高中数学（北师大版）必修五教案：1.1 拓展资料：用函数观点看数列问题

1、用函数观点看数列问题新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联系从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解本文拟用函数的观点来认识一些数列问题 1 数列的本质数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数，用图象表示是一群孤立的点例如，对于公差不为零的等差数列an来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a0)的图象上；它的前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数，因此Sn/n也是关于n的一次函数式是_考虑到an是关于n的一次函数，故

2、pnq与(n1)或(2n1)是同类因式由待定系数法知： pq=0(舍去)或p2q=0 例2 等差数列an中，ap=q，aq=p(pq)求ap+q 解 由于等差数列的通项an是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(pq，apq)共线- 1 - / 6 解 由题设知：公差a0 例4 已知an是等差数列 (1)2a5=a3a7是否成立？2a5=a1a9是否成立？ (2)2an=an-2an+2(n2)是否成立？2an=an-kan+k(nk0)是否成立？ (新教材第一册(上)第119页习题10) 解 表示数列an的各点，均匀地分布在一条直线上不妨设公差d0 (1)如图1，画出点(3，a3

3、)，(5，a5)，(7，a7)由中位线定理得 2a5=a3a7如图2，画出点(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)作辅助线AC，同样有2a5=a1a9故(1)中两式全成立 (2)画出图3，图4类似(1)，有2an=an-2an+2(n2)，2an=an-kan+k(nk0)故(2)中两式全成立 说明 在例4中运用图象直观地刻划了等差数列的有关性质，同样还可直观地刻划等差数列的其它性质，如 (i)an=am(nm)d (m，n，N*)； (ii)若mn=pq，则aman=apaq(m，n，p，qN*) 2 数列的单调性在数列an中，如果anan+1对nN*都成立，那么称an是单调递增数列；如果

4、anan+1对nN*都成立，那么称an是单调递减数列数列的单调性可以用函数的单调性来刻划例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同；公比大于零且不等于1的等比数列的单调性与指数型函数y=kax(a0且a1)的单调性相同 例5 已知数列的通项公式为an=n210n10这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？ 解 表示数列an的各点都在函数y=x210x10的图象上由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项 说明 以函数的观点认识、理解数列，才能自觉地用函数的单

5、调性去研究数列的单调性数列an为递减数列，数列an中的最大项为即 log(a1)a2loga(a1)1成立解此不等式可得 3 数列的最值运用函数观点求数列的最值，可以更深刻地认识数列的本质，同时又能深化对函数概念的理解 例7 若数列an的通项公式为an=n27n(nN*)，求an的最大值，并与函数y=x27x(xR)的最大值作比较 解 作出函数y=x27x(xR)的图象从图象上看，表示数列an的各点都在抛物线y=x27x(xR)上，由图象得 说明 经比较发现数列an与函数y=x27x(xR)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的 例8 等差数列an前n项和为Sn，已知a10，S9=S16，问n为何值时，Sn最大？ 解 由题意知：an是单调递减数列，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上，又点当n=12或n=13时，Sn最大函数是高中数学的重要知识，它象一根主线贯穿于高中数学的各个章节中新教