统计学第9章列联分析

1、第 9章 列联分析9.1 分类数据与列联表例：某集团公司下属四个分公司。 现该集团欲进行一项改革， 由于涉 及到各分公司的利益， 希望对各分公司职工的态度有所了解。 所以从 四个分公司中随机选取 420 名员工进行调查，结果如下表所示： 关于改革方法的调查结果一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32453331141合计100120901104209.1.1 列联表的构造列联表：是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。每个单元：反应两方面的信息行 R ：态度变量 行合计： RT列C ：单位变量 列合计： CTR C 列联表： 2 4 列联表9.1.

2、2 列联表的分布1 观察值的分布一分公司二分公司三分公司四分公司合计百分比赞成该方案68755779279279/420=0.664反对该方案32453331141141/420=0.336合计10012090110420总合计（样本容量） ： N百分比： RNN2 期望值的分布一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成100 0.664=66120 0.664=8090 0.664=60110 0.664=73279反对100 0.336=34120 0.336=4090 0.336=30110 0.336=37141合计10012090110420RT 期望值： RT CT9.1.3 观察值

3、与期望值频数对比分布表一分公司二分公司三分公司四分公司赞成观察值68755779期望值66806073反对观察值32453331期望值344030379.2 拟合优度检验9.2.1 思路：如果各分公司员工对改革方案的态度一致则各分公司员工赞成或反对该方案的比例应该相同即 1 2 3 4其中 i为第i 个分公司赞成改革方案的比例那么，对比分布表中相应的观察值与期望值就应该非常接近设 f0 为观察值频数f e为期望值频数( f0 fe)2fe9.2.3 判断准则当 2 大于某临界值时，拒绝态度一致的原假设右单侧检验 即 2 2 时，拒绝原假设自由度 ( R 1)(C 1)完成上面的例题解：H0 :

4、 1 2 3 4 各分公司员工对这项改革的态度一致H1: 上面等式不全相等 各分公司员工对这项改革的态度不一致2 计算表f0fef0fe( f0 fe)22(f0 fe)2/ fe6866240.06063234-240.11767580-5250.312545405250.62505760-390300079736360.49323137-6360.9730自由度 (R 1)(C 1) =30.1 ，查表得： 02.1(3) 6.251由于 3.0319<6.251，所以不能拒绝原假设， 即认为四个分公司员工对 这项改革的态度是一致的。例：从总体中随机抽取 n

5、 200 的样本，调查后按不同属性归类，得到 如下结果：n1 28, n2 56,n3 48,n4 36, n5 32依据以往经验，各类别在总体中的比例分别为：1 0.1, 2 0.2, 3 0.3, 4 0.2, 5 0.2请以 0.1 的显著性水平检验， 说明现在的情况与经验数据相比是否 发生了显著变化。解：H0 : 1 0.1, 2 0.2, 3 0.3, 4 0.2, 5 0.2 没有发生显著变化H1: 上面等式不全相等发生了显著变化fe1 200 0.1 20 ， fe2 200 0.2 40 ， fe3 200 0.3 60， fe4 200 0.2 40 ， fe5 200 0.

6、2 40，2( f0 fe )fe28 20 2 56 40 2 48 60 2 36 40 2 32 40 22040604040自由度 =5-1=402.1(4) 7.779由于 14>7.779，所以不能接受原假设，即认为现在的情况与经验数 据相比已经发生了显著变化。9.3 独立性检验适用：两个分类变量之间是否存在联系 例：一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分为三个不同等级。从这批原料中随机抽取 500 件进行检验，结果如下表所示一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500要求检验各个地区与原料的质量之间是

7、否存在依赖关系解：H0 : 地区与原料等级之间是独立的 (不存在依赖关系)H1: 地区与原料等级之间是不独立的 (存在依赖关系)期望值的计算：以 52 为例设 A=样本来自于甲地区 则 P(A) 140/ 500B=样本属于一级原料 则P(B ) 1 6 2 / 5 0即来自于甲地区又属于一级品的原料频数应为500 140 162500 500一般化：e N RT CT RT CTN N N检验统计量： 2 (f0 fefe)代入数据得：74189 150500189 15019.82140 16222171 162 25260500500140 162171 1622 ( f0 fe )2

8、fe5002500500自由度 (R 1)(C 1) =40.05 ，查表得： 02.05(4) 9.448由于 19.82>9.448，所以拒绝原假设，即认为这些原料的产地与等级 之间存在依赖关系。比较：独立性检验与一致性检验 抽取样本的方法不同 一致性检验：在各类别中分别抽取 独立性检验：先抽取，再分类计算期望值的理论不同9.4 2 检验的期望值准则例：下表是某个应用 2 检验问题的观察值与期望值情况，0.05，请检验原假设是否成立类别f0feA3032B110113C8687D2324E52F54G41合计263263解：H0 :拟合的好H1 :拟合的不好2 计算表类别f0fef0

9、f e( f0 fe)22(f0 fe)2/ feA3032-240.125B110113-390.080C8687-110.011D2324-110.042E52394.5F54110.25G41399合计2632632 14.008自由度 =7-1=60.05 (6) 12.592因为 14.008>12.592，所以拒绝原假设，认为数据拟合的不好。2检验的期望值准则 如果只有两个单元，每个单元的期望频数必须是 5 或者 5 以上； 如果有两个以上单元， 若 20% 的单元期望频数小于 5，则不能引用 2 检验。改进方法：把期望频数小于 5 的单元进行合并类别f0fef0fe(f0

10、fe)22(f0 fe)2/ feA3032-240.125B110113-390.080C8687-110.011D2324-110.042E1477497合计2632632 7.133自由度 =5-1=402.05(4) 9.448因为 9.448>7.133，所以不能拒绝原假设，认为数据拟合的好。9.5 列联表中的相关测量检验结果不独立的情况下，两者的相关程度如何9.5.1 相关系数其中， 2(f0 fe)fen ：列联表中的总频数，样本容量想法：两个变量越独立，则 f0与fe 越接近， 越接近于 0男女赞成24反对36独立男女赞成010反对50完全相关男女赞成50反对010完全相

11、关0，相互独立1，完全相关 2 2一般情况下， (0,1) ，越接近于 1，相关性越强。局限性当列联表的行或列大于 2 时，随着行或列的增加， 相关系数会随之 增加且没有上限， 对两个变量相关程度的测量就不够清晰了。 所以适 用于描述 2 2 列联表最常用的一种相关系数9.5.2 列联相关系数 c 相关系数n说明：c 0 ，相互独立c 0,1c相关系数的可能最大值依赖于列联表的行数与列数，且随着行数或 列数的增大而增大。所以行数、列数不相等的列联表的 c 相关系数不能比较RC两个变量完全相关时的 c 相关系数220.7071330.8165440.879.5.3 V 相关系数2V n min R 1 , C 1V 0,1V 0