考研高数精品笔记

1、第一章函数、极限、连续第1节函数a) 反函数和原函数关于 y=x 对称。b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数； 2k+1 个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。 (k=0,1,2.)。e)如果 f(x)是周期函数，周期为T，则 f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a| 。f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g) 一切初等函数在其定义域都是连续的。第2节极限a)左右极限存

2、在且相等极限存在。b)如果函数在 X0 极限为 A，则可以将函数改写为f(X)=A+(x)，其中 lim (x) = 0 。x x0（等价无穷小）c)极限存在极限唯一。（极限唯一性）d) lim f (x) A ，且 A>0，则在 x 的邻域， f(x)> 0。（保号性）x x 0e)函数 f(x)在点 x=x0 存在极限，则存在该点的一个去心邻域U，在 Uf(x)有界。（有界性）f)当 limf(x)=A， limg(x)=B，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)- g(x)=limf(x)- limg(x)=A- Blim(f(

3、x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/Blimg(x)不等于 0lim(f(x)n=(limf(x)n=Anlim(f(x)g(x)=Ab（极限的四则运算）g) 有限个 无穷小 之和 仍然是无穷小。 有限个 无穷小 之积 仍然是无穷小。 无穷小和 有界量乘积仍然是无穷小。h) lim f ( x) =lg ( x )i.l=0 ， f(x)=o(g(x).ii. l= ， f(x) 是 g(x) 低阶 .iii.0<l< 或 - <l<0 ， l 1，同阶 .iv. l=1 ，等价无穷小，记

4、作f(x) g(x).特别的，如果f ( x)lim g ( x) k =l(l 0) ，则称 f(x)是 g(x) 的 k 阶无穷小。i) 等价无穷小代换：x 0 时， x sinx tanx arcsinx arctanx ex-1 ln(1+x)1-cosx 1 x2= 1-cos x x2221 x -1 1 x = (1 x)-1 x2tanx-x 1 x33x-sinx 1x36特殊的， x 0 时 ax-1 xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。k) 要注重推广形式。例如【 x 0 时， x sinx 】，如果当 x x0 时， f(x) 0，那么将原式中 x 换成 f

5、(x) 也成立。l) 求极限的方法：i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。1. 抓小头公式。（ x 0）2. 抓大头公式。（ x）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】）iii. 两个准则：1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限iv. 两个重要极限：1.limsinx=1（利用单位圆和夹逼准则进行证明）x 0x112.lim (1) xelim (1 x ) x e（利用单调有界准则进行证明）xxx 0口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）v.无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。 有限个无

6、穷小之积为无穷小。 无穷小与有界量乘积为无穷小。2. 12 种等价无穷小的代换。vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）ix. 泰勒公式(?)()1.泰勒公式中系数表达式：?0( ?- ?) ?!02.当?=0 的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。0常用的麦克劳林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mx. 洛必达法则使用前提：（ 1）分子分母都趋向于 0。（ 2）分子分母的极限都存在。（ 3）分子分母导数的比值为一个定值或为无

7、穷。第一层次00第二层次0* ：转换成 0 或 0- ：通分化为0 （常用换元的方法求解）0第三层次1000?使用 ? 进行转化。第 3节 连续与间断a) 连续某点：极限值 =函数值函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。闭区间：开区间连续切在端点连续b) 间断第一类间断点（左右极限都存在）可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。振荡间断点：因振荡而不存在。c) 初等函数的连续性i. 基本初等函数在相应的定义域连续。ii.区间 I 上的连续函数做四则运算形成的新函数在I 上仍然是连

8、续函数。iii. 连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。iv. 原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。v. 一切初等函数在相应定义区间连续。d) 闭区间连续函数的性质如果 f(x)在 a,b 连续，则：1. f(x)在 a,b 有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零点定理： f(a)*f(b)<0 ， a、 b 之间必有零点。第二章一元函数微分学第 1节 导数与微分1 导数a) 导数定义：增量比，取极限。b)左导数和右导数存在且相等导数存在c) 函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。d)导数的物理意义：对路程函数中的t 求导为瞬时速度.etce) 导数的经济意义：边际成本

