.63 与,28C. . 4X3 与 2 忌【例4】若a+b4b与3a+ b是同类二次根式，则a、b的值为（）A a=2 , b=2 B a=2 , b=0C a=1 , b=1D a=0 , b=2 或 a=1 , b=1【巩固】若a b4b与最简二次根式3ab为同类二次根式，其中a，b为整数，则a =， b =；【例5】若最简二次根式 73厂5与后3是可

11、以合并的二次根式，则 a=。【例6】下列二次根式中，与 ,a是可以合并的是()A. 2aB. 3aC.a3D. a4【例7】若最简二次根式a b2a b与 a 2b是同类根式，求-a2b的值.课后作业1. 把下列各数分别填入相应的集合里3 .8 ,-3.1459，-，空-3、2 ,-7 , -0.02020237,8F（相邻两个2之间1的个数逐次加1）(1)正有理数集合：有理数集合：(3) 无理数集合：(4) 实数集合：2. x取何值时，下列各式有意义:1亠x _3（4） 2x 13 -x3. 求下列各数的相反数、倒数和绝对值3 271-n1 14.下列判断(1) 2 .3和3 ,48不是同类二次根式;)不是同类二次根式；(3厢与弋8不是同类二次根式，其中错误的个数是(A. 3B. 2C .1D. 05下列二次根式中，是最简二次根式的是(A. 8xB."jx2 3D.6.若代数式.2x -1 3 J-2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是(A . x> -B . x < -C. x J2 2 27.式子丁有意义，则x的取值范围是(