等差数列讲义：选填经典题型(详解答案)

1、等差数列讲义：选填经典题型、单选题11111 数列,JJ的通项公式可能是an（）57911A .( 1)n1B .(1)nc ( 1)n1D .( 1)n2n 33n 23n 22n 32 在等比数列an中，a2> ai”是“an为递增数列”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要3.下列关于等差数列和等比数列的叙述正确的是（）A 若非常数列an为等差数列，则也可能是等差数列B 若非常数列an为等比数列，则an2an不可能是等差数列C 若数列ann的前n项和Sn aR，则数列an可能是等差数列若等差数列an的前n项和Sn有最大值,则公差 d可能大于零已

2、知数列an1 , an 1an2an 1，则 an2n 12n+lC.丄2n 112n 15.已知X0将四个数X,Xy, x y,Jx2 y2按照一定顺序排列成一个数列,则（）A .当0时,存在满足已知条件的X, y，四个数构成等比数列B .当0时,存在满足已知条件的x, y，四个数构成等差数列c.当0时,存在满足已知条件的x, y，四个数构成等比数列D 当0时,存在满足已知条件的X, y，四个数构成等差数列6 .已知正项数列an的前n项和为Sn ,2满足 an 4Sn 2an 3 ,则 Sn()A. 2n2 nB. n2 2nC. n2D. n2 2n7.在等差数列an中，已知34+ a8=

3、 16,则该数列前11项和Sn=（）A. 58B. 88C. 143D. 176_ 2 18 .设a 0, b 0 ,是Ig4a与lg 2b的等差中项，贝y的最小值为（）a bA .2 2B. 3C . 4D .9g .在数列9n中，9n =3n-19,则使数列9n的前n项和Sn最小时n=()A .4B. 5C . 6D .710.已知等差数列9n 中，922，前5项的和S5满足15 S525 ,则公差d取值范围为（）1 31,41,31A.JB.C .D .-12 2211 .设等差数列9n的前n项和为Sn:,满足910 , S9S14 ,则（）A .d 0B .Sn的最大值为S23c. a

4、i2 0D 满足Sn0的最大自然数n的值为2312 .若an是等差数列，首项ai0，公差d 0 ,且92013 32012920130，则使数列an的前n项和Sn0成立的最大自然数 门是（ ）A . 4027B. 4026C. 4025D. 402413 .设等差数列 9n的前n项和为Sn ,且满足I' -!，则S1 Sg9291S|5中最915大项为（S15A .915S1c.鱼9gS8a814 .数列9n 满足 9n 1 ( 1) 9n2n1，则an的前20项和为（A . 210B . 220c.23024015.数列2 29n的通项9n n COS.2 n nsin 一3,其前n

5、项和为Sn，则S30为（）A.470B. 490495D . 51016.已知正项等比数列an的公比为q，若 91q 1，且 9m91929 J 910，则 mA . 19B. 45C . 55D . 1003111A .B.-C .-D .1089318 .已知数列an的前n项之和Sn2n 4n 1 ,则aia2a10的值为（）A . 61B. 65C . 67D .6817 .在等差数列中，前n项和为Sn,S2S41 S43，则S等于（）19.等差数列an和bn的前n项和分别为Sn与人，对一切自然数n，都有SnC.1020.已知等差数列a.的公差d0 ,前n项和为Sn，则对正整数m，下列四

6、个结论则b5等于（）1011（1） Sm、S2mSm、S3mS2m成等差数列，也可能成等比数列;（2） Sm、S2m Sm、Ssm Szm成等差数列，但不可能成等比数列;Ssm可能成等比数列，但不可能成等差数列；Ssm不可能成等比数列，也不叫能成等差数列 Sm、S2m、 Sm、S2m、正确的是（）A . （1）（3）B . （1）（4）21.已知数列 an为等差数列，首项a1值为（）A . 2007B. 2008C .(3)D .(4)0，若a10041，则使得Sn0的n的最大a1005C .2009D .2010a20150 , a2014 a20150 ,则使前n项22 若an是等差数列，

