高二 运算空间向量求解线面角、二面角,线线位置关系 贺德松答案

1、 No. Date Time 稳定持久赢高分运算空间向量求解线面角、二面角，线线位置关系参考答案四、典题探究例160°例2A例3证明：（） 因为/，平面，平面，所以/平面. 因为平面，平面平面，所以/. （）：因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，. 所以 ，所以，.所以 ，. 因为 ，平面，平面，所以 平面. （）解：设（其中），直线与平面所成角为.所以 .所以 .所以 即. 所以 . 由（）知平面的一个法向量为. 因为 ，所以 .解得 .所以 . 例4证明：（）设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 又 ，所以 因为 ， 所以

2、 平面 （）因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 又平面，所以/ 平面 解：（）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 易知平面的法向量为 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 五、演练方阵A档（巩固专练）1,2C3435 60,906457证明：（）取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形.又因为, 所以. 所以在图2中有，. 所以为二面角的平面角. 又二面角为直二面角，所以. 又因为,所以平面,即平面. 解：（）由（）可知平

3、面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，.在图中，连结.因为，所以，且.所以四边形为平行四边形.所以，且.故点的坐标为（1，0）. 所以， ，. 不妨设平面的法向量，则即令，得. 所以. 故直线与平面所成角的大小为. 8证明：（）取AD中点O，连结OP，OB，BD 因为 PA=PD，所以 POAD 因为 菱形ABCD中，BCD=60º，所以 AB=BD，所以 BOAD 因为 BOPO=O， 所以 AD平面POB所以 ADPB 解：（）由（）知BOAD，POAD因为 侧面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCD=AD，所以PO底面ABCD 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系则

4、，因为为中点， 所以 所以 ，所以平面的法向量为因为 ，设平面的法向量为， 则令，则，即 由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为 （）因为，所以 ，由（）知，若设，则，由 ， 得，在平面中，所以平面法向量为， 又因为 PA / 平面DEQ，所以 ， 即，得所以，当时，PA / 平面DEQ 9证明：（）取的中点，连接.NCAFEBMD在中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面， 故平面. 解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 设平面的一个法向量是. 由得 令，则.

5、 又因为， 所以，又平面，所以平面. （）由（）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. （）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为10证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中点 又D是AC的中点，OD/AB1AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 A1AC1zxyCB1BD 解：（II）如图，建立空间直角坐标系， 则C1（0，0，0），B（0，3，

6、2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ， 设是面BDC1的一个法向量，则即，取易知是面ABC的一个法向量. . 二面角C1BDC的余弦值为. （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 则，即. 解之方程组无解. 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. B档（提升精练）12A3C4证明：(I)在直三棱柱中，点是的中点， , 平面 平面，即 又平面 （II）当是棱的中点时，/平面 证明如下:连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ，由已知条件，为正方形，为的中点， ，且 四边形为平行四边形又 /平面 解：(III

7、) 直三棱柱且依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系， ,则，设平面的法向量， 则,即， 令，有 又平面的法向量为，=， 设二面角的平面角为，且为锐角 5证明：（）连结，平面，平面，又，平面，又，分别是、的中点，平面，又平面，平面平面； 解：（）建立如图所示的直角坐标系，则，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故 （），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，当是中点时，则，二面角的余弦值为6证明：（），连结， OHEDABCF因为为正方形，所以是中点，又是中点，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面

8、所以平面证明：（）因为，是的中点，所以 又因为，所以 yxAOHEDBCFz 又因为 所以平面， 因为平面，所以，所以平面解：（），两两垂直，建立如图所示的坐标系，设，则，设平面的法向量为， ，所以 平面的法向量为 二面角为锐角，所以二面角等于7证明：（）取中点，连结，因为，所以 因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以 所以平面 所以 解：（）因为平面平面，且 ，所以平面，所以 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以 所以 ，平面的一个法向量为 设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为 解：（）存在点，且时，有/ 平面

