受限约束回归的检验

1、 补充内容补充内容受限约束回归的检验受限约束回归的检验在经典计量经济学中对模型的统计检验常用的是：在经典计量经济学中对模型的统计检验常用的是：对单个系数显著性的对单个系数显著性的 t t 检验；对整个模型联合显著性的检验；对整个模型联合显著性的 F F 检验检验模型应该包括哪些变量模型应该包括哪些变量? ?不应该包括哪些变量呢不应该包括哪些变量呢? ?模型结构是模型结构是否有变化呢否有变化呢? ? 能否有更一般的检验呢？能否有更一般的检验呢？最一般的模型为最一般的模型为(为表达简化，这里省略了下标为表达简化，这里省略了下标i或或t)可称无约束回归模型（可称无约束回归模型（unrestricte

2、d regression） ，用用“U”表示表示如果对模型施加某种约束，把施加了某种约束的模型称为如果对模型施加某种约束，把施加了某种约束的模型称为受约束回归模型（受约束回归模型（ restricted regression ）用）用“R”表示。所施加的约束可能有各种情况。表示。所施加的约束可能有各种情况。121111233mmkkkmmkXXYXXuXX2一、问题的提出（对模型的约束一、问题的提出（对模型的约束) )相对于无约束模型（相对于无约束模型（U）：）：例如受约束模型（例如受约束模型（R）:与无约束模型比较，（与无约束模型比较，（R）施加了）施加了 的约束。的约束。注意：注意：样本容

3、量为样本容量为n；无约束模型（；无约束模型（U）中包含）中包含 个未知参数；受约束模型（个未知参数；受约束模型（R）中包含）中包含 个未知参个未知参数，未包含的参数个数（通过约束去除的变量个数）数，未包含的参数个数（通过约束去除的变量个数）为为 个个。122mmYXXv120mmk3UkkRkmURkkkm1. 增加或减少解释变量的约束增加或减少解释变量的约束121111233mmkkkmmkXXYXXuXX 2. 对模型参数的线性约束对模型参数的线性约束相对于无约束模型（相对于无约束模型（U）：）：若施加例如若施加例如 或或 等约束，则有（等约束，则有（R）为）为 或或其中其中 ， ， 与无

4、约束模型（与无约束模型（U）相比，这是受约束模型（）相比，这是受约束模型（R）2311kk21*12231111(1)kmmmmkkkYXXXXXXu*12111*21mmmmkkYXXXuX *3YYX*223XXX*11kkkXXX122331111mmmmkkkkYXXXXXXu43. 对模型参数的非线性约束对模型参数的非线性约束相对于无约束模型（相对于无约束模型（U）：）：231 321例如施加例如施加受约束模型为受约束模型为: 的约束，则的约束，则*1223111121mmmmkkkkYXXXXXXu5 非线性约束检验非线性约束检验是建立在是建立在极极大似然原理大似然原理基础上的基础

5、上的, ,有有最大似然比检验最大似然比检验、沃尔德检验沃尔德检验与与拉格朗日乘数检验等拉格朗日乘数检验等. .（非线性约束的情况在高级计量经济学（非线性约束的情况在高级计量经济学( (二二) )中再讨论中再讨论) )122331111mmmmkkkkYXXXXXXu二、受线性约束模型的检验思想二、受线性约束模型的检验思想对于对于无约束模型无约束模型U:120mmk6121111233mmkkkmmkXXYXXuXX122mmYXXv无约束无约束样本回归函数为样本回归函数为eXY*eXY残差残差)X(eXeXXYe* 受约束受约束样本回归的样本回归的残差平方和残差平方和 为为： 于是有于是有 无

6、约束无约束样本回归的样本回归的残差平方残差平方和和：RRSSRRSS *+(e-) X X(ee-e)2UiRSSe e eURR SRSSS *e ee e 利用最小二乘原则利用最小二乘原则有有X e = 0受约束受约束样本回归函数为样本回归函数为则则受约束模型受约束模型R为为例如施加约束例如施加约束同一样本下受约束与无约束模型的总变差同一样本下受约束与无约束模型的总变差TSS都都相同相同 TSSR = TSSU但但 RSSR RSSU从而从而 ESSR ESSU说明说明:如果约束是不合理的，对模型施加约束条件可能如果约束是不合理的，对模型施加约束条件可能会降低模型的解释能力会降低模型的解释

