苏北四市2015届高三上学期期末考试数学试题和答案

1、徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1己知集合，则 中元素的个数为_2设复数z满足 （i是虚数单位），则z的虚部为_3如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_4某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_5如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为_6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为_.7. 已知 是定义在R上的奇函数，当 时，则的值为_.8. 在

2、等差数列中，已知，则的值为_.9. 若实数满足，则的最小值为_.10. 已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 与直线 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_.11将函数的图象分别向左、向右各平移 个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为_12己知a，b为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b的最小值为_.13已知函数 ，则不等式 的解集为_.14在ABC中，己知 ，点D满足 ，且 ，则BC的长为_二、解答题：本大题共6小题1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 己知向量

3、， （1）若，求的值： （2）若，且，求的值16（本小题满分14分） 如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC平面ABC （1）若ABBC，CDPB，求证：CPPA：（2）若过点A作直线上平面ABC，求证：/平面PBC17.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，己知点，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD的方程;（2）证明：OCD的外接圈恒过定点(异于原点O).18.(本小题满分16分) 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛

4、物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，BEF的面积为S(单位: ).（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;（2）是否存在点P，使隔离出的BEF面积S超过3?并说明理由.19.(本小题满分16分) 在数列中，已知，为常数.（1）证明: 成等差数列;（2）设，求数列 的前n项和 ；（3）当时，数列 中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. (本小题满分16分)己知函数（1）若，求函数 的单调递减区间;（

5、2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:（3）若 ，正实数 满足 ，证明: 附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D四小题，请选定其中两题.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，是ABC的外接圆，AB = AC，延长BC到点D，使得CD = AC，连结AD交于点E.求证:BE平分ABC.B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知，矩阵所对应的变换将直线 变换为自身，求a,b的值。C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 己知直线的参数方程为（t为参数）,圆C的参数方程为.(a>0. 为参

6、数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线的距离的最大值为，求a的值。D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)若 ，且，求的最小值.【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分) 某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率;（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表

7、示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量的概率分布列和数学期望。23.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.（1）求抛物线的方程;（2）试问: 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是若不是说明理由。徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需写出解题过程）16； 2； 3； 4； 57； 6； 7；822； 918； 10； 112； 1225 ；

8、13； 143二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(1)因为，所以， 2分所以，即 4分因为，所以 6分(2)由，得， 8分即，即，整理得， 11分又，所以，所以，即 14分 16（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面 2分因为平面，所以. 4分又因为，且，平面,所以平面，6分又因为平面，所以7分（2）在平面内过点作，垂足为8分因为平面平面，又平面平面BC，APCBD平面，所以平面10分又平面，所以/12分又平面，平面，/平面14分17(1) 因为，所以，1分又因为，

9、所以，所以，3分由，得， 4分所以直线的斜率， 5分所以直线的方程为，即6分（2)设，则7分则，因为，所以，所以点的坐标为 8分又设的外接圆的方程为，则有10分解之得,所以的外接圆的方程为，12分整理得，令，所以（舍）或所以的外接圆恒过定点为14分18(1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为1分设边缘线所在抛物线的方程为， 把代入，得，解得，所以抛物线的方程为3分因为，4分所以过的切线方程为5分令，得；令，得，7分所以，8分所以，定义域为9分(2)，12分EF（第18题）PO(A)BCDxy由，得，所以在上是增函数，在上是减函数，14分所以在上有最大值又因为，所

10、以不存在点，使隔离出的面积超过316分19（1）因为，所以，同理， 2分又因为，3分所以，故，成等差数列4分（2） 由，得，5分令，则，所以是以0为首项，公差为的等差数列，所以，6分即，所以，所以 8分当， 9分当10分（3）由（2）知，用累加法可求得，当时也适合，所以12分假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，14分因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立 ，得这与题设矛盾故不存在三项成等比数列，且也成等比数列16分20（1）因为，所以，1分此时， 2分由，得，又，所以所以的单调减区间为 4分（2）方法一：令，所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成

11、立6分当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数故函数的最大值为 8分令，因为，又因为在是减函数所以当时，所以整数的最小值为2 10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立令，只要 6分因为，令，得设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为当时，；当时，所以在上是增函数；在上是减函数所以8分因为，所以，此时，即所以，即整数的最小值为2 10分（3）当时，由，即从而 13分令，则由得， 可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增所以， 15分所以，因此成立 16分数学 附加题部分21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应

12、写出文字说明、证明过程或演算步骤A(选修41：几何证明选讲)因为，所以2分因为，所以4分因为，所以6分因为， 8分所以，即平分10分B选修4-2：矩阵与变换解: 设直线上任意一点在变换的作用下变成点，由，得，4分因为在直线上，所以，即， 6分又因为在直线上，所以 8分因此解得. 10分C选修4-4：坐标系与参数方程解: 因为直线的参数方程为,消去参数，得直线的普通方程为3分又因为圆的参数方程为（为参数），所以圆的普通方程为6分因为圆的圆心到直线的距离，8分故依题意，得，解得. 10分D选修45：不等式选讲解：因为，所以，3分又因为，所以，且当时取等号6分所以，且当时取等号9分所以的最小值为10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则，2分所以该同学至少选修1门自然