理论力学第二次大作业论文——自由落体及有初速度条件下落体偏东问题的研究

1、自由落体及有初速度条件下落体偏东问题的研究一 问题背景落体偏东是指在北半球，当物体从高处自由下落时落点会向东偏离的现象。随着科技的飞速发展和人类对天空的不断探索，落体偏东现象成为了我们必须深入探讨的课题。早期，在国外曾做过几个落体偏东的实验（见表1）与理论值y0t=g2(t-sin2t/2)cos（或y0h=23hcos2hg）进行比较。式中是地球自传的角速度，g是重力加速度（设与纬度无关），是落体所处的纬度，h是质量为m的物体由静止落下的高度，t是落体下落的时间。如今落体偏东理论已渐趋成熟，在精确制导及载人航天等许多领域都得到了应用和拓展。本文将对此问题进行简单分析。二 问题假设u 落体为质

2、点，不考虑空气阻力。u 不考虑除落体和地球组成的系统外的其他外力。u 地球为球体，质心与地心重合，自转速度恒定。三 模型建立与求解3.1 自由落体的偏东问题3.1.1 模型建立地球自转速度为=0.72722×10-4rad/s地球的半径为R=6378164m质量为m的物体位于地球赤道时的牵连惯性力FIe达到最大，即FIe=m×6378164×2=0.03373m与物体自重相比FIemg=0.00344可见物体的牵连惯性力远小于其重力，且与运动无关。故可忽略前因惯性力或将其合并入重力，而只考虑科氏惯性力。以自由质点为例。以质点初始位置为坐标原点，Oz轴沿地球半径方向

3、，Oy轴沿纬线切线向东，Ox轴沿经线切线向南。如图：G（1）(1)由质点相对运动微分方程 设质点所在位置纬度为，则有式(1)投影到x,y,z轴(2)(3)(4)初始条件方程(4)中、y的一阶导数均为小量，与g相比，略去右端第二项积分并考虑初始条件z=-12gt2方程(3)中x的一阶导数相对z的一阶导数为小量，可以略去。得到积分并考虑初始条件带入方程(1)，积分并考虑初始条件在北半球sin2>0,物体在下落过程中有少量偏东，更少量偏南。南半球则是少量偏东，更少量偏北。3.1.2 模型求解基于以上的研究，物体在无初速度、不考虑空气阻力的条件下做自由落体运动。注意到偏南量为，其中的，可知落体的

4、偏南量为一数量级很小的数值，考虑落体的偏南在生活中并无实际价值，所以在接下来对以上建立的模型的求解过程中，我们不考虑落体偏南，而只考虑落体偏东效应。观察落体的偏东量表达公式，影响落体偏东量的两个因素为下落时间及物体所在纬度，而自由落体的下落时间又直接与物体所在高度相关。于是，我们得到了需要考虑的两个变量：高度及纬度。上述求得的表达式虽然可以直观地表达落体偏东量与影响因素的函数关系，但是有一定的近似处理，在实际的求解中，为了得到更为精确的结果，我们使用了数值计算中的四五阶龙格库塔方法求解最初建立的常微分方程组，在给定的初始条件下，依据方程可以得到各个时刻的物体的状态。首先，我们考虑同一高度下，不

5、同纬度下的落体偏东。如图，由于物体在南北半球的落体偏东值对称，我们选取了物体在北半球的情况进行研究。该图可以近似看作物体从高处自由落体的下落轨迹图。在赤道处，落体有最大的偏东量，随着纬度变大，落体偏东量逐渐减小，且减小的幅度越来越大。注意到，在南北两极处，物体的偏东量为0，这是因为物体下落的速度与平行，所以物体不受科氏力的作用，不发生偏东。接下来，我们考虑不同高度，物体偏东量大小随纬度变化的曲线，用Matlab做图如下：观察图形，我们发现，落体的偏东量随高度的增大而增大。3.1.3 结果分析总结上述过程，我们得到以下结论：自由落体偏东量与高度和纬度的函数关系为：1) 自由落体偏东随纬度增大而减

6、小，在两极处偏东量为0；2) 自由落体偏东随高度增大而增大。3.2 具有x轴方向初速度的落体偏东问题3.2.1 模型建立假定质点从有限的高度处且在x轴方向上以初速度为下落，那么我们可认为不变，且除重力以外的,其初始条件变为(5)把式（5）代入(2)得所以：把式（5）代入（3）得所以：把式（5）代入（4）得所以：再将计算出来的代入(2)，(3)，（4）得略去后得再次积分得 消去后得(6)如上，我们得到了描述具有x轴方向初速度下的物体下落轨迹方程。3.2.2 模型求解为了研究有x轴方向初速度的落体偏量，我们将z=0代入到公式（6）中，得到下公式：其中的分别为落体的偏南（偏北）量和偏东（偏西）量，注

