初中数学垂径定理

1、垂垂 径径 定定 理理课件制作:陈红娈 2009.9.1ABMO(1)直线LAB且过M,那么L过圆心O吗?(2)直线LAB且过圆心O,那么L过M吗?(3)直线L过O、M,那么LAB已知O中,M是弦AB的中点教学目标：1、知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，能说出圆的对称轴和对称中心。2、能说出并会运用符号表示垂径定理，能分清垂径定理的题设和结论。3、会用垂径定理进行简单的计算和证明。4、在运用定理的过程中通过对变式图形的认识提高学生的识图能力。重点：垂径定理的运用难点：垂径定理的证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。几何语言： EF是直径 AG=DG = EF 弦 AD

2、=GOADEF已知： o中，EF是直径，AD是弦，垂足为G求证：AG=DG = = GOADEF证明：连结OA,OD 在OAG与ODG中 OA=OD,OG=OG,OGAD OAG ODGAG=DG, AOG=DOG = = =GOADEF垂径定理的本质是垂径定理的本质是满足其中任两条，必满足其中任两条，必定同时满足另三条定同时满足另三条（1）一条直线过圆心）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧）这条直线平分弦所对的劣弧二、练习二、练习三、小结三、小结四、达

3、标检测四、达标检测垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。GOADEF推论(1)弦的垂直平分线必过圆心并平分弦对的弧(2)平分弦(不是直径)的直径必垂直于弦,并平分弦对的弧(3)平分弧的直径垂直平分它对的弦(4)两条平行弦夹的弧相等CDABOECDABOEABCDOE（1）判断下列图形那些符合垂径定理？）判断下列图形那些符合垂径定理？AOCDEF(1)OABE(2)B: o中，中，OEAE于于E，则，则AE=BE.（2）判断下列结论是否正确）判断下列结论是否正确A: o中，中，EFCD,垂足为垂足为A，且，且EF过点过点O 则则CA=DA,已知： o中，弦AB的长为8cm，圆心到

4、AB的距离OG为3cm求: o的半径小结：作“弦心距”是很重要的一条辅助线，它可以和垂径定理相联系。 圆的半径，弦的一半及弦心距可构成直角三角形。因此只要知道圆中半径（直径），弦，弦心距中任意两个量，就可以求出第三个量。 OABG（1）以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆C,D两点，问：AC与BD相等吗？DCOAB（1）以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆C,D两点，问：AC与BD相等吗？DCOAB（2）如图：若将直径向下移动，变为非直径的弦AB，交小圆于C,D两点，是否仍有AC=BD呢？CDOABECDOAB（3）如图，将大圆去掉，已知：AC=BD求证：A=B（3）如图，

5、将大圆去掉，已知：AC=BD求证：A=B三、小结1、垂径定理 牢记垂径定理使用时必须具备的两个条件，一是直径，二是直径垂直于弦。2、垂径定理的应用 要明确在圆中解决有关弦及弧的问题，垂径定理的作用非常大。 一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)解：解：（1）AC=CB，OC 是半径（已知）是半径（已

6、知）OC AB(如果圆的直径平分弧，那么这如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）条直径垂直这条弧所对的弦） ADO=90 OAB+ AOC=90 OAB=90 -35 =55 例一例一 、 如图所示，如图所示， C是是AB的中点，的中点， OC交交AB于点于点D ， AOC=35 , AD=16cm 求（求（1） OAB的度数（的度数（2）AB的长的长ABCDO(如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所对的弦这条弧所对的弦)解：解：（2）AC=CB，CD经过圆心经过圆心O（已知）（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cm 例一例一 、 如图所示，如图所示， C是是AB的中点，的中点， OC交交AB于点于点D ， AOC=35 , AD=16cm 求（求（1） OAB的度数（的度数（2）AB的长的长ABCDO想一想：如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下水道的水深，先测得了水管的直径为10m,然后又测得了水面的宽度为8m，你能根据所提供的数据求得水深吗？O