高数线面积分

1、编辑课件1编辑课件2一一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。 1. 第第型型 、第、第型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和两型曲线积分互相转换的关系式。两型曲线积分互相转换的关系式。 2. 第第型型 、第、第型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和两型曲面积分之间互相转换的关系式。两型曲面积分之间互相转换的关系式。 3. 格林公式的条件、结论和应用格林公式的条件、结论和应用 。 4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。平面曲

2、线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。 5. 高斯公式的含义和用法高斯公式的含义和用法. 6. 曲面积分与曲面无关的条件曲面积分与曲面无关的条件. 7. 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法公式的含义和用法. *8. 空间曲线积分的四个等价命题空间曲线积分的四个等价命题. 9. 了解散度，会计算散度了解散度，会计算散度. 10. 了解旋度，会计算旋度了解旋度，会计算旋度.第十部分第十部分 曲线、曲面积分曲线、曲面积分 编辑课件3 曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、重心和转动惯量；解决变力作功问题；解

3、决矢量场沿有向闭曲线的环重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环量以及通过曲面的通量计算问题。量以及通过曲面的通量计算问题。 填空填空(4个个). 二二. 下列计算对吗？下列计算对吗？ (5题题) 三三. 判别积分的类型并计算判别积分的类型并计算. (4题题) 四四. 课堂练习课堂练习. 1. 单项选择题单项选择题(3题题) 2. 计算题计算题(3题题) 11.编辑课件4积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标

4、Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式编辑课件5第一型第一型(对弧长对弧长)第二型第二型(对坐标对坐标)两型之间两型之间的关系的关系标准形式标准形式物理意义物理意义计算方法计算方法相似处相似处不同处不同处曲线积分曲线积分 Lsyxfd),( Lszyxfd),( LyQxPdd, 0),( yxf当当zRyQxPLddd LLsQPyQxP)dcoscos(dd ),( ),(上上为有向曲线弧为有向曲线弧其中其中Lyxyx .),(处处切切向向量量的的方方向向角角点点yx LyQxPWdd )()( tytxL ：设曲线设曲线 t1.都是化曲线积分为都是化曲线积分为 定积分计算

5、。定积分计算。2.都要把曲线表示式都要把曲线表示式 代入被积函数。代入被积函数。tttsd)()(d22 积分下限积分下限 上限上限ttxd)(d ttyd)(d L方向：从方向：从AB积分下限为起点积分下限为起点A的的 t 值值上限为终点上限为终点 B的的 t 值值此处下限是此处下限是 , 上限是上限是 .1. 第第型、第型、第型曲线积分的比较型曲线积分的比较. ),( d),(MyxfsyxfL件的质量件的质量的曲线型构的曲线型构线密度为线密度为表示表示 .所作的功所作的功到点到点从点从点沿沿BALL指曲线指曲线 AB QPF, 表表示示力力编辑课件6第一型第一型(对面积对面积)第二型第二

6、型(对坐标对坐标)两型之间两型之间的关系的关系标准形式标准形式物理意义物理意义计算方法计算方法曲面积分曲面积分 Szyxfd),(. ),( d),(, 0),( MzyxfSzyxfzyxf壳的质量壳的质量的空间曲面薄的空间曲面薄面密度为面密度为表示表示当当 yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 指空间曲面指空间曲面 cos, coscos ，其中其中.方方向向余余弦弦指指定定一一侧侧的的法法线线向向量量的的为为曲曲面面 ),(yxzz ：设设曲曲面面 面面投投影影区区在在且且xOy 则则 上上侧侧yxzyxRdd),( 为有向曲面为有向曲面yxRxzQzyPd

7、ddddd , xyD域域为为 xyDyxyxzzyxzyxfdd1),(,22 xyDyxyxzyxRdd),(, ),(yxzz ：设有向曲面设有向曲面 下侧下侧yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(, SRQPd)coscoscos( 则则. Szyxfd),( 2. 第第型、第型、第型曲面积分的比较型曲面积分的比较V 表表示示在在速速度度场场 侧的流体的流量。侧的流体的流量。指定一指定一曲面曲面时间内流向有向时间内流向有向单位单位中中 , RQP编辑课件7解决解决 平面的曲线积分与二重积分的联系平面的曲线积分与二重积分的联系3. 格林公式格林公式 DLyxyPxQyQ

