初中数学复习总动员第18讲等边三角形

1、2017年暑期初中数学复习总动员第18讲等边三角形【知识巩固】1.等边三角形的概念：等边三角形(又称正三角形)，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角的一种。2.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；（4）两个内角都为60°的三角形是等边三角形。3.等边三角形的性质：（1）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直

2、线；（3）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。(四心合一)；（4）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)。【典例解析】典例一、等边三角形概念如图，直线ab，ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC（如图）；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 【答案】400.【解析】：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数试题解析：如图ABC是等边三角形，

3、AB=BC=AC，ABAB，BB=BC=BC，BO=AB，CO=AC，BOC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400故答案为：400【变式训练】如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD、ABE、BCF， 则下列结论：EBFDFC；四边形AEFD为平行四边形；当AB=AC，BA

4、C=1200时，四边形AEFD是正方形其中正确的结论是_ （请写出正确结论的番号）【答案】【解析】试题分析：ABE、BCF为等边三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60°，ABEABF=FBCABF，即CBA=FBE，在ABC和EBF中，AB=EB，CBA=FBE，BC=BF，ABCEBF（SAS），选项正确；EF=AC，又ADC为等边三角形，CD=AD=AC，EF=AD，同理可得AE=DF，四边形AEFD是平行四边形，选项正确；若AB=AC，BAC=120°，则有AE=AD，EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项错误，故答案为：典例二

5、、等边三角形的判定（2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为610【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，PBC=30°，推出ABP是等边三角形，得到BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=22，PE=42，过P作PFCD于F，于是得到结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABC=90°，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，PB=BC=AB，PBC=30

6、76;，ABP=60°，ABP是等边三角形，BAP=60°，AP=AB=2，AD=2，AE=4，DE=2，CE=22，PE=42，过P作PFCD于F，PF=PE=23，三角形PCE的面积=CEPF=×（22）×（42）=610，故答案为：610【变式训练】（2017湖南岳阳）如图，O为等腰ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）若PAB=30°，则弧的长为；若PDBC，则AP平分CAB；若PB=BD，则PD=6；无论

7、点P在弧上的位置如何变化，CPCQ为定值【分析】根据POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；根据切线的性质以及垂径定理，即可得到=，据此可得AP平分CAB；根据BP=BO=PO=6，可得BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；判定ACPQCA，即可得到=，即CPCQ=CA2，据此可得CPCQ为定值【解答】解：如图，连接OP，AO=OP，PAB=30°，POB=60°，AB=12，OB=6，弧的长为=2，故错误；PD是O的切线，OPPD，PDBC，OPBC，=，PAC=PAB，AP平分CAB，故正确；若PB=BD，则BPD=BDP，OPPD，BPD+BPO=BD

8、P+BOP，BOP=BPO，BP=BO=PO=6，即BOP是等边三角形，PD=OP=6，故正确；AC=BC，BAC=ABC，又ABC=APC，APC=BAC，又ACP=QCA，ACPQCA，=，即CPCQ=CA2（定值），故正确；故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧典例三、等边三角形的性质（2017广西河池）已知等边ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGAB于点G当G与D重合时，AD的长

9、是（）A3B4C8D9【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到A=B=C=60°，由垂直的定义得到ADF=DEB=EFC=90°，解直角三角形即可得到结论【解答】解：设AD=x，ABC是等边三角形，A=B=C=60°，DEAC于点E，EFBC于点F，FGAB，ADF=DEB=EFC=90°，AF=2x，CF=122x，CE=2CF=244x，BE=12CE=4x12，BD=2BE=8x24，AD+BD=AB，x+8x24=12，x=4，AD=4故选B【变式训练】（2016·广西百色

10、·3分）如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则AD+CD的最小值是（）A4 B3C2D2+【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质【分析】连接CC，连接AC交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBAC为菱形，根据菱形的性质即可求出AC的长度，从而得出结论【解答】解：连接CC，连接AC交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示ABC与ABC为正三角形，且ABC与ABC关于直线l对称，四边形CBAC为边长为2的菱形，且BAC=60°，AC=2×

11、;AB=2故选C典例四、等边三角形的综合应用ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，AFD=60°（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，BAC=C=ABE=60°，根据SAS推出ABEBCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用CEM=ACE+CAE=6

12、0°+CAE，CGN=AFH+CAE=60°+CAE，得出CEM=CGN，然后根据AAS证得ECMGCN，得出CG=CE，EM=GN，ECM=GCN，进而证得AMCHNC，得出ACM=HCN，AC=HC，从而证得ACH是等边三角形，证得AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，ACF=HCK，证得AFCHKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出=2，再由AF+FC=9求得【解答】解：（1）如图1，ABC是等边三角形，B=ACE

13、=60°BC=AC，AFD=CAE+ACD=60°BCD+ACD=ACB=60°，BCD=CAE，在ABE和BCD中，ABEBCD（ASA），BD=CE；（2）如图2，作CMAE交AE的延长线于M，作CNHF于N，EFC=AFD=60°AFC=120°，FG为AFC的角平分线，CFH=AFH=60°，CFH=CFE=60°，CMAE，CNHF，CM=CN，CEM=ACE+CAE=60°+CAE，CGN=AFH+CAE=60°+CAE，CEM=CGN，在ECM和GCN中ECMGCN（AAS），CE=CG，E

14、M=GN，ECM=GCN，MCN=ECG=60°，ABEBCD，AE=CD，HG=CD，AE=HG，AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在AMC和HNC中AMCHNC（SAS），ACM=HCN，AC=HC，ACMECM=HCNGCN，即ACE=HCG=60°，ACH是等边三角形，AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，HFC=60°，FCK是等边三角形，FKC=60°，FC=KC=FK，ACH=60°，ACF=HCK，在AFC和HKC中AFCHKC（SAS），AF=HK，HF=AF+FC=9，AD=2BD，BD=CE=

