培优专题4用十字相乘法把二次三项式分解因式(含答案)

1、5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2 （a b） x a = x a x b进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项ax2 bx c （a、b、c都是整数，且a = 0 ）来说，如果存在四个整数a!， g， a2， c2 满足 ae2 = a， q c2 = c， 并且 ae? a2c b ， 那么二次三项式 ax bx c即a !a2 x 亠心42 a2s x 72可以分解为 a 5 a2x - c2。这里要确 定四个常数a,，5，a2，c2

2、，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1.已知：x2 -11x24 0，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。2解： x - 11x24 - 0| x - 3 I x - 8 i，0x -30 x3 ：:0或x-8、0x-8：0.x - 8 或 x =3432例2.如果x x mx 2mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把x4分成x2 x2，而对于常数项-2，可能分解成-12，

3、或者分解成-21，由此分为两种情况进行讨论。2 2解：（1）设原式分解为 x ax - 1 x bx 2，其中a、b为整数，去括号，得：x4 亠 ja b x3 x2 亠2a_bx-2将它与原式的各项系数进行对比，得：a b = _1, m = 1, 2a b = _2 m解得：a=_1, b=0, m=1I ” ， 2 2此时，原式=x 2 x x - 1(2)设原式分解为 x 亠 632 长方形的面积为 15cm或 cm 3在代数证明题中的应用例.证明：若4x -y是7的倍数，其中x, y都是整数，则8x2 +10xy -3y2是49的倍数。 ex _2 x2 dx 1 ,其中c、d为整数

4、，去括号，得：432x 亠C dx x 亠C2dx2将它与原式的各项系数进行对比，得：c d = -1，m = -1, c 2d = -2m解得：c=0，d i-1， m-1此时，原式=x 2 x x亠12. 在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为16cm,且满足x-y - x22 x y 22=0，求长方形的面积。分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。2 2解：；xyx 2xyy 2=02 2x -2xy y jx - y ：2 =02-(x -y) - X -y -2 =0.x _y -2 x _y 1g=0.x-y-2=0 或 x-y1=0又

5、x y =8x-y-2=0 x-yT=0J或2Jx y = 8Jx y = 8x = 5 f x = 3.5解得：或Iy = 3| y = 4.5分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。、 2 2证明一：8 x TOxy3y = 2 x - 3y 4xy2 2 x 3y = 4 x 6y =4x-y 7 y 4x _ y是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） 2 2x 3y是7的倍数而2与7互质，因此,2x 3y是7的倍数，所以8x210 xy _3y2 是 49 的倍数。-4 -证明二：4x y是7的倍数，设4xy=7m （m是整数） 贝U y = 4 x

6、- 7m又28x210 xy -3y=2 x 3y 4x-# -# -2 x 12 x -21m 4 x - 4 x 7 m = 7 m 14 x - 21 m = 49 m 2x - 3mT x, m是整数， m 2x -3m 也是整数 所以，8x解：6x -7x -5 = 2x T 3x -5说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示例1.若x2 - y 2 mx 5-6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A. 1 B. -1C. -1D. 2 T0xy-3y2是49的倍数。4、中考点拨例1把4x42y2-5x2y-9 y2分解因式的结果:解：4x42y2-5

7、x2y-9 y22£42=y4x5x92 221二 y4x-9x2二 yx21 2x3 2x -3说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例2._ 2因式分解： 6x -7x-5=解： x - y 亠 mx 亠 5y_6=xy x_y)亠 mx 亠 5y_6-6可分解成-23或；-32，因此，存在两种情况:(13(2)m2由（1）可得：m =1，由（1）可得:故选择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积, 再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。2例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 a-c 4b-a

8、 c-b。求证：a _ b = b _ c、 2证明：；a-c =4b-a c-b2a-c -4 b - a c-b = 02 2 2.a 2ac c 4bc 4ac 4ab 4b 02*2a c 4b a c亠4b02a '-2b 0.a c - 2b = 0a b b c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若x亠5x亠7x有一因式x亠1。求a，并将原式因式分解。32i ,解：；x 5x 7x a有一因式x - 1当 x 亠1 = 0，即 x = T 时，x3 5x2 亠7x a = 0.a = 33 2x 5x 7x3=x3 x2 4x2 4x 3x 32=x x1!

9、4xx1!4 3x12=x 亠1 x 4x3hx 1 x 1 x 32=(x +1 2(X +3 )说明：由条件知，X - -1时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是-6 -x -n-1，分解时尽量出现 x讦1，从而分解彻底。【实战模拟】1.分解因式：(1) a2b2 16ab 39(2) 15 x2nn n屮2n半7 x y - 4y2(3) x23x-22 x3x 722.在多项式x 1，2x、3， x 亠 2x3，x 22-1， x 2 2x - 3，哪些是多项式x22x 4 10 x222x 9的因式?-7 -# -3. 已知多项式2x3 -x2 -13x - k有一个因

10、式，求 k的值，并把原式分解因式。4.分解因式:3x2 5xy-2y2 亠x 亠9y-4-# -【试题答案】1.2(1) 解：原式=ab | T6ab 39 = ab 3 ab 13(2) 解：原式=3x - y" " 5x“ 4yn 1(3) 解：原式=x 3x - 4 x 3x-18 = x 4 x -1 x 6 x-32.2 4 2 2解：x 2x -10 x 2x 922x22x - 1 -8 -# -2 2 2 2二 x2x 3 x2x3x2x1 x 2x12 2 2=x2x 3x 3x-1x1 x 2x-1其中 x - 1 , x - 3 , x22 x - 3

11、, x22 x - 1 是多项式2 4 2 2x 2x 10 x 2x ?川-9 的因式。说明：先正确分解，再判断。3.322解：设2x - x -13x k = 2x1 x ax b3232则 2x - x _13x k=2x 亠 i2a1x 亠a 2bx bOa +1 = -1 二+2b = 13p = ka = -1解得：*b =-6k = -62已知有322.k - -6 且 2x - x -13x-6h2x-1 x -x-6i；h2x-1 x-3 x说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为14.解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设 3x? 5xy2/ x 9y4= 3x-y m x 2y n22j.=3x 5xy - 2 y m 3n x 2m - n y mn-9 -比较同类项系数，得:-10