8、xPdd)(ddLDDLl DlLyxyPxQyQxPyQxPdd)(dddd(逆逆)(顺顺)围围成成由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线平平面面上上闭闭区区域域LDxOy . 11),(),( . 2CyxQyxPD 函函数数上上在在则有则有其中其中 L 是是 D 的的整个整个正向边界曲线正向边界曲线.若：若：特殊情况特殊情况(D是复连通的是复连通的)下，格林公式成为：下，格林公式成为：, yPxQD 内又有内又有若在若在(逆逆)(逆逆) lLyQxPyQxPdddd 则则问题。问题。编辑课件84. 平面曲线积分的四个等价命题平面曲线积分的四个等价命题; (1)是是单单连连通通区区域域平平面面区

9、区域域 D;dd 2)(0有有关关与与终终点点与与路路径径无无关关，只只与与起起点点曲曲线线积积分分BAyQxPABL 内恒成立；内恒成立；在在DxQyP 30. ddd),( 40yQxPuyxuD 使使内存在二元函数内存在二元函数在在 ; 0dd 10 LyQxPLD上上的的积积分分为为零零，即即内内任任何何一一闭闭路路沿沿1),(),( (2)CyxQyxPD 内内函函数数在在：则则下下面面的的四四个个命命题题等等价价.若其中一个成立，另外三个也成立。若其中一个成立，另外三个也成立。等价的意义是：等价的意义是：设设编辑课件95. 高斯公式高斯公式曲面积分与三重积分的联系曲面积分与三重积分

10、的联系 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( . 1围成；围成；由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面空间闭区域空间闭区域 .),(),(),( . 21CzyxRzyxQzyxP 函函数数上上在在则有则有其中其中 是是 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧.若：若： SRQPd)coscoscos( . ),( cos,cos,cos处处外外法法向向的的方方向向余余弦弦在在点点是是zyx .解决解决问题问题.编辑课件106.曲面积分与曲面无关的条件曲面积分与曲面无关的条件. ; (1)是是空空间间二二维维单单连连通通区区域域G. 0 (3)内内恒恒成成立立在在GzRyQxP

11、无无关关，与与所所取取的的曲曲面面 dddddd (1)yxRxzQzyP.),(),(),( (2)1CzyxRzyxQzyxPG 内内函函数数在在：内内下下面面的的三三个个命命题题等等价价则则在在 G设设的的只只与与 边边界界曲曲线线有有关关；;0,dddddd (2)中中任任一一闭闭曲曲面面是是其其中中GyxRxzQzyP .编辑课件117. Stokes 公式公式曲线积分与曲面积分的联系曲线积分与曲面积分的联系 yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( . 1闭闭曲曲线线，为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向 . 2内内，在在内内的的空空间间区区域域在在包包含含

12、曲曲面面 则有则有若：若：向向曲曲面面，为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有是是以以 .的的侧侧符符合合右右手手法法则则的的正正向向与与 .),(),(),(1CzyxRzyxQzyxP 函函数数 RyQxPdzdd解决解决问题问题.或或记记为为 RQPzyxyxxzzydddddd. dzdd RyQxP. 编辑课件12*8 空间曲线积分的四个等价命题空间曲线积分的四个等价命题.; (1)是是一一维维单单连连通通区区域域空空间间区区域域 G与与路路径径无无关关，内内曲曲线线积积分分在在 )(ddd (2)ABLzRyQxPG内恒成立；内恒成立；在在，GyRzQzPxRxQyP (3) .

13、 dddd),( (4)zRyQxPuzyxuG 使使内存在函数内存在函数在在; 0ddd (1) LzRyQxPLG的的积积分分为为零零，即即内内任任一一闭闭曲曲线线沿沿.),(),(),( (2)1CzyxRzyxQzyxPG 内内函函数数在在：则则下下面面的的四四个个命命题题等等价价设设;有有关关与与终终点点BA只只与与起起点点.编辑课件139. 散度散度 的的散散度度。记记为为 设设有有向向量量场场在在空空间间直直角角坐坐标标系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA zRyQxPA div ),(),( zyxzyxAzRyQxP在在点点称称为为向向

14、量量场场则则数数量量函函数数 例：例：).div(gradgrad,),(2uuCzyxfu和和求求设设 解：解：,gradzyxfffu .)div(gradzzyyxxfffu .编辑课件1410. 旋度旋度 设设有有向向量量场场在在空空间间直直角角坐坐标标系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 称为向量场称为向量场向量向量 )()()(kyPxQjxRzPizQyR ),(),(处处的的旋旋度度。记记为为在在点点zyxzyxA rotRQPzyxkjiA 例：例：.rot, ,222AzxyzxyA求求设设 解：解：,222zxRyzQxyP ,2

