人教版高中数学椭圆专题复习资料

1、实用文档 文案大全 高中数学椭圆的专题复习 椭圆知识点梳理 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222?byax（222abc?）?cossinxayb?（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时2222bxay?1（0ab?）。方程22AxByC?表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆 （以12222?byax（0ab?）为例）：范围：,axabyb?；焦点：两个焦点(,0)c?；对称性：两条对称轴0,0xy?，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab?，其中长轴长为2a，短轴长为2b ；准线

2、：两条准线2axc?； 离心率：cea?，椭圆?01e?，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越 扁。通径22ba 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外 ?2200221xyab?； （2）点00(,)Pxy在椭圆上 ?220220byax?1； （3）点00(,)Pxy在椭圆内 ?2200221xyab? 3直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?直线与椭圆相交；（2）相切：0?直线与椭圆相切； （3）相离：0?直线与椭圆相离； 如:直线ykx1=0 与椭圆2215xym?恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+）； 4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）

3、的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0redaex?，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。 如（1） 已知椭圆1162522?yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_（答：10/3）； （2） 椭圆13422?yx内有一点)1,1(?P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2? 之值最小，则点M的坐标为_ （答：)1,362(?）； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：20tan|2Sbcy?，当0|yb?即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc； 6、弦长公式：若直线ykxb?与圆锥曲线相交于两点A、B，

4、且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB 2121kxx?，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB 21211yyk?，若弦AB所在直线方程设为xkyb?，实用文档 文案大全 则AB2121kyy?。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是 将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222?byax中，以0 0(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0202ya x b； 如（1）如果椭圆221369xy?弦被点A（4，2） 平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答

5、：280xy? ） ；（2）已知直线y=x+1与椭圆22221(0)xyabab?相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x 2y=0上，则此椭圆的离心率为_ （答： 22）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422?yx上有不同的两点关于直线mx y?4 对称（答：213213,1313?）； 特别提醒：因为0?是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?！ 椭圆知识点 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确

6、定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义 椭圆标准方程中，cba,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(?ba，)0(?ca，且)(222cba?。 可借助右图理解记忆： 显然：cba,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直 角边。 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点实用文档 文案大全 总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y

7、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4方程均不为零）CBACByAx,(22?是表示椭圆的条件 方程CByAx?22 可化为122?CByCAx ，即122?BCByACx，所以只有A、B、C同号，且A?B时，方程表 示椭圆。当BCAC?时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCAC?时，椭圆的焦点在y轴上。 5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

8、 共焦点，则c 相同。与椭圆12222?byax)0(?ba 共焦点的椭圆方程可设为12222?mbymax)(2bm?，此类问题常用待定系数法求解。 7判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x?，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y?，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、y同时换成x?、y?，方程不变，则曲线关于原点对称。 8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面 积公式2121sin2121PFFP

9、FPFSFPF?相结合的方法进行计算解题。 将有关线段2121FFPFPF、，有关角21PFF? (21PFF?21BFF?)结合起来，建立21PFPF?、21PFPF?之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(?eace，因为222bac?，0?ca，用ba、表 示为)10()(12?eabe。 显然：当ab越小时，)10(?ee 越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(?ee越小，椭圆形状越趋近于圆。 实用文档 文案大全 椭 圆 题型1:椭圆定义的运用 例1、已知12,FF 为椭圆221259xy?的两个焦点，过1F的直线

10、交椭圆于A、B两点若2212FAFB?，则AB?_。 例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 例3、如果方程222xky?表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_. 例4、已知P 为椭圆2212516xy?上的一点，,MN分别为圆?2231xy?和圆?2234xy?上的点，则PMPN?的最小值为 题型2： 求椭圆的标准方程 例1、求满足下列各条件的椭

11、圆的标准方程. （1 ）经过两点)2,3(?A 、(23,1)B?； (2)经过点(2，3)且与椭圆364922?yx具有共同的焦点. （3 ）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424. 题型3:求椭圆的离心率（或范围） 例1、ABC?中， 030,2,3ABCAABS?若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为 . 例2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 12FPF?为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1、已知实数,xy 满足22142xy?,则22xyx?的范围为 实用文档 文案

12、大全 例2、已知P 是椭圆22221xyab?上一点，12,FF是椭圆的两个焦点，求12PFPF?的最大值与最小值 例3、已知点,AB 是椭圆22221xymn?（0,0mn?）上两点,且AOBO? ?,则?= 例4 、如上图，把椭圆2212516xy?的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1,234567,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF?_ 题型5：焦点三角形问题 例1、已知12,FF 为椭圆22194xy?的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知12,PFF为一个直角三角形的三个顶点，且12PFPF?, 求12PFP

13、F的值； 例2、已知12,FF为椭圆 C:22184xy?的两个焦点，在C上满足12PFPF?的点的个数为 例3、若12,FF 为椭圆22194xy?的两个焦点，p为椭圆上的一点，当12FPF?为钝角时，点P横坐标的取值范围为 例4、已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21FF?,且经过点（1 ，32） 求椭圆的方程; 设点P在椭圆上,且121?PFPF,求cos21PFF?. 题型6: 三角代换的应用 例1 、椭圆221169xy?上的点到直线l:90xy?的距离的最小值为_ 例2 、椭圆221169xy?的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断 例1、当m为何值时，

14、直线yxm? 与椭圆221169xy?相交？相切？相离？ 实用文档 文案大全 例2、若直线)(1Rkkxy? 与椭圆1522?myx恒有公共点，求实数m的取值范围； 题型8：弦长问题 例3求直线24yx? 被椭圆224199xy?所截得的弦长. 例4 、已知椭圆2212xy?的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积； 题型9：中点弦问题 例5 、求以椭圆22185xy?内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。 例6 、中心在原点，一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx? 所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程 例7、椭圆22

15、1mxny? ，与直线1xy? 相交于 、 两点， 是 的中点 若22AB? ， 斜率为22 （O为原点），求椭圆的方程 题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题 例6、设过点?,Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA ?，且1OQAB? ?，求P点的轨迹方程; 15. 如图，在RtABC中，CAB=90°，AB=2， AC=22。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MB

16、N为钝角，求k的取值范围。 实用文档 文案大全 基础巩固训练 1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且1BDB?,则椭圆的离心率为 2.设12,FF 为椭圆2214xy?的两焦点，P在椭圆上，当12FPF?面积为1时，12PFPF ?的值为 3. 椭圆221369xy?的一条弦被?4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是 4.在ABC中，90A? ?，3tan4B?若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e? 5. 若12,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若3:2:1:211221?PFFFPFFPF, 则此椭圆的离心率为 6. 在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab?的焦距为2，以O为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e= 综合提高训练 7、 已知椭圆22221(0)xyabab?与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T， 且椭圆的离心率32e?求椭圆方程； 8.已知A、B 分别是椭圆22221(0)xyabab?的左右两个焦点，O为坐标原点，点 P21,2?在椭圆上，线段PB