9、 证明如下：由 ，所以设平面的法向量为，则有所以 取，得 因为 ，且平面，所以 / 平面 即点满足时，有/ 平面 8EDCMAFBN证明：（）过作于，连结，则，又，所以.又且，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以.又平面，平面，xzECBDMAFy所以平面. （）因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得.显然.则，所以.即，故平面. （）因为，所以与确定平面，由已知得，. 因为平面，所以.由已知可得且，所以平面，故是平面的一个法向量.设平面的一个法向量是.由得 即令，则.所以.由题意知二面角锐角，故二面角的余弦值为. 9证明：（）()连接BD，交AC于点O，连接OP

10、因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP为三角形BDF中位线，所以BF / OP， 因为BF平面ACP，OP平面ACP， 所以BF / 平面ACP ()因为BAF=90º，所以AFAB， 因为 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系所以 ，所以 ，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为解：（）因为AB平面ADF，所以平面APF的法向量为设P点坐标为， 在平面APC中，所以 平面APC的法向量为， 所以

11、， 解得，或（舍） 此时10证明：（）在正四棱柱中四边形是正方形, （）在正四棱柱中,连结,交于点,连结.为中点. 为中点，为中点. 又 四边形CEMF是平行四边形. 平面,平面. 平面. 解： ()以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.则 xyz平面的法向量为设平面的法向量为.， 则有所以 取，得. . 平面与平面所成二面角为锐角.所以平面与底面所成二面角的余弦值为C档（跨越导练）1B2D3B4证明：（）因为/，平面，平面，所以/平面因为为矩形，所以/又 平面，平面，所以/平面 又，且，平面，所以平面/平面 又平面，所以平面 解：（）由已知平面平面，且平面平面，所以平面，又，故以点

12、为坐标原点，建立空间直角坐标系. 由已知得，易得，则， ， 设平面的法向量，则即令，则，所以 又是平面的一个法向量， 所以故所求二面角的余弦值为5证明：（）因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点， 所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 ， 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 平面，平面，所以 平面平面PAC. 证明：（）因为 点C在以AB为直径的O上，所以 ，即. 因为 平面，平面，所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC平面. （）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系因为 ，所以 ，.延长交于点.

13、因为 ，所以 .所以 ，.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 同理可求平面的一个法向量n所以 . 所以 .6()证明： 因为平面，yBCAEzDFxM所以. 因为是正方形，所以，从而平面. ()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即， 5分所以.由可知，. 则，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，所以. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 即，解得. 此时，点坐标为，符合题意.OECDBAPH7（）证明：因为，分别为，的中点， 所以 又平面,

14、平面 所以平面（）证明：连结， 因为，所以在菱形中，又因为，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，为的中点，所以又因为所以平面（）解：过点作，所以平面如图，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系可得，所以，设是平面的一个法向量，则，即，令，则设直线与平面所成的角为，可得所以直线与平面所成角的正弦值为8解法一：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面， 所以. 在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. （）在上存在中点，使得平面， EFABPCD证明如下：设的中点是， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以，且，GHABPCD所以四边形为平行四边形，

15、所以. 因为平面，平面，所以平面. （）设为中点，连结，则 .又因为平面平面，所以 平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. zyxABPCD解法二：因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，两两垂直.分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，. （），,所以 ，所以，.又因为， 所以平面. （）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，所以 取，则.所以， 所以.因为平面，所以平面. （）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（）知，为平面的一个法向量.设二面角的

16、大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为.9证明：（）连接AC，交BQ于N，连接MN BCAD且BC=AD，即BCAQ四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又点M在是棱PC的中点， MN / PA MN平面MQB，PA平面MQB， PA / 平面MBQ （）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD又平面PAD平面ABCDPABCDQMNxyz且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 另证：AD / BC，BC=AD，Q为AD

17、的中点 BC / DQ 且BC= DQ， 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD PA=PD， PQAD PQBQ=Q，AD平面PBQ AD平面PAD，平面PQB平面PAD （）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 10分（不证明PQ平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；，设，则， ， 在平面MBQ中， 平面MBQ法向量为 二面角M-BQ-C为30°， ， 10解：()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是