9、、边际收益、边际利润。?f)函数的相对变化率（弹性）：? ? (?)?g) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。h) 偶函数的导数是奇函数。2 微分微分定义：自变量?x 沿着切线方向的增量?y 。3 求导法则a) 导数微分表（ 4 组 16 个）。b) 导数的四则运算。c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。d) 复合函数求导法则。dydy?e) 参数方程求导： dx = dt / ?f)隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作 x 的函数处理。g) 对数求导法i.幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法则。ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为 ln 的真数，变成

10、连加，再运用隐函数求导法则。4 高阶导数a) 莱布尼茨公式：(?)=? (?) ( )( ?-?)(?)u(x)v(x)?=0? ? ?b) 反函数的二阶导数： -c) 参数方程的二阶导数：? (?)? 3() ? ?-? ?3(? )第 2节 微分中值定理1 罗尔中值定理条件：（ 1） f(x)在 a,b 连续。（ 2） f(x)在 (a,b)可导。（ 3） f(a)=f(b) 。结论：在 a 和 b 之间必有一个值?使得 f (?)=0。几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间找到一点使得切线斜率为0。引申 - 费马引理y=f(x)，若x0 为y=f(x)的极值点，则f 0(x)=0。2

11、 拉格朗日中值定理条件：（ 1） f(x)在 a,b 连续。（ 2）f(x) 在(a,b)可导。结论：在 a 和 b 之间必有一个值?使得 f (?)=?(?)-?(?)。?-?几何意义： 在该条件下的函数， 必可在其区间找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。3 柯西中值定理条件：（ 1） f(x)、 g(x)在 a,b 连续。（ 2）f(x)、 g(x)在 (a,b)可导。且 g(x)0结论：在 a 和 b 之间必有一个值 ?使

12、得? (?) ?(?)-?(?)= ( )。? (?) ? ?-?(?)柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。证明：使用参数方程， 将 f(x)和 g(x)作为参数表示。 证明过程与拉格朗日中值定理相同。使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。4 泰勒中值定理泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。(?)(?0)( ?+1)( )( )?() ?) ?+1?-(?-?0? =?!?0+(?+1)!?=0拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。使用该定理的信号：高阶导数。使用方法： （ 1）确认 n 的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。 （ 2）确认 x0 的取值

13、，一般选取题中已知导数值的点。（ 3）确认 x 的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。第 3节 微分学的应用1 单调性、极值单调性：f (x)>0的区间， f(x)单调增的区间；f (x)<0的区间， f(x)单调减的区间。极值：极值点和导数为零的点没有充要条件关系。可导函数 的极值点，对应的导数值为0。（费马引理）驻点（导数为 0 的点）不一定是极值点。的邻域， ?左右导数异号，则?是一个极值点。第一判定法：若在 ?000为驻点，且在?处， f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进第二判定法： ?00行判定。2 最值（闭区间）最值可能出现在（1）极值点（ 2）区间端

14、点。3 凹凸、拐点凹凸：视觉定位：俯视?+?f( ? ) +f ( ?)凸函数： f(? +?f( ? )+f ( ? )凹函数： f( 1 2 )1212)122222凹函数： f (x)>0凸函数： f (x)<0拐点：可能出现在f (x)=0或f 不(x)存在的点， 但不一定是 。4 渐近线水平渐近线：当f(x)趋向于 时，极限存在，则该极限为水平渐近线。铅直渐近线：当f(x)趋向于 ?时，极限趋向于 ，则 ?为该函数的铅直渐近线。00?(?)斜渐近线： 当 f(x)趋向于 时，f(x)-(kx+b)=0，则 (kx+b)为该函数的斜渐近线。 其中，k=，?( )?。b= l