15、CG，AB=AC，AG=2CG，=，作GWAE于W，GQDC于Q，FG为AFC的角平分线，GW=GQ，=，AF=2CF，AF=6【变式训练】（2017江西）我们定义：如图1，在ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转（0°180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转得到AC'，连接B'C'当+=180°时，我们称A'B'C'是ABC的“旋补三角形”，AB'C'边B'C'上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，AB'C'

16、是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；如图3，当BAC=90°，BC=8时，则AD长为4猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，C=90°，D=150°，BC=12，CD=2，DA=6在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）首先证明ADB是含有30°是直角三角形，可得A

17、D=AB即可解决问题；首先证明BACBAC，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=BC如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接EM，CM，首先证明四边形ACMB是平行四边形，再证明BACABM，即可解决问题；（3）存在如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BEAD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作PCD的中线PN连接DF交PC于O想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明APD+BPC=180°，即可；【解答】解：（1）如图2中，ABC是等边三角形，AB=BC=AB=AB=AC，DB=DC，ADBC，BAC=60

18、76;，BAC+BAC=180°，BAC=120°，B=C=30°，AD=AB=BC，故答案为如图3中，BAC=90°，BAC+BAC=180°，BAC=BAC=90°，AB=AB，AC=AC，BACBAC，BC=BC，BD=DC，AD=BC=BC=4，故答案为4（2）结论：AD=BC理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接EM，CMBD=DC，AD=DM，四边形ACMB是平行四边形，AC=BM=AC，BAC+BAC=180°，BAC+ABM=180°，BAC=MBA，AB=AB，BACABM，BC=AM

19、，AD=BC（3）存在理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BEAD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作PCD的中线PN连接DF交PC于OADC=150°，MDC=30°，在RtDCM中，CD=2，DCM=90°，MDC=30°，CM=2，DM=4，M=60°，在RtBEM中，BEM=90°，BM=14，MBE=30°，EM=BM=7，DE=EMDM=3，AD=6，AE=DE，BEAD，PA=PD，PB=PC，在RtCDF中，CD=2，CF=6，tanCDF=，CDF=60&#

20、176;=CPF，易证FCPCFD，CD=PF，CDPF，四边形CDPF是矩形，CDP=90°，ADP=ADCCDP=60°，ADP是等边三角形，ADP=60°，BPF=CPF=60°，BPC=120°，APD+BPC=180°，PDC是PAB的“旋补三角形”，在RtPDN中，PDN=90°，PD=AD=6，DN=，PN=【能力检测】1.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A B C D不能确定答案B考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图，ABC是等

21、边三角形，AB3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H则BH，AH连接PA，PB，PC，则SPABSPBCSPCASABCAB·PDBC·PECA·PFBC·AHPDPEPFAH故选BPBADEF答案图CH2.如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边ABC的顶点C的坐标为【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴

22、上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可【解答】解：解：ABC是等边三角形AB=31=2，点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，A（2， +1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点A的纵坐标为+1，横坐标为2-2016×1=-2014，所以，点A的对应点A的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)3. （2017四川南充）如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A（1，1）B（，1）C（，）D（1，）【考点】KK：等边三角形的性质；D5：坐标与图形性质；KQ：勾股定理【分析】先过B作BCAO于C，则根

23、据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标【解答】解：如图所示，过B作BCAO于C，则AOB是等边三角形，OC=AO=1，RtBOC中，BC=，B（1，），故选：D4. 在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当PCE的周长最小时，P点的位置在（）AABC的重心处BAD的中点处CA点处DD点处【考点】三角形的重心；等边三角形的性质；轴对称最短路线问题【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可【解答】解：连接BP，ABC是等边三角形，D是BC的中点，AD是BC的垂直

24、平分线，PB=PC，PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，PCE的周长最小，BE为中线，点P为ABC的重心，故选：A5. （2016·山东省滨州市·4分）如图，ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是23【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质【分析】根据等边三角形的面积公式求出正ABC的面积，根据扇形的面积公式S=求出扇形的面积，求差得到答案【解答】解：正ABC的边长为2，ABC的面积为×2×=，扇形ABC的面积为=，则图中阴影部分的面积=3×（）=2

25、3，故答案为：23【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键6. 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质【分析】只要证明ADFBED，得AD=BE，同理可证：BE=CF，由此即可证明【解答】解：在等边三角形ABC中，A=B=60°AFD+ADF=120°DEF为等边三角形，FDE=60°，DF=EDBDE+EDF+ADF=180°，BDE+ADF=120°BDE=AFD在ADF和BED

26、中，ADFBEDAD=BE，同理可证：BE=CFAD=BE=CF7. 如图，点M在等边三角形ABC的BC边上，延长BA至N，使AN=MC，连接MN交AC于点O，求证：OM=ON【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】过M作MEBN交AC于点E首先证明EMC是等边三角形，再证明NAOMEO即可【解答】证明：过M作MEBN交AC于点EABC是等边三角形，AB=AC，C=60°，B=EMC=C，EM=EC，EMC是等边三角形，EM=MC，AN=MCAN=ME，ANMEANO=EMO，NAO=MEO在NAO和MEO中，NAOMEO，OM=ON8. （2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值【分析】（1）连接AP，过C作CDAB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设BP=x，则CP=2x，由ABC是等边三角形，得到B=C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接AP，过C作