考研数学高等数学强化资料-导数(计算)

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2、合函数求导法则的使用2、变上限积分求导法则的使用3、多元函数复合函数求导法则的使用 知识点回顾一一元函数的导数与微分1基本求导公式.2导数与微分的四则运算设函数均可导，那么有3复合函数求导的链式法则设，如果在处可导，且在对应的处可导，则复合函数在处可导，且有：注：复合函数求导的链式法则可以推广到多个函数复合的情形。4反函数求导法则设函数在点的某领域内连续，在点处可导且，并令其反函数为，且所对应的的值为，则有：为应用方便，反函数求导法则可简记为。5变上限积分求导变上限积分求导定理：设函数在上连续，则函数可导，并且。推论1：设函数，则；推论2：设函数，则；5常见函数的求导方法1）初等函数直接运用基

3、本求导公式以及导数的四则运算法则和复合函数求导法则。注：如果遇到幂指函数，则先通过对数恒等式对其变形再计算导数.2）隐函数对于由方程确定的隐函数，基本的求导方法是对等式两边同时求导，得到关于的方程，再将其解出。如果要计算二阶导数，则对方程求两次导数，得到关于的方程再将其解出.3）参数方程设参数方程，则，注：对二阶导数，掌握处理方式即可，不必记忆最后的计算公式.6高阶导数的常用公式1）高阶导数的莱布尼兹公式设均有阶导数，则有：2）常用的初等函数的阶导数公式（1），（2），（3），（4），（5），（6），（不为非负整数）二多元函数的偏导数与全微分1偏导数的四则运算偏导数的四则运算公式有与一元函数类

4、似的形式设，的偏导数均存在，则有2复合函数求导法则根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式：如果，则；如果，则，如果，则，3隐函数存在定理（*数学一、数学二）定理一：设函数在点附近具有连续偏导数，且有，则方程在点附近能唯一确定一个函数，满足及，。定理二：设函数在点附近具有连续偏导数，且有。同时，由偏导数组成的雅克比行列式在点处不为零。则方程组在点附近能确定两个函数，满足，且关于的偏导数可按照与一元函数类似的方法来求得（等式两边同时求导，再解方程）。4高阶混合偏导数与求导次序无关如果函数的两个二阶混合偏导数，在区域内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数相等。 考点精讲一基本类型函数的求

5、导【例1】：已知，则答案：【例2】：设，求。答案：【例3】：设其中具有二阶导数，且，求.答案：【例4】：设，其中可微，则_.答案：【例5】：设是由方程确定的隐函数，则答案：【例6】：设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.答案：二复合函数求导法则【例7】：设三阶可导，且，试推导反函数的二阶及三阶导数与的计算公式。答案：，小结：当函数的自变量与求导的变量不一致时，一般可以考虑利用复合函数求导法则，从中“插入”中间变量的微分以计算导数：。【例8】：将所满足的微分方程化为所满足的微分方程。答案：【例9】：设二阶可导，且，求下列各函数的导数：（1） （2）（3） （4）答案：（1）（2）（3）（

6、4）小结：反函数求导法则的公式可以进一步推广为。【例10】：试作变换，将方程化为关于的方程。答案：三变上限积分求导【例11】：，假设，求。答案：【例12】：答案：【例13】：假设是上的连续函数，求答案：【例14】：已知，求的单调区间与极值。答案：与，为减区间；与为增区间在时取得极大值；在与处取得极小值小结：积分号下有的基本处理方式：由于在积分过程中，可以看做常数，故一般可以想办法将从积分号下提出，必要的时候，可以先对积分式进行分解，再提出。【例15】：_.答案：小结：对于形如的变上限积分，要计算它的导数，一般先作变量代换。【例16】：设可导，求并讨论在处的连续性。答案：；连续【例17】：设连续

7、，则（） 答案：【例18】：设连续，求答案：【例19】：设函数连续，且.已知，求的值.答案：四高阶导数的计算【例20】：计算下列函数的阶导数。（1） （2）（3） （4）答案：（1） （2）（3） （4）【例21】：设，求。答案： 【例22】：设，求。答案： 【例23】：设，求。答案： 五偏导数的计算1基本运算【例24】：设，求与.答案：，【例25】：设，求。答案：【例26】：设，则_.答案：【例27】：设其中是由所确定的函数，其中可导且，求。答案：【例28】：设，求。答案：小结：求偏导数的基本法则：固定其余变量，只对一个变量求导。在此法则下，基本计算公式与一元函数类似。2复合函数求导法则的使用【例29】：设为连续可微函数, , 求.答案： 【例30】：设,其中具有连续二阶偏导数,求.答案： 小结：假设，其中。则在计算高阶偏导数时，要注意对仍然要使用复合函数求导法则：【例31】：设具有连续二阶偏导数，且满足又，求.答案：【例32】：设又，求.答案：【例33】：设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求.答案：【例34】：设有二阶连续偏导数，且，若有，求。答案：【例35】：设变换可把方程化简为，求常数.答案：【例36】：设函数，且有二阶连续偏导数，且满足方程.令，