7、能力。7 如果约束条件为合理的，则受约束回归模型与无约如果约束条件为合理的，则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力，束回归模型具有相同的解释能力， 与 的差的差异应当充分小。异应当充分小。RRSSURSS结论：结论： 可用可用( )的的大小来检验约束的真实性大小来检验约束的真实性RRSSURSS2()iYY都是检验的思想检验的思想8怎样比较怎样比较（RSSRRSSU）的大小的大小?RSS的值与变量的度量单位有关，度量单位不同的值与变量的度量单位有关，度量单位不同RSS的取的取值也不同，不能只看（值也不同，不能只看（RSSRRSSU）绝对量的大小。）绝对量的大小。如果（如果（RSSR

8、RSSU）相对于）相对于RSSU充分小，才能说明模充分小，才能说明模型（型（U）与模型（）与模型（R）差异不大，施加的约束是合理的。）差异不大，施加的约束是合理的。反之，如果（反之，如果（RSSRRSSU）比）比RSSU并不充分地小，说并不充分地小，说明模型（明模型（U）与模型（）与模型（R）差异较大，施加的约束就是不合）差异较大，施加的约束就是不合理的。理的。怎样检验（怎样检验（RSSRRSSU）是否比）是否比RSSU充分地小呢？充分地小呢？8三、受线性约束模型的检验方法三、受线性约束模型的检验方法无约束模型中包含无约束模型中包含 个未知参数；受约束模型中包含个未知参数；受约束模型中包含 个

9、未知个未知参数，未包含的参数个数（约束去除的变量个数）为参数，未包含的参数个数（约束去除的变量个数）为可以证明可以证明: 服从服从 分布，自由度为分布，自由度为 (样本容量为样本容量为n；无约束模型中包含；无约束模型中包含 个未知参数个未知参数) 服从服从 分布，自由度为分布，自由度为 (样本容量为样本容量为n；受约束模型中包含；受约束模型中包含 个未知参数个未知参数) 服从服从 分布，自由度为分布，自由度为 两个独立两个独立 变量的比值服从变量的比值服从F分布，则分布，则 2URSS22RRSS2()RURSSESS(),)(RUURUUUURRSSFF kknkRSSRSSkknk9()U

10、nkUkRk()URkkUkRkURkk222()Rnk10讨论：讨论：如果约束条件不合理，如果约束条件不合理， 与与 的差异相对于的差异相对于 较大，计算的较大，计算的F值也应较大。值也应较大。 反之反之, 如果约束条件合理，如果约束条件合理， 与与 的差异相对于的差异相对于 较小，计算的较小，计算的F值也应较小。值也应较小。 可用计算的可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，对约束条件的合理性进行检验。界值作比较，对约束条件的合理性进行检验。RRSSURSS注意注意: 恰为约束条件的个数。恰为约束条件的个数。URkk222() ()(

11、) ()(,)()(1) ()RRRUUUURUUUURUUFF kknknRSSkRkRRSSkRSSkRnkk其中其中 分别为无约束和受约束模型的可决系数。分别为无约束和受约束模型的可决系数。22,RURR还可证明还可证明:URSS(),)(RUURUUUURRSSFF kknkRSSRSSkknkRRSSURSSURSS11检验方法检验方法1）原假设为：）原假设为： （有（有K-M个约束）个约束）被择假设：被择假设： 中至少有一个不为中至少有一个不为02）作模型（）作模型（U）的回归）的回归作模型（作模型（R）的回归）的回归分别计算分别计算RSSU、RSSR或者计算或者计算 ，并计算，并