15、yzQRzy 由轮序对称性，由轮序对称性，.,.2rotxyzxyzA 编辑课件15_._),( )(),( )4(则则曲曲线线质质量量为为上上任任一一点点的的密密度度已已知知平平面面曲曲线线yx ttyytx x ._ ),(),( )1(所所作作的的功功为为到到点点点点从从沿沿平平面面有有向向曲曲线线，则则已已知知变变力力BACFjyxQiyxPF ._ ),(),(),( )2(所所作作的的功功为为到到点点从从点点曲曲线线沿沿空空间间，则则若若变变力力BACFkzyxRjzyxQizyxPF ._ ),(),(),( )3(的的流流量量为为内内流流过过曲曲面面单单位位时时间间，则则流流体

16、体在在若若流流速速 kzyxRjzyxQizyxPV11.曲线积分和曲面积分的应用曲线积分和曲面积分的应用: 填空填空. AByQxPWdd ABzRyQxPWddd yxRxzQzyPdddddd ttytxtytxMd)()()(),(22.编辑课件16二二 下列计算对吗？下列计算对吗？.,: ,dd . 122233所围区域所围区域为为正向正向用格林公式计算用格林公式计算LDayx LxyyxL 解：解： yxyxxyyxDL d)d(3dd2233 aD yxyPxQ)(322 a 34 yxaD dd32 x0yL 上上，定定义义在在区区域域因因为为Dyx)(322 .0222ayx

17、 .上上不不是是定定义义在在曲曲线线 L正正确确解解法法是是： rrryxyxDD dd3d)d(3222 . 234a .以上解法对吗？以上解法对吗？.编辑课件17 xyDyxzyxSzyxIddd2222二二2. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a 型型。属属于于第第的的积积分分是是对对球球面面面面积积因因为为 I , I正正确确解解法法是是： yxyxaayxayxIxyD dd22222222 .以上解法对吗？以上解法对吗？.d 22 SzyxI计计算算Dxyyozx21 1 2,:2221yxaz

18、.ddd222yxyxaaS ,:2222yxaz ,:222ayxDxy .ddd222yxyxaaS xyDyxyxaayxayxdd)(22222222,:222ayxDxy . 0 .编辑课件180)dd(dd xyxyDDyxzyxzI二二3. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a 是是对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分，因因为为 I代代入入。应应将将),(yxzz xyDyxyxaIdd222.以上解法对吗？以上解法对吗？.dd yxzI计计算算Dxyyozx 1 2,:2221yxaz ,:2222

19、yxaz .化化成成二二重重积积分分时时， xyDyxyxa)dd(222 xyDyxyxadd2222型型。属属于于第第II arrra022 2 0dd2 .3 43a 编辑课件19 xyxyDDyxyyxyI)dd(dd0)dd(dd xyxyDDyxyyxyI二二4. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a ，也也是是对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分 I代代入入。已已经经将将 ),(yyxzz .以上解法对吗？以上解法对吗？.dd yxyI计算计算Dxyyozx 1 2,:2221yxaz ,:2222y

20、xaz .化化成成二二重重积积分分时时，型型。属属于于第第II取上侧；取上侧；取下侧取下侧. 0 编辑课件2052 34dddazyxaI 二二5. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a rrrI ddd sin22.以上解法对吗？以上解法对吗？.dddddd 222 xzyzzyxyyxzxI计算计算yozx.222zyxRQPzyx 使使用用高高斯斯公公式式时时，函函数数 arr04 0 20ddsind .5 45a . 所所围围球球体体是是球球面面其其中中 上上。上上，不不是是球球面面定定义义在在球球体

21、体 正正确确解解法法是是：编辑课件21组组成成的的分分段段光光滑滑曲曲线线。的的直直线线段段与与连连接接点点之之间间的的劣劣弧弧圆圆介介于于点点是是以以原原点点为为圆圆心心的的单单位位，BCCBABBALsyxL )2 , 1(,)1 , 0(),0 , 1( d)( . 1 线线。组组成成的的有有向向分分段段光光滑滑曲曲的的线线段段到到点点上上从从点点与与直直线线的的有有向向弧弧段段到到上上从从点点是是曲曲线线，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1( 4 )4 , 2( )1 , 1( d1d1 . 22 三 判别积分的类型并计算（判别积分的类型并计算（4个）个）编辑课件22的第一

