中学考试数学二次函数动点问题 因动点产生地面积问题

1、实用文档 文案大全 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线212yxbxc?（b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0) （1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S 求S的取值范围； 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个 图1

2、动感体验 请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个 请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个 思路点拨 1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2OC 2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD 3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在

3、BC上方或下方 4求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值 满分解答 实用文档 文案大全 （1）b12c?，点B的横坐标为2c （2）由2111()(1)(2)222yxcxcxxc?，设E1(,(1)(2)2xxxc? 过点E作EHx轴于H 由于OB2OC，当AE/BC时，AH2EH 所以1(1)(2)xxxc?因此12xc?所以(12,1)Ecc?当C、D、E 三点在同一直线上时，EHCODHDO? 所以1212ccc?整理，得2c23c20解得c2或12c?（舍去） 所以抛物线的解析式为213222yxx? （

4、3）当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F 直线BC的解析式为122yx? 设213(,2)22Pmmm?，那么1(,2)2Fmm?，2122FPmm? 所以SPBCSPBFSPCF 221()24(2)42BCFPxxFPmmm?因此当P在BC下方时，PBC的最大值为4当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5 综上所述，0S5 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有11个 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0） 当P在BC下方，S4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC

5、的中点 实用文档 文案大全 例 2 2012年菏泽市中考第21题 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形ABO （1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质 图1来源:zzs#* 动感体验 请打开几何画板文件名“12菏泽21”

6、，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍 请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍 思路点拨 1四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，可以转化为四边形PBOB的面积是 ABO面积的3倍 2联结PO，四边形PBOB可以分割为两个三角形 3过点向x轴作垂线，四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形 满分解答 （1）AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A、B的坐标分别为(1, 0) 、

7、(0, 2) 因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(2, 0)，设解析式为ya(x1)(x2)， 代入B(0, 2)，得a1来%#源:*&中教网 所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2) x2x2 实用文档 文案大全 （2）SABO1 如果S四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 SABO3如图2，作PDOB，垂足为D 设点P的坐标为 (x，x2x2) 232'1111(')(22)22222PBODSDOBOPDxxxxxx?梯形2321113(2)(2)22222PDBSDBPDxxxxx? 所以2'''2+2PDBPBADP

8、BODSSSxx?四边形梯形解方程x22x23，得x1x21 所以点P的坐标为(1，2) 图2 图3 图4 （3）如图3，四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线 考点伸展 第（2）题求四边形PBOB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单 '11'222PBOPSBOxxx?22112(2)222PBOPSBOyxxxx? 所以2'''2+2PBOPBOPBADSSSxx?四边形 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作AOB关

9、于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点E的坐标为(1，2) 而矩形EBOD与AOB、BOP是等底等高的，所以四边形EBAB的面积是ABO面积的4倍因此点E就是要探求的点P 例 3 2012年河南省中考第23题 实用文档 文案大全 如图1，在平面直角坐标系中，直线112yx?与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D （1）求a、b及sinACP的值； （2）设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分

10、成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是910，也可以是109 思路点拨 1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角 2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫 3PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 4两个三角形的

11、面积比为910，要分两种情况讨论 满分解答 （1 ）设直线112yx?与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1 ，所以5AE? 所以25sin5AEO? 因为PC/EO，所以ACPAEO 因此25sin5ACP? 将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得4230,16433.abab? 解得12a? ，12b? （2）由211(,3)22Pmmm?，1(,1)2Cmm?， 实用文档 文案大全 得221111(1)(3)42222PCmmmmm? 所以2225251595sin(4)(1)55255PDPCACPPCmmm?所以PD

12、 的最大值为955 （3）当SPCDSPCB910时，52m?； 当SPCDSPCB109 时，329m? 图2 考点伸展 第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 而252511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm?， BM4m 当SPCDSPCB910 时，19(2)(4)(4)510mmm?解得52m?当SPCDSPCB109 时，110(2)(4)(4)59mmm? 解得329m? 实用文档 文案大全 例 4 2011年南通市中考第28题 如图1，直线l经过点A(1，0) ，且与双曲线myx?(x0)交