7、意到落体的偏南量为一数量级很小的值，在模型建立的近似处理中，我们将落体的偏南（偏北）量忽略，所以接下来我们只研究落体的偏东。先考虑速度的变化对落体的偏东（偏西）量的影响。为简便起见，我们选择特定高度及纬度下研究速度的影响。先考虑高度为200m，纬度为时的情况，用Matlab做图如下：观察图像，我们发现存在一个速度临界值，在临界值下落体的偏东量为0，当速度小于这一临界值时，落体将会偏东；而速度大于这一临界值时，落体将会偏西。当然，这是在北半球研究得出的结论，如果在南半球，我们将得到类似但相反的结论。为了更具体的研究，我们再选取一个特殊的位置，即纬度为0出的落体偏东与速度的关系，做出如下图：一个有

8、趣的现象是直线的斜率变为0了，即落体在赤道处的落体偏东量与速度没有关系。从数学表达式上来看，我们很容易得到这一结论，但是从理论力学角度来分析，这是因为质点在x轴方向的速度与平行，所以这一附加的速度不会对科氏力的大小产生影响，落体的偏东量自然与在x轴方向的初速度无关。3.2.3 结果分析当质点具有x轴方向的初速度时，落体的偏南（偏北）量为一个数量级很小，可以忽略的数值；落体的偏移主要表现在偏东（偏西）量上。同时，除了赤道位置，落体的偏东（偏西）量受到x轴方向初速度的影响，且纬度越大，速度对落体偏量的影响越大，在某一特定速度下，可以使落体的偏东（偏西）量为0。3.3 具有y轴方向初速度的落体偏东3

9、.3.1 模型建立假定质点从有限的高度处且在y轴方向上以初速度为下落，那么我们可认为不变，且除重力以外的,故其初始条件为(7)故对式（2），（3），（4）积分一次并将（7）的初始条件也代入得(8)再将所求的代入（2），（3），（4）得略去得积分两次并利用初始条件得消去后得(9)如上，我们得到了描述具有x轴方向初速度下的物体下落轨迹方程。3.3.2 模型求解类似于对x轴方向初速度的研究，我们现在讨论具有y轴方向初速度的落体偏东量，我们将z=0代入到公式（9）中，得到下公式：其中的分别为落体的偏南（偏北）量和偏东（偏西）量，此处这两个数值的数量级均不可忽略，但注意到偏东（偏西）量在高度及纬度确定的

10、情况下为一定值，为了研究速度变化的影响，我们只考虑偏南（偏北）量。同样先在高度为200m，纬度为时考虑：得到的结论与研究x轴方向初速度时类似：随速度的不同质点会发生偏南或偏北。再考虑纬度为0的特殊情况：即在赤道上速度的变化不会影响落体的偏南或者偏北，进一步地，落体在赤道处的偏南（偏北）量为一个几乎为0的微小量。此时的情况与x轴初速度的不同，y轴的初速度与垂直，但科氏力的方向指向z轴，故不会影响质点在x轴方向的偏移量。3.3.3 结果分析当质点具有y轴方向的初速度时，在某一确定的高度及纬度下，落体的偏东（偏西）量为大小不可忽略的确定数值；而物体的偏北（偏南）量的大小受到初速度的影响。同时，除了赤

11、道位置，纬度越大，速度对落体偏南（偏北）量的影响越大，当y轴方向初速度为0，落体的偏北（偏南）量为一个可以忽略的微小量。四 模型的评价与改进方向模型的评价本文建立模型讨论了自由落体情况下以及具有初速度情况下的落体下落位置偏移情况，主要有如下优点：Ø 讨论自由落体情况时，详细比较了各个影响因素（高度，纬度）的不同作用情况，并通过作图画出了自由落体下落的近似轨迹。通过图像对该问题有了进一步的了解。Ø 讨论了初速度对落体下落偏移的影响，给出了表达式，并得到了不同方向初速度时，落体在东南西北四个方向上偏量的具体分析。Ø 运用软件计算时采用了四五阶龙格库塔方法，不依赖于简化