22、卦限部分。的第一卦限部分。介于介于是曲面是曲面，计算计算 402 d)(1 2222 zyxzSyxzzI部分。部分。上侧的上侧的是曲面是曲面，计算计算0 )0( dd . 422 yhzyxzzyxyI3.编辑课件23 022200222002220022202222d d)D( ; d d)C( d d)B( ; dd)A( ._ dd )3(RRRRyxzIRzyxSRRRS的的下下半半球球面面的的下下侧侧，则则是是.d)D( ;d2)C( ;d)B( ; d )A( ._d)0 , 0()1 , 1( )1(1001201102 yyxxyxyxyxBAxyLL的的一一段段弧弧，则则到

23、到从从点点为为曲曲线线 36)D( ; 36)C( ; 18)B( ; 18)A( ._ d)3(d)( 9)4()1( )2(22 LyyxxxyyxL则则线线，按按顺顺时时针针方方向向的的边边界界曲曲是是圆圆域域四四 课堂练习课堂练习. 1. 单项选择题单项选择题BCB编辑课件242. 计算题计算题所所作作的的功功。力力方方向向运运动动一一周周，试试求求场场的的逆逆时时针针的的作作用用下下，沿沿着着圆圆周周在在场场力力的的点点，力力场场中中设设有有平平面面力力场场 4 )1(4)1(41 )1(222222FyxFMjyxxiyxyF . )0( )()()( )2(22233233Ryx

24、RzkRzjRyiRxA的的上上侧侧的的流流量量面面通通过过上上半半球球求求流流速速场场 d 1)(ed )e(e3 d ),( )( )1( 2 ),( d 1)(ed )e(e3 )( 0)0( ),( )( 1 )3(2o2oyxxxyyuyxuxyxuxOyyxxxyyxxxxxxxx ，使使，求求出出一一个个函函数数题题得得到到的的利利用用的的全全微微分分。平平面面上上某某一一函函数数是是使使，求求上上连连续续可可微微，且且在在设设函函数数编辑课件25返回首页.编辑课件26组组成成的的分分段段光光滑滑曲曲线线。的的直直线线段段与与连连接接点点的的劣劣弧弧之之间间圆圆介介于于点点是是以

25、以原原点点为为圆圆心心的的单单位位，BCCBABBALsyxL)2 , 1(, )1 , 0(),0 , 1( d)( oxyA(1,0)B(0,1)C(1,2)解解 Lsyxd)( BCAByxsyx)ds(d)(三三1.其中，其中， tytxABsincos: d )()(d22ttytxs 1 : x yBC dt d )(1d2xxys d 2 x )ds( Lyx d210 x. 22 . d)sin(cos2 ttt编辑课件27线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，BCCByABBA

26、xyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C (1,4)解解三三2.1 BCABL. 212d)211(xxxx4121 21 xx 49 . 12d41x也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：编辑课件28线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解解1 CAL Dyxxy dd)11(

27、22. yxxyy12241d)11(d 先先 x 4122123d)1(yyyy43 L d1d143 CAyxxy d14314 y 49 .三三2.编辑课件29oxyz的的第第一一卦卦限限部部分分。介介于于是是曲曲面面， 402 d)(1 2222 zyxzSyxzz4解解三三3.Dxy2 :22yxz dd1d22yxzzzyx dd122yxyx d)1(22 SzyxI dd1322 xyDyxyx 08:22 zyxDxy其其中中： 220220d13drrrI 用平面极坐标用平面极坐标 2202220)d(1123drr 220232)(12 r 13 .22编辑课件30部部分

28、分。上上侧侧的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzzyxyoxyz解解类型：类型：II 型曲面积分型曲面积分三三4. 由第一卦限和第二卦限中的锥面由第一卦限和第二卦限中的锥面 1和和 2构成构成.221:yzx 其上侧在其上侧在yOz平面的投影为平面的投影为负负；其上侧在其上侧在yOz平面的投影为平面的投影为正正.222:yzx 21 yzDzyyyzdd22 yzDzyyyzdd222hyzohz = yDyz yzDzyyyzdd)(22Dyz 图形？图形？ y先先. 64h . 1 2. dd20220 zhyyzyz.也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：编辑课件31oxyz解解类型：类型：II 型曲面积分型曲面积分需贴补侧面需贴补侧面 （右侧）（右侧）和半圆顶面和半圆顶面 半圆半圆（下侧）（下侧）. vxPd半圆半圆 xyDyxyxhyd)d(22hhDxy 图形？图形？ 极坐标极坐标. 64h . )d(d sin02 0 hrrhr 三三4. vyd hyxDzyxyxy22dddxyD，又又因因 0dd zyxy，半