15、im ? -?5 函数图像的描绘利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。6 曲率2弧微分： ds= + ?)1(? ?曲率即：角度在单位弧长的变化。? ?/?|? |曲率： K= =23?/?2(1+(y )曲率半径： =1?曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动的长度，即得到曲率圆的圆心。第三章一元函数积分学第 1节 不定积分(一) 定义1.F (x)=f(x)，称 F(x)为 f(x)的原函数。 F(x)+C ，=f(x)称 F(x)+C 为 f(x)的原函数组。()( )2.?= ? + ?为 f(x)的不定积分。(二) 性质)( )()(1.? ?=?=

16、? + ? 2.?( ?)? =?(?) + ? = ?(?)()( )3.?= ?4.(?1( ?) ±?( ?) )?=?( ?)?± ?( ?)?2 1 2(三 ) 基本几分公式24 个公式 =13（基本导数表）+11（常用公式）(四 ) 积分方法1.凑微分法（第一换元法）?( ?) ?( ?)?= ?( ?) + C有 13 个常用公式。2.换元法（第二换元法）-1?(?)?= ?(?) ?( ?) ?=F(t)+C=F? (?) + ?( ?) 可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换）3.分部积分法?(?)?(?) = ?(?)?(?) - ?(?)?(?

17、)口诀：反对幂指三，谁先出现谁留下。第 2节 定积分(一 ) 定义：分割，近似，求和，取极限。几何意义：曲线与x 轴所围面积的代数和。(二 ) 性质：?1. ?( ?) ?= 0?2. ?(?)?= - ?(?)?()?3.( )?= ? ?)()?()?()4. (=?1? ±?2? ?1?± ?2?5.?()?()?( ?) ?= ?+ ?6.若 f(x) 0，xa,b ，则 ?(?)? 0?7.若 f(x) g(x) ， xa,b ，则 ?(?)? ?( ?)?8.mf(x) M， xa,b ，则 m(b -a) ?(?)? M(b -a)?(三 ) 基本定理?1.积

18、分中值定理：f(x)在 a,b 连续，则在 a,b 中存在一点 ，使得 ?(x)?= ?( )(b- a)?常把 f( 称)为积分平均值。2.变限积分：函数?变上限 ( x) = ?(?)?变下限 ( x) = ?( ?) ? (?)= ?(?) (?)= -?(?)?(?)( x) = ?(?)?( x) = ?(?) ?(?)?(?)( x) = ?(?) ?(?)3.牛顿 -莱布尼茨公式:() (?)= ? ? (?) (?)= -?( ?) ?(?) (?)= ?( ?) ?( ?) - ?( ?) ? (?)?( )?( ?) |?= ?( ?) - ?(?)F (x)=f(x)则

19、?=?第 3节 反常积分（广义积分）定积分：（ 1）有限区间。（2）区间有界。(一 ) 无穷区间上的广义积分+( )?)(?= lim?，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存? + ?在，称广义积分是发散的。?( )?()?= lim ?，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存- ?-?在，称广义积分是发散的。+( )?( )+( )称原广义?= ?+ ?，若两个广义积分极限都存在，- - ?积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。+ ?1-?当 P>0 时收敛，值为?常用公式： ?( ?> 0)?-1?。当 p>1 时发散。(二 ) 无

20、界函数的广义积分（瑕积分）?f(x)在 a 点无界： ?( ?) ?=?不存在，称积分发散。?lim ?(?)?，若极限存在，称积分收敛。若极限?0+ ?+?-?( )，若极限存在，称积分收敛。若极f(x)在 b 点无界： ?( ?) ?=lim+ ?0?限不存在，称积分发散。?，若两个广义积分极限都存在，f(x)在 c 点无界： ?( ?)?= ?( ?) ?+ ?(?) ?称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。第 4节 定积分的应用(一 ) 微元法： U1.确定变量x，确定 x 的围 a,b 。2.dx Du=f(x)dx?3.U=?= ?(?)?(二