13、于点B(2，1)过点(,1)Ppp?(p1)作x 轴的平行线分别交曲线myx?(x0) 和myx?(x0)于M、N两点 （1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是两个同高的三角形，MN4MP存在两种情况 思路点拨 1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（3）题把SAMN4S

14、AMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论 满分解答 （1）因为点B(2，1) 在双曲线myx?上，所以m2设直线l的解析式为ykxb?，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,21.kbkb? 解得1,1.kb? 所以直线l的解析式为1yx? （2）由点(,1)Ppp?(p1)的坐标可知，点P在直线1yx?上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2) 实用文档 文案大全 由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系

15、，可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA 图2 图3 图4 （3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上 当SAMN4SAMP时，MN4MP 如图3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此222()4(1)xxxx? 解得1132x? 或1132x?（此时点P在x轴下方，舍去） 此时1132p? 如图4，当M在NP的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此222()4(1)xxxx? 解得152x? 或152x?（此时点P在x轴下方，舍去） 此时152p? 考点伸展 在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，AMN90°，此时点M的坐标为

16、（1，2），点P的坐标为（3，2）情形二，如图6，MAN90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90°的情况 图5 图6 实用文档 文案大全 例5 2010年广州市中考第25题 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12yxb?交折线OAB于点E （1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出

17、重叠部分的面积；若改变，请说明理由 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换 思路点拨 1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长 2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积 3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形 4图形翻着、旋转等运动中

18、，计算菱形的边长一般用勾股定理 满分解答 (1)如图2，当E在OA上时，由12yxb?可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b此时SSODE 112122OEOCbb? 如图3，当E在AB上时，把y1代入12yxb?可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入12yxb?可知，点E的坐标为3(3,)2b?，AE 32b?，BE 52b?此时来% SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD 实用文档 文案大全 1315133()()(52)1(22)22222bbbb?252bb? (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，那么

19、重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形 作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2 设菱形DMEN的边长为m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解 得54m?所以重叠部分菱形DMEN的面积为54 图2 图3 图4 考点伸展 把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示 图5 图6 图7 实用文档 文案大全 例 6 2010年扬州市中考第28题 如图1，在ABC中，C90°，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上

20、，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y （1）求线段AD的长； （2）若EFAB，当点E在斜边AB上移动时， 求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； 当x取何值时，y有最大值？并求出最大值 （3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口

21、向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分ABC的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分双击按钮“第（2）题”可以切换。 思路点拨 1第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点 2第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论 3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断 满分解答 (1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，39cos355ADACA? (2) 如图2，当F在AC上时

22、，905x?在RtAEF中，4tan3EFAEAx?所以21223yAEEFx?如图3，当F在BC上时，955x?在RtBEF中，3tan(5)4EFBEBx?所 以21315288yAEEFxx? 当905x?时，223yx? 的最大值为5425； 实用文档 文案大全 当955x? 时，231588yxx? ?23575)8232x?( 的最大值为7532 因此，当52x?时，y 的最大值为7532 图2 图3 图4 (3)ABC的周长等于12，面积等于6先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，AF6x，x的变化范围为3x5因 此1142sin(6)(6)2255AEFSAEAFAxxxx?

23、解方程2(6)35xx? ，得1362x? 因为1362x?在3x5范围内（如图4），因此存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分 考点伸展 如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分 先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，BE5x，BFx1 因此21133sin(5)(1)(45)22510BEFSBEBFBxxxx? 解方程23(45)310xx?整理，得2450xx?此方程无实数根 例7 2009年兰州市中考第29题 如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点

24、P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒 （1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； （2）求正方形边长及顶点C的坐标； （3）在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标 （4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 实用文档 文案大全 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ双击按钮“POPQ，P在AB上”和“POPQ，P在CD上”，可以准确显示POPQ 思路点拨 1过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础 2求点C的坐标，为求直线B