2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案

1、2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A=x|-1 vxv3 , B= - L 0, 1, 2, 3,则 A| B=.2 .已知复数z满足(l + i)z = 3 i (其中i为虚数单位)，则复数z的模为.3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J； log4(x l

2、)的定义域为.6.函数/(X)满足/(x + 4) = /(x)(x£R), xe-2, 2)时，fM = <|x + 2|,-2<x<0八 c c，贝4/(/(17)-tan ,0< x< 24的值为.7 .设函数/。)=碗(5+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X都成立，则出的最小值为84v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f为奇函数，则函数/(X)的极大值为(第12题)h4 3 4 J3 A" &am

3、p; JSZ7" ,/.=10 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6521211 .已知Iog2 + log2 = 2,则2"+2,的最小值为12 .如图，在ABC中，D为AC的中点，BC±BD, BC=2, 则bAbC=.则实数乂13 .在锐角AABC中，设角A, B, C的对边分别为a, 6, c,若的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x)关于点(x , f (x)对称，

4、则称函数(x)是函数g(x)关于函数/(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。上一1|关于函数/(X)=k2 +8彳的“对称函数”且函数(x)存在4个零点，则实数a的取 值范围为.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15 .（本题满分14分）如图，在四棱锥sABCD中，底而ABCD为菱形，SAJ_平面ABCD.（1）求证：AB平面SCD：（2）求证：BD1SC.16 .(本题满分14分)-J3,)，r eR .已知平面向量 n = (sina , cos 2a), /? = (-coscr(1

5、)若求t的值；(2)若 t= , £«L/；,求 tan(2a + £)的值.17 .（本题满分14分）设等比数列”的前A项和为s“，且+出=3%的, 4%, 3s2，25*3成等差数列.（1）求数列q的通项公式：设等差数列也中，b'j, "二% L求数列"的前A项和1：若对acN，不等 式力27； +32 0恒成立，求实数幺的最小值.18 .（本题满分16分）X V如图，在平面直角坐标系*勿中，已知F（l, 0）为椭圆C： _ +厂=1（。>>0）的右焦点，A, B为 a b-左右顶点.过点F的直线1与椭圆C交于P, Q两

6、点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和 为4.（1）求椭圆C的标准方程：S 3（2）记aAFP与aBFO的面积分别为S, S,若£=不，求直线1的方程.，z19 .（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边AABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜.田地内拟修建笔直 小路MN, AP,其中M, N分别为AC, BC的中点，点P在BC上.规划在小路MN与AP的交点0 （0与M、N不 重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A, N为出入口（小路的宽度 不计）.为节约资金，小路X0段与0P段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计.为车辆安

7、全出入， 小路A0段的建造费用为每百米4万元，小路0N段的建造费用为每百米3万元.（1）若拟修的小路A0段长为近百米，求小路0N段的建造费用：（2）设NBAP=6,求cos6的值，使得小路A0段与0N段的建造总费用最小.20 .（本题满分16分）设eR，函数/（x）=e'+以，其中e为自然对数的底数.（1）若函数f（x）是增函数，求实数a的取值范围；（2）设直线2x y + l = 0与函数y = /（x）的图像相切.求实数a的值：求证：当x>0时, /（X）2 2V + 1 .（参考数据：148<e<149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参

8、考答案1. 0, 1, 22.邪 3. 4. -5. （1, 36. 17.-3328. （1, 2）14 . 4815 .证明：（1）12. -413. （/2 ,节）底面ABCD为菱形AAB/7CD平面 SCD, CDu 平面 SCD，AB平而 SCD(2) SA_L平而 ABCD, BDu 平面 ABCDASA1BD连接AC, ,底面ABCD为菱形AAC1BDXVSAA ac=a，BD_L 平而 SACTSCu 平面 SACABD±SC16.解：(1) *.* a = b sin a = - cos aJ2cos 2a =，G由得tana =二2-97 cos2 -sin2 a

9、 i-tan2 a 1由得/ =cos2a = cos a-sirr a = .=5=cos' a + sin* a 1 + tan* a 7(2)当 t= J?时a-b=- sin a cos 67 + >/3 cos 2a =sin 2a+ /3 cos 2a由a j_6,得a.=(),即一sin2a + >/Jcos2a =。，求得tan2a = 44tan 2a + tan A .0tan(2a + )=44 _ -4 + 1 _ 31 - tan 2a tan (7)5417. (1) %+2=3q%. l + q = 3qq 4%, 3s2, 2s3成等差数列

10、* 3S)= 2% + S3,化简得=2,即4=24将“ =2代入式求得q =：数列q的通项公式：4 = 6dl = (1).2«-*= 2-224 二 % =2。=1, /?8 =a6-l = 24-l = 15.d = = 28-17 T 1.一 十乙一/Z2要使不等式力与-27； + 3/7 > 0恒成立则为?2A2-2/ +3 之 0，即；1之（手m）max令。”=甘，贝卜向2/7 -1 2 - 3 5 - 2nn2" - 12"-22" 一 ，当1WaW2时，c向一c>0,此时cj单调递增当时，c+一品<0,此时c“单调递减当

11、 n=3 时，（%）3、=。3=,即当丸（受时，原不等式恒成立，实数i的最小值为3218. （1）由 F（l, 0）,得。=1由点P到两个焦点的距离之和为4,得2a=4,即a=2占-c3=3厂 厂 t，椭圆c的标准方程为7 + 丁 = 1 4 3(2)1 3S、= -|AF|-|PF|sin ZAFP = -|PF|sin ZAFP 22S2 = l|BF|-|QF|sin ZBFQ = l|QF|sin ZBFQ2 2S3由 = 5，得|QF| 二 2|PF|,即）心二23'p（力>°） 设直线PQ为：x = my +1x = my +122,得(3" +

12、4)y2 + 6/nv-9 = 0+ = 1U 3,yp + % =-丝，yp y()= ?，又= -2 yp 。3"+4.0。3/+46m由和求得： P -*、3厂+4 ,代入求得加2二士2m5。3m2 + 42>/5，m= _由0可知Q0,J所以直线PQ的方程：x = -y + l.化为一般式为： &-2），一" 二 019. (1)在AOM 中，|AO|2=|AMF+|OM|2-2|AM|OMkosNAMO(a)2 =|AM|2 +22 -2|AM|2cos化简得：|AM+2|AM| - 3 = 0 v|AM|>o, .|AM|=b 则|ON| =

13、 |MN|-|AM| = 2-1 = 1, 3x1=3答：小路ON段的建造费用为3万元.（2）由正弦定理得:|AM|_ |AO| _ |OM|sing . 2./乃 4sin-) sm(一 夕)33d ix <xti I <1 c gcosC-sinO 3sinB - "cos夕ON = MN - AM =2-=111111sin。sin/9设小路AO段与ON段的建造总费用为f(0)则八。)=41Aoi+ 3|ON卜也经号,三" 1111sin 063八夕）=*鬻土若为满足3练=?且?夕。后列表如下:8噂.外 64(%, f)f'(0)0+.f（e）Z则当昨时，/有极小值，此时也是/的最小值二 cos &qu