结构力学(李廉锟第五版)

1、第六章结构位移计算§6-1§6-2 变形体系的虚功原理§6-3位移计算的一殁公式单位荷载法 * 02:41§ 6-4静定结构在荷载作用下的位移计算§6-5 图乘法§ 6-6静定结构温度变化时的位移计算§6-7静定结构支座移动时的位移计算§6-8 线弹性结构的互等定理§6概述结构的位移Disphcemant1.结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。思考：变形与位移的差别?变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。两

2、者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一定有形变。§ 6-1概述02:412.位移的分类位移I线位移转角位移a A点线位移ax A点水平位移A点竖向位移 AyP § 6-1概述:学02:41cDVF"7九Cfc J、C D、截面G。的相对竖向线位移为:c a d DCrc截面a。的相对角位移为:§ 6-1概述3.位移产生的原因引起结构位移的原因AAx荷载 温度改变 支座移动0 OA；A但111111 iiiiBiaaaaaa d”ii02:41制小还有什么原因会使结构产生位移?§ 6-1概述珞狗力多二、计算位移的目的(1)刚度要求在工程上，吊车

3、梁允许的挠度1/600跨度;高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度1/700和1/900跨度 * 02:41§ 6-1概述02:41超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须 考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。(3)施工要求(a)(b)(1)线弹性(Linear Elastic)r(2)小变形(Small Deformation),(3)理想联结(Ideal Constraint)。叠加原理适用(principle of superposition)§6概述人计算方法1

4、.几何法研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）002:412.虚功原理应变能（卡氏定理）§6-2变形体系的虚功原理基本概念1.外力的实功实功：力在其本身引起的位移上所作的功。02:41位移,是由外力方引起的，耳做的功可表示为:§6-2变形体系的虚功原理设线弹性材料的弹性系数为七则实功的数值就等于图上三角形。15的面积。实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应用02:41§6-2变形体系的虚功原理2.外力的虚功虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功,即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。02:

5、41§6-2变形体系的虚功原理02:41例K力在其引起的位移41上作的功为实功为叱耳4 口E一一1XziiAi2力K在力B引起的位移412上作的功为虚功为3 .广义位移和广义力广义位移一一结构产生的各种位移,包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。广义力一一与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相 反的力或力偶，也可以是一组力系。注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广 义位移对应的广义力。4 .内力功定义：从杆上截取一微段，作用在该微段上的内力 在该微段的变

6、形上做的功定义为该内力做的功。该微段上相应的变形为7M轴向变形剪力变形弯曲变形内力实功如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内为轴力、剪力和弯矩分别做的功之和: 因为 所以由胡克定律有：-A0 丘故力功应为实功,实功数值上就等于微段的应变能。内力虚功若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得:cU ,d和d。的具体表达式要视引起这个变形的具体原因而定Q§12变形体系的虚功原理 回顾(1)质点系的虚功原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是:P1对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚动之和为零。也 即

7、 »F1 P2N2m I m 尸Nl :学02:41§6-2变形体系的虚功原理二、虚功原理1.变形体的虚功原理设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和6叽，等于变形体的内力在变形 上做的虚功的总和3 %,即，5I4=5Vy需注意：这就是虚功方程。（证明略）02:41外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态;位移必须满足虚位移的条件满足约束条件 的非常微小的连续位移；外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外

8、力在位移 状态由位移上做功之和（外力虚如等于力状态的内力在位 移状态的变形上做功之和（内力虚功）。对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功,列出虚功方程，可以求解不同的问题.衣21形体系的虚功原理解释：vr力状态 两种状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）（虚）（虚:位移状态注 （1）属同一体系；意 （2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件.:力状态应满足平衡条件。：（3）位移状态与力状态完全无关；2.杆系结构虚功方程v*X以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚动方程既适用于一切线性结构，也 适用于一切非线性结构。希望能很

9、好理解，尽可能达到掌握!§6-2变形体系的虚功原理3.虚功原理的两种应用虚位移原榭系平衡的充分必要条件是：对任意协调位移虚功方程成立。 * 02:41令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理虚力原理个位移是协调的充分必要条件是：对任意平衡力系，虚功方程成立。令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理（也称 为余虚功原理）。例如：应用虚位移原理求支座。的反力方C。撤除与be相应的约束， 将be变成主动力，取与尸C 正向一