7、首项a10 , a2014和Sn 0成立的最小正整数门是（ ）A. 2014B. 2015C. 4028D. 40296，则Sn取最大值时的nS S23 .已知等差数列的前n项和为Sn，a1 8，S1 土的值为（）C. 4 或 524 .张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女 不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其意思为有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺,三十天织完，问三十天共织布（）A . 30 尺B . 150 尺C. 90 尺D . 180 尺二、填空题25 .已知数列an中，dl,an0

8、，前n项和为Sn.若a.、,瓦.S7（nN*,n > 2），则数列 的前15项和为anan 126 .设等差数列 an的前n项和Sn，若Sm 14,Sm0,Sm 214(m2且 m N ),则m .27 .设数列 an的前n项和为Sn，且满足a1 2a2J 1-2ann，则 S528 .在数列 an 中，a?5 ,an1 a.2n n N*，则数列an的通项a.29 .记数列 an的前n项和为Sn满足Sn 14Sn2，且 a12 , bnlog 2 an，则数12an,0 an212an 1,an2，则 S2020133 .设Sn是数列an的前n项和，且a11鸟1时n的值为 .34 .已

9、知数列 an的前项和为Sn, a1 3, an 1& Sn1，则使最取得最大值n1an2，则 S2020 列bn的前n项和Tn 30 .设数列an中前n项的和Sn 2an 3n 7,则a.31.若 a11 , an 2an 11(n2, n N)，则 an432 .设数列 an的前n项和为Sn，已知ai, an 15等于参考答案1. D, 1 1由ai，排除a, c,由a2，排除B.故选：D.57【点睛】本题主要考查了数列通项公式的判定与排除法的运用，属于基础题2. Ban是递增数列，则必有 a2 ai，必要性满足，若ai1, a2 2，满足a2 ai，但q 2，数列an不是递增数列，

10、充分性不满足.应是必要不充分条件，故选：B .【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键.3. C,11 an an 1d ,对于A,设数列an的公差为d, d 0，则 ，由d 0、an 1 an an 1 anan 1 an1 11an 1 an不为定值可知不为定值，故不可能是等差数列，故 A错误；an 1 anann22对于B，若an1 ，则an 1，此时an为等差数列，故B错误；对于C,若a 1，则Sn 1 1 0，此时an 0，数列an是等差数列，故C正确；对于D，设数列an的首项为印，公差为d ,n n 1 dd则Sn amd n23 n，若d 0，结合二次

11、函数的图象与性质可2 22知Sn无最大值，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的判断，考查了等差数列前n项和的函数特性，合理举例、牢记知识点是解题关键，属于中档题.an11 2an1 小11小4. C在等式an 1- 两边取倒数得-2,2 ,2an 1an 1ananan 1 an2n 1 ,属于基础题.所以，数列 1 是首项为丄公差为2的等差数列，则 1 2 n 1ana1an1an.故选：C.2n 1【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查了等差数列定义的应用，考查计算能力,5. D注意到 x 5,y 4 时，x y 0，且 x y,x,x y,y2 的值为 9, 5

12、, 1,3，构成公差为4的等差数列由此判断出D选项正确故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题6. DII 24 4Sn 2an 3,an 0,2当 n 1 时，ai 4S 2a1 3,ai 3或a11 （舍去）；当 n2 时，a； 14Sn12an13 ,an 4S 2an3 ,两式相减得： anan1anan 12 an an 1 I * a 0,an an 12 ,所以数列 an是首项a1 3，公差d 2的等差数列，2an 2n 1,Sn n2n，故选：d.点睛：本题主要考查数列通项与前 n和之间的关系以及等差数列的通项和前n项和公式，还考查了

13、运算求解的能力，属于中档题7. B等差数列前n项和公式s；n (a1 an)11(a1 an),s112 211® a8)211 16288.考点：数列前n项和公式.Tg、2是Ig4a与Ig2b的等差中项, 2lg,2 Ig4a Ig2b,即 Ig2 Ig4a 2b Ig 22a b, 2a b 1 .21212b2a所以一一(一)(2ab) 552'、49a ba bab当且仅当空竺即a b 时取等号，a b3.2 1的最小值为9.a b9. C因为an 3n 19，所以数列 an是首项16，公差为3的等差数列,所以Sn3 2353 n n ,2 2A 3 23535令y

