卷积积分介绍

1、§ 2.5 Z卷积利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积积分的几点认识卷积的性质2 卷积 (Convolution )#设有两个函数;林,积分/(0 =匸 (r)A (f 一 "d T 称为/卫)和力的卷积积分，简称卷积 记为 z(O=/i(O0/2(O 或 /(o=/i(0*/2(0 利用卷积可以求解系统的零状态响应。二.利用卷积求系统的零状态响忆任意信号刃)可表示为冲激序列之和£(/) =e(T)S(t - r)d t若把它作用于冲激响应()的LTIS,则响应为 r(Z) = He0=丹卩 e(r)s(t-r)dr=e(r)H 馳-r)d t=r e(

2、T>(r-T)dTJ00这就是系统的零状态响应。(0=e(t)* h(t)3三.卷积的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数M确定积分限例題 利用图解说明确定积分限例2-6-1£ = 1H_t已知Q(/) = e w(Z)-w(/-2),求i(l)的零状态响应1. 歹u写KVL方程 Ldl-vRi(t) = e(t)dt2. 冲激响应为h(t) = u(t)3. i(t)= e(r)-h(t-T)drJ001=f e w(t) - u(t - 2)1-e(r)w( - r)d tJ0000 T0

3、0 T=J-T)dT-e | w(t - 2)u(t - r)d r000064定积分限（关键）00 Tl Jew(T- 2)u(t - r)d t0000 Ti0 = e_z Jw(t)w(Z - r)d t -e_00"()#点:宗量 >0时存在,=1W(T)- W(Z -T)c>0U-T>0U(T - 2) W(Z - T)J T 2 > ° nQ<t <t r >02<t <tt>2心e-伍e2dr w(z)- e rj%2Te2dr u(t-2)-T >0波形o29卷积的图解说明匕用图解法直观，尤其

4、是函数式复杂时，用图形分段求 出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将 两种方法结合起来。.8对1时延/(0= £-(T-t) = t-T00)-> /"),积分变量改为T£的轟2. /2 W/2(r)f2(-t)上卩 f2(t 一 t)3. 相乘：曲£()例题例题4乘积的积分J00fl CM图形不动,7*2 (计倒置为A (-讣fl(Y膊移动11例 262(:;厶=g(os3)£(77)t-3浮动坐标t:移动的距离(=0 /2(力未移动 t>0 f2(t-T)右移 t <0 f2(t-T)左移t从-00到+ 8,对

5、应广2(-万“左向右移呦浮动坐标： 下限上限从一万) L3MAWt<-l两波形没有公共处，二者乘积为0,即积分为0几(丁)寸2«-“ = 0g()=/(/)V(f) = O16f - 了）右移从-刃 1 /i(r)f>_l时两波形有公共部分，积分开始不为0, 积分下限-1,上限/, t为移动时间；g(t ) = J： |(Z - T)d Tt2t 1=+ - + -42 417l<r<218#t-3<-lt>l即1C2#2<r<4t-3>-lt-3<l 即1920g(0=L_r)dr = _j+i+2t>421#fM1

6、/2Wtr#22t3>l即f > 4#g(f)=o#23r t 1-i<r <1l<t<22<Z<4其他卷积结果424+ - + 2 420积分上下限和卷积结果区间的确定0(1) 积分上下限肉/丘/(-“工0的范围(区间)确定。上限取小，下限取大(2)卷积结果区间 上限一般规律：A0g°)下限A, BC, DA+C, B+DM) 7 1 + /2(003g(” -14当齐C)或为非连续函数时，卷积需分段，积分限分 段定。例263 力(')= 4° %(r)e(t) = Csina)ntfOOfOOC r(t)= I e

7、(r)/i(/-T)dr= Csin®or Ae rJ-ooJ-oo= ACeat ' sinw edr oo= ACcatACat (asinQj C 22a +a)ldrsin(®or 一屮)一 oo GW+oo四对卷积积分的几点认识0尸(f) = J e(r)hf -T)CiT(1":观察响应的时刻，是积分的参变量；T：信咅作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有 T(2) 分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容;/&/(力是力的加权，求和即dz/(力的加权，积分(3) 卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应加。建立了响应r(f)与

8、激励刃)之间的关系。一般数学表示:信号无起因时:f(T)h(t-T)dr卷积是数学方法,也可运用于其他学科。(5)积分限由 齐，九存在的区间决定，即由 人(讨2红一刁工0的范围决定。30求解响应的方法：时域经典法：完全解=齐次解+特解双零法：零输入响应:解齐次方程，用初(起)始条件求系数;零状态响应:eg)*仇(t)一代数性质/1(0*/2(0 = /2(0*/1(01交换律2分配律/1(0*/2(0+/3(01 = /1(0*/2(0+/1(0*/3(0系统并联运算3结合律1/(0 * /!(0* /2(0 = /(0 * ft) * /2(01系统级联运算33系统并联7x（0* /2（o+

9、/3a）=/1（o*/2（o+/1a）*/3a） 系统并联，框图表示：|h(t)1结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。系统级联系统级联，框图表示:结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。二.微分积分性质推广：=(/)的积分gi(f)=M) * 小)=广如 咖)g(")C) = M) *")() =广虹)*碗)微分性质积分性质联合实用gW)= f 叫小旷)(£)= fE)柿()(/) 微分次， 积分加次一 一耕=，微分次数 '&()=/*(")乔沪莎积分次数对于卷积很方便。丿J36微积

10、分性质的证明已知37#f(T)h(t-T)dr#两端对/求导 交换律蚁=/(r)dMr-r)dr = p df(t-r)hMdr dr drdr即三.与冲激函数或阶跃函数的卷积0/()/(0*)(Z-Zo) = /-Zo) = £°=/(Z-T)(T)dr = /0推广:7 /(0 *-0)= f(tto)f (f fl) *5(/ (2)= f (t tlt2)t例题例题 /a)*w(r)= J/(2)d2003839例2-7-1 已知f(讽、(0=/(0*(4o00g(f)="(/)“ o<r <17o1(一1) *8= <3-2tl<t<2t-32<t<3注意40md耐，a o/2a)=/;a)0/2(-1注意当加)寸八仿 i(f)J-°° at 例:sgn(/)05(f) 用微积分性杀 fsgn'C)o直接no伽)00人'/(%i)(/)蠹n=u(t) ® 25(/) =