12、得到的表达式，使计算结果更为精确。改进方向u 本文讨论的具有初速度的落体偏东问题只限于x，y，z单一方向的初速度，可以将其推广，讨论空间中任意方向的初速度影响下的情况。u 实际的落体会受到空气阻力的影响，考虑这一影响因素，我们将能得到更具有现实意义的结论。我们进行了一定的研究，但限于时间，未能在文档中呈现出来。五 心得体会经历过一次大作业的洗礼之后，在这次大作业上我们可以说是有条不紊。总的来说，整个过程就不停重复着“提出疑问解决疑问得出结论”这样的循环。第一步，我们先阅读了书本上相关的内容，并且查阅了一些网络上的资料之后，对这个题目有了更深刻的理解，并初步拟出了解决办法。第二步，我们对拟出的解

13、决办法进行了实践，在计算机Matlab软件的帮助下，对这个问题进行了模拟，并得出了纬度偏东量等图线，可以说已经得到了一定的成果。第三步，我们思考进行更进一步的探索，比如使落体有初速度，模拟落体偏东等。并且把在这其中得到的疑问向张老师提出，张老师也耐心的向我们解答，我们从中得到了很多启发。第四步，我们开始总结我们在整个大作业过程中得到的结果以及推导的过程，制作Word文档和PPT等。经过了这几个步骤，可以说我们的大作业已经完成。从这次的大作业中，我们也得到了与第一次不尽相同的体会。团队合作仍然是极为重要的，这样一个工程量很大的作业如果由个别人来完成，这将是一件非常困难的事情，但只要每个成员付出自

14、己的一份力，完成大作业也只是一个水到渠成自然而然的过程了。在两次的大作业中，对计算机软件的应用使我们意识到了，想在学术上的问题有所研究，这样的基础技能是不可或缺的。两次的大作业磨练了我们的学习能力，拓展了我们的思维，强化了我们的实际操作能力，让我们获得了很大的提升。这样的宝贵经历将成为我们之后学习过程中的强大助力，促进我们不断前进。参考文献1 东艳晖.“落体问题”的解析解及近似处理J.石家庄师范专科学校学报，2000,2(4)：20-22.2 周向玲.具有初速度的落体偏东问题J.河北北方学院学报，2011,27(5)：56-58.3 杨建平.落体偏东的定性及半定量分析J.物理通报，2002(3

15、)：31-32.4 韩峰.落体偏东现象与科氏力场J.济宁师专学报，2000,21(3)：45-47.5 张克猛，张义忠.理论力学M.北京：科学出版社，2008：201-202.附录代码绘制地球% 绘制地球 cla reset; load topo; x y z = sphere(45); s = surface(x,y,z,'FaceColor','texturemap','CData',topo); colormap(topomap1);% Brighten the colormap for better annotation visibili

16、ty: brighten(.6)% Create and arrange the camera and lighting for better visibility: campos(1.3239 -14.4250 9.4954); camlight; lighting gouraud; axis off vis3d;函数function ydot=fun(t,y,r,w)g=9.8;%w=2*pi/3600/24;ydot=y(2); 2*w*y(4)*sin(r); y(4); -2*w*(y(6)*cos(r)+y(2)*sin(r); y(6);2*w*y(4)*cos(r)-g;不同高

17、度下落体偏东距离与纬度关系图clearh1=100:100:400;for i=1:length(h1) h=h1(i); g=9.8; w=2*pi/3600/24; tt=sqrt(2*h/g); t=0:0.01:tt; aa=-90:2:90; rr=zeros(size(aa); for j=1:length(aa) a=aa(j); a1=a*2*pi/360; r0=0,0,0,0,h,0; t,r1=ode45('fun',t,r0,a1,w); rr(j)=r1(end,3); end plot(aa,rr) hold onendlegend('h=1

18、00','h=200','h=300','h=400')xlabel('纬度')ylabel('落体偏东距离')title('不同高度下落体偏东距离与纬度关系图')同一高度下落体偏东距离与高度关系图clearaa=0:30:90;for i=1:length(aa) h=200; g=9.8; w=2*pi/3600/24; tt=sqrt(2*h/g); t=0:0.01:tt; a=aa(i); a1=a*2*pi/360; r0=0,0,0,0,h,0; t,r1=ode45('fun',t,r0,a1,w); r11=r1(:,3); r12=r1(:,5); plot(r11,r12) hold onend legend('=0','=30','=60','=90')ylabel('高度')xlabel('落体偏东距离')title('同一高度下落体偏东距离与高度关系图')axis(-0.01 0.07 0 200)在确定高度为200m及纬度为0下的落体偏东量与速度的关系图clearg=9.8;h=200;v=-