14、xx，易知该函数图象开口朝上，对称轴为直线x2 2 6N可得当n 6时，Sn取最小值.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列性质及前 n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题10. C由题可知：5 45 4Ss 5a1d 5 2 dd 5d 10 ,2 2又 15 S525，所以 15 5d 10 25,解得1 d 3.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前 n和以及公差的范围，关键在于S5用d表示，属基础题11. C设等差数列的公差为 d由 S9S14 ,22可得9印14a!14 13d ,2整理可得a111d0，由 a 0所11dai 0，即d 0，故A错误;根据d0,则数列为递减数

15、列,a111d0 ，即卩 a12则前11项或前12项的和最大,故B错误；C正确;n n 1Snnad2na1n n 1 耳11a122所以nn n 120，即 卩 n2223n0，解得 0 n23,满足Sn0的最大自然数n的值为22,故D错误；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、数列的单调性，属于基础题12. D因为an是等差数列，首项印0，公差d所以an是递减数列,又因为 a2013 a2012a2013所以 a20120, a20130, a2012所以 S40254025 a20130, S4024a2013 , a2012a20130 ,4024 a2

16、012a2013所以则使数列 an的前n项和Sn0成立的最大自然数 n是4024.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题13. DS515旦15a80 ,SI616色並 8 a*a?0 ,所以 a80,a90，所qq以一 °，|，0，后面的项都小于零由于S S2( | (S8,a1a2)l )a8aia8，所以最大项为S8a8考点：等差数列的性质，构造新数列的性质【点晴】本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前 n项和公式，考查数列的单调性根据等差数列的性质，将已知条件巴.：二I：亠,:盂J转化为a8 0,ag 0 ,这就说

17、明数列的首项是正数，且公差是复数，并且正负交替的项位于第8和第9项，所以构造的新数列中，前面8项是正数，后面7项是负数，所以最大项只有在前8项中产生，然后比较分子分母的单调性可得最大值为第八项因为an1(1)n an 2n1n 1n 1n故an 21an 12n111 a=ann1 2n12n 1即：an2nan12n 12n1同理可得：an 3 an 11n 12n12n3故可得an 3an 2 an 1an4n4n12令bna4na4 n 1a4n 2a4n 3则bmbn16，又 010故bn16n6故S20bid III b55b1 1016210 .故选:14. AnA.【点睛】2n

18、1 2n 1本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题,对计算能力要求较高15. An123456首先对an进行化简得an边亍，又由cos关于n的取值表:2n n111111cos一+ * 432222可得cos 2nn的周期为3 ,则可得3S3o42 52262III咛92 302 ,设bk23k 2 3k9k 5，5则 S309 1 2 . 1010470,故选 A.2点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误16. C由题意，正项等比数列 an的公比为q，且a1

19、q 1 ,m 1 m101 29104555可得 am aeq , 818283 珈印 qa, q q ,因为 am 81828 I 810，即 qm q55，所以 m 55 -故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式， 以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟 记等比数列的通项公式和等差数列的求和公式， 准确运算是解答的关键，着重考查运算与求 解能力17. A设首项为勺81 ,公差为d ,II鱼1S43，281d4a16d3，即8133d，则SS84816d6d6d盒，故选A88128d12d28d【点睛】本题主要考查等差数列前 n项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况

20、， 属于基础题.18. C据通项公式得a1a20a3a4aioaia2aioSl0102a22S24 10a3a4当n1时，S1a1 2 ,当n2时，anSnSn 1n2 4n 1 n 1)24 n 11 2n 5,故an2n2,n 15,n2 ,67 .故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n 1的情况，是道基础题.19. C9 a1 a99a5,T99 4 b99b5 ,a5 虽，b5 九99又当n 9时，§,T910【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断n 9是解题的关键20. D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，S2m Sm Sm