10、致的刚体位移作为虚 位移。列出虚功方程：粒r 广 E wE=IH»:学®注意：虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡 方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例：当A支座向上移动一个 已知位移Q,求点产生的竖向 位移/。A'在拟求线位移的方向加单位力 - b 由平衡条件 /的=一- a令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程N -注意:虚力原理写出的虚功方程是一个几何方可用于求解几何问题。程,求得上C单位力方向相同。§63位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)是 Maxwell, 1864而Mohr,

11、1874提出,故也称为 MaxwelLMohrMethod oA =9 K 实际状态位移状态图示结构,瓦To虚拟状态R2力状态用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移, 可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位 荷载法。外力虚功:此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，说明七二1在上做正功，这表明的实际 方向与方向相同。若结果为负，说明%二1在 Ar上做负功 ,这表明的实际方向与方向相反。:学®02:41§63位移计算的一般公式 单位荷载法几点说明：(1)所建立的虚功方程，实质上是几何方程。(2)虚设

12、的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。特点：是用静力平衡法来解几何问题。总的来讲:单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程02:41§63位移计算的一般公式 单位荷载法一般公式的普遍性表现在:L位移原因：荷载、温度改变、支座移动等;2结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构;静定和超静定结构;3.材料性质：线性、非线性;4.变形类型：弯曲变形、拉（压）变形、剪切变形;5位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。试确定指定广义位移对应的单位广义力§63位移计算的一般公式单位荷载法珞构力多兴.02:41Sa=

13、?(d)Sab§63位移计算的一般公式(e)(f)§63位移计算的一般公式单位荷载法 转构力多;02:41§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算荷载作用引起的位移计算外力虚功变形虚功由虚功原理有：w二叱02:41等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的 外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状 态的变形上做的内力虚功之和。对于直杆，则可用心代替小。计算位移的公式为T ZHMM单位力状态下结构的轴力、剪力和矩 方程式。与。码4实际荷载引起结构的轴力、剪力和 弯矩方程式。E、GA. I -材料的弹性模量和剪力弹性模量.杆件的横截面面积和横截面惯性矩剪力在截

14、面上分布的不均匀系数，对于 矩形截面”1.2。:学®§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算公式简化;(1)梁、刚架：只考虑弯矩Mp引起的位移。EI(2)桁架：只有轴力。EA桁架各杆均为等截面直杆则/=£%*/EA(3)组合结构(4)跨度较大的薄拱,其轴力和弯矩的影响相当，剪力的影响不计，位移计算公式为02:41拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算例61图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截 面惯性矩/均为常数，试求5点的竖向位移Cr,水平位移/四,和

15、位移C"。解：（1）作出荷载作用下的 弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁BC竖柱C417Mp(x)-qa(2)求£点的竖向位移Zv写出各杆单位力作用下 的弯矩方程式，画出弯矩图横梁BC M(x) = xJ EIdxE.竖柱 CA Mx) = a (O< * 02:41§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算(3)求8点的水平位移z%u 在5点加单位水平力。 画出弯矩图并写出各杆的弯 矩方程a-x横梁 BCM(x)= 0竖柱CA M(x)=-x4u 一司一 o EI* /1=J(t>、dxJei注意：负号表示位移的方向与假设的单位 力的方向相反。(4)求5点

16、的线位移与V29 qa=8 EIE=IH»02:41§ 6-4静定结构在荷载作用下的位移计算 转狗力多矩方程。假定曲梁内侧纤维受拉为取5点为座标原点，任意截面q例62 一圆孤形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁矩形截面的弯曲刚度为打，半径为尸，圆弧A的圆 心角色及荷载夕均为已知，试求截面£的竖向及水平 向位移和/eu。解：当曲梁的半径较大截面比较 薄时，可忽略轴力和剪力的影响。(1)列出曲梁在荷载作用下的弯正弯矩。C的横座标为“，该截面的弯矩:Afp = _- qjC202:41§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算02:411由于3力引起的弯方程为通 =1. 采用极坐标表示-1AQrsirY/.A/f=rsmqr)求/SV ,在万点加一竖向单位力，单位竖向3- 所以1JB(3)求Asu,在万点作用一单位向水平力，列出此水平向单位力引起的弯矩方程« 1§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算例63平面桁架如图，已知各杆截面积均为A=0. 4 X 10-2m2 弹性横 >E=200GPa,试求5 点和。点的竖向位移。在笈点加一向下的单位力，求此单位力引起的各杆轴力尸N o1hJ:学02:41&#