21、 ) 几何问题1.面积：（1）直角坐标系?12()（2）极坐标系：S=?=? ? 2222?极坐标系转化为直角坐标系：? =? + ? ,x = cos,y= sin ,= arctan?2.体积：?（1）截面面积已知的几何体的体积：V=?= ?(?)? 2；绕 y 轴转： V=?2( )?（ 2 ）旋转体的体积：绕( )x 轴转： V= ? ?V= 2?(?)?3.曲线的弧长?)2)2（1）参数方程：S=(dt?+ ? ?)2(dx（2）直角坐标系： S= 1+ ? ?)2()2（3）极坐标系：S=(d?+ ? ?(三 ) 物理问题运用微元法三步求解。第四章多元函数微分学第 1节 基本概念（

22、1）多元函数：二元函数： z=f(x,y)D 定义域几何意义：曲面（2）二元函数的极限：趋向方式有无数种， 若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在 （极限唯一性） 。（ 3） 二元函数的连续极限值等于函数值，则函数在该点连续。闭区域上连续函数的性质：D 为闭区域， f(x,y)在 D 上连续，则：1. f(x,y) 在 D 上有界。2. 存在最大最小值。3. 可应用 介值定理 。4. 可应用 零点定理。第 2节 偏导数与全微分（ 1） 偏导数： z=f(x,y)()对 x 的偏导数：lim?+?,?-?(?,?) ?=? 0?()对 y 的偏导数： lim?,?+?-?(?,?) ?=?

23、0?(?,?)?( ?,?) =?1)(?(?,?)?,? =2二阶偏导数：若?()()()() ?（ 2） 全微分： z=f(x,y)22若 ?=A?+B?+o(? + ? ) 则 z 可微。22?dz=Adx+Bdy+ o( ?+ ? )=?+dy?（3）偏导数与全微分的关系全微分存在 ? 函数连续全微分存在 ?、存在?可微、连续 ?（4）偏导数的计算直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元一元）。多元复合函数求导（链式法则）1.z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)? ? ?= ? + ? ? ? ? ? ?= ? + ? ? ? ?画树状图找到求导路径隐函数的偏导数左右同时

24、求导多元隐函数求导公式：?=-?=-?第 3节 多元函数微分学的应用（数二只要求极值、最值问题）（1）二元函数的极值问题（无条件）极值点： 可能是 一阶偏导数为零或不存在的点。222判定极值点：当求出某点可能为极值点(? ? ? ?, ?、 ?、 ?。0= 20=0=20 )，带入 ?0?2计算 ?0 - ?0 ?0。当其小于零：?0 > 0为极小值点?0 < 0为极大值点大于零：不是极值点等于零：无法判断（2）条件极值先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。（ 3） 闭区域上的最值1. 先找极值。2. 边界点（条件极值）。3. 比较，选出最大最小值。第五章重积分第 1节 二重积分（

25、1）几何意义： f(x,y)>0，以 D 为底，以 f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（2）计算()? (?)?( ?,?) ?a)直角坐标系下：? 2口诀：后积先定限?,?= ? (?)1()?(?)?( ?),?b)极坐标系下：先积r 后积 ? 2? ?,?= ?(?)1坐标系选择：极坐标系：1. D：圆（环）、扇（环）22、?2.f(x,y)： ? + ?除此之外一般选择直角坐标系。第六章常微分方程第 1节 基本概念1. 常微分方程含未知函数的导数的方程。2. 阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。特解：通解中的任意常数确定。( ?-1 )(?0) =?-1初始条件： y(?0) =?0， ?(?0) =?1， ，?4.线性方程y 和 y 的各阶导数都是以一次式出现的。第 2节 一阶微分方程1. 可分离变量的微分方程：转化：?=f(x)?g(x)? =?(?) ?(?)两边同时积分2. 齐次微分方程：如果?=f( )，那么设=u，则 y=x?u(x)?那么?=u(x)+x?带入原方程得： u+x?=?=f(u) ?( )（可分离变量）?-