21、 口勺,m Szm Sm 2m?d ,2 2 2 2 2 4 2 2 4 2(SmSm)(Smm d)Sm2mdSmm dSm(Sm2m d) m dSm(S3mS2m)22Sm m d ,，因此(1)错误，正确，由上显然有 S2m SmS3m S?m , S?m22S3m 3Sm 3m d ,S2mSmS3mSm m2dSm m4d2考点：等差数列的前12234 2(Smm d) -m d0，故错误,4n项和，等差数列与等比数列的定义.(4)正确即填21. B数列an为等差数列a1004,右 -31005所以31004 与 31005 异号首项ai0,则公差d 0所以310040, 3100

22、50则 a1004a1005 ,所以 a1004 a10050由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得S20082008 3132008120081004 31004 310050S20092009 a1 a20092009 a1005 a100522009a1005所以Sn0的最大值为S2008，即n 2008故选:B【点睛】，属于中档本题考查了等差数列的性质应用，等差数列前n项和公式的应用，不等式性质的应用22. D因为等差数列 an中,30 , 32014 320150 ,所以公差 d 0 ,320140 ,a20150 ,因为 a2014a20150 ,所以S40284028 31 3

23、4028 4028 32014320150 ,23134029因为 320150，所以 S40294029 ； S根据等差数列的性质可知，n 4028时，Sn 0 ； n 4029时，Si 0.故使前n项和Sn 0成立的最小正整数n是4029 .故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n项和的应用，考查学生的计算求解能力,属于中档题23. C设等差数列 an的公差为d，则 Sn 8nS1112d 83d解得d 2, Sndn28 d n2 2n2 9d814由二次函数的性质可得当4或5时,Sn取最大值，故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的最值,考查数列的通项，属

24、于中档题24. C已知等差数列 a5, a30 hS3030(1 5)90,选 C.225.1531因为N ,n > 2),所以anSn 1an所以.,s；7=i.所以忌是首项为1,公差为i的等差数列,所以 an、S -.Sn1 2n 1(n又a11也满足，所以an 2n 1(n N ).1 1 111所以anan 12n 1 2n 12 2n 1 2n 11所以数列的前15项和为anan 11111111111 丄丄11 15a1a2a2a3a15a162132352 293123131【点睛】本题考查数列的综合问题，考查an与Sn的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强已知

25、3n与Sn的关系式，有两种思路：一是由 Sn S. 1 3n消掉S得到关于通项的 关系式；二是把an代换成Sn Sn 1得到关于求和的关系式26. 5因为amSmSm 10 ( 4)4 ,am 1amam1 am 23am 118,am 16 ,(aiam)m0 ,所以44，从而Sm23127.16解:a12a2IIIn 12 an n ,可得n1时,a11 ,n2时,a12a2Q 22 a,n 1 n 1 ,又a12、322n 1an n,am 2 Sm 2 Sm 14，所以从而公差d 6 42，又am 164 2m，解得 m 5，故填 5.两式相减可得2n 1an 1 ,n 11即 an，

26、2上式对n 1也成立，1可得数列an是首项为1,公比为一的等比数列,21可得S5故答案为:163116【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前n项和公式，考查计算能力及分析能力,属于中档题。28. 2n 1由题意可得:anan 1an 1 an 22门12“ 2a2 a12利用累加法，得：an a12na1 3 ,于是：an 2n 1 .故答案为2n 1【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题29. n2由题可知：Sn 14Sn2当n 2时，Sn4Sn 12，得Sn 1 Sn4Sn Sn 1，即 an 1 4an ( n 2)又 *1 2，所以 a? 3S| 2 3a1 2 8，则

27、 a? 4a1,所以数列 an是以2为首项，4为公比的等比数列,所以 an 2 4n 1 22n 1，则 bnlog2 an 2n 1 ,所以Tnn 1 2n 1故答案为：n22点睛】本题考查根据an，Sn证明等比数列，还考查等差数列的前n项和公式，掌握Sn Sn 1,n 2 ann n 1 ，熟悉公式，属基础题 .a1,n 130 2n 1 3由 Sn 2an 3n 7 ，取 n 1 得： a1 2a1 3 7 ，即 a1 4.当 n 2 时， Sn 1 2an 1 3 n 1 7 ，得：an2an2an 13 ，即 an 2an 13.an 32an3n 2 . a1310，数列an3是以1 为