12、计算F统计量统计量3）给定显著性水平）给定显著性水平 ，查，查F分布表得临界值分布表得临界值 4）如果）如果F 则拒绝则拒绝 ；否则不拒绝原假设否则不拒绝原假设以上检验称为受约束回归的检验。以上检验称为受约束回归的检验。012:0mmkH12,mmk12211mmmmkkYXXXXu122mmYXXv22,URRR*,( )k m n kF*,( )k m n kF012:0mmkH12 例如例如对回归模型增加或减少解释变量的检验对回归模型增加或减少解释变量的检验考虑如下两个回归模型考虑如下两个回归模型kkXXY110qkqkkkkkXXXXY11110(1)式可看成是式可看成是无约束的（无约

13、束的（2）式）式的的受约束回归受约束回归.相应的统计量为：相应的统计量为：(1)(2)0:0+1+2k+qH= = ()/ ,()/()RUURSSRSSqFF q nkqRSSnkq(1)式是（式是（2）式减少了）式减少了q个变量个变量, 或或(2)式是式是(1)式增加了式增加了q个变量个变量.Ukkq13 如果约束条件为真，即额外的变量如果约束条件为真，即额外的变量对没有解释能力，则统计量应较小；对没有解释能力，则统计量应较小； 否则，约束条件不合理，意味着额外的变量对有否则，约束条件不合理，意味着额外的变量对有较强的解释能力，则统计量较大。较强的解释能力，则统计量较大。 因此，可通过因此

14、，可通过F的的计算值计算值与与临界值临界值的比较，来判断的比较，来判断额外变量是否应包括在模型中。额外变量是否应包括在模型中。讨论：讨论： 统计量的另一个等价式统计量的另一个等价式222()/(1)/()URURRqFRnkq12,kkk qXXX(可通过两个模型的可决系数计算统计量可通过两个模型的可决系数计算统计量)四、受约束回归检验的一般性四、受约束回归检验的一般性1. 当有约束模型与无约束模型只相差一个解释变量时有约束模型与无约束模型只相差一个解释变量时如如(U) (R) 这时施加的约束只是这时施加的约束只是 作检验作检验 这种情况下计算的这种情况下计算的F统计量其数值的平方根与对统计量

15、其数值的平方根与对 作作t 检验的统计量相同，作受约束回归检验与作检验的统计量相同，作受约束回归检验与作t检验等价检验等价12211kkkkYXXXu12211kkYXXv0:0kH() ()() (1)() 1()()()RURURUUUURSSRSSkmRSSRSSkkRSSRSSFRSSnkRSSnkRSSnkk14(1)mk2. 解释变量的联合显著性检验解释变量的联合显著性检验（U） （R） 这里的（这里的（R）模型施加了除截距项外的所有解释变量的参）模型施加了除截距项外的所有解释变量的参数均为数均为0的约束，即的约束，即（R）模型中只有截距项而没有解释变量，所以模型中只有截距项而没有

16、解释变量，所以即即 ，这时受约束回归检验统计量为，这时受约束回归检验统计量为 可以看出，这时与对联合显著性可以看出，这时与对联合显著性 F 检验的结果完全相同检验的结果完全相同结论：结论：对参数的对参数的t检验和检验和F检验只是受约束回归检验的特例检验只是受约束回归检验的特例12211mmmmkkYXXXXu1Yv023:0kH220RRRR22222() ()() (1)(1)(1,)()(1) ()(1) ()RUUUUURURSSRSSkmRkRkFF knkRSSnkRnkRRnk150RESS 3. 邹氏参数稳定性检验邹氏参数稳定性检验 （Chow test for paramete

17、r stability）经济结构的变化常导致计量经济模型结构的变化，需要检经济结构的变化常导致计量经济模型结构的变化，需要检验模型结构是否发生了变化。验模型结构是否发生了变化。实例：实例：例如以例如以1990年价计算的中国城镇居民人均食品消年价计算的中国城镇居民人均食品消费支出的变化如图所示费支出的变化如图所示:可看出可看出1981-1995的变的变动趋势有较强一致性，动趋势有较强一致性，1995年后呈另一种变动年后呈另一种变动特征。特征。1995年前后模型年前后模型的结构的结构(体现在截距和斜体现在截距和斜率系数）是否有显著变化呢率系数）是否有显著变化呢?16对于模型对于模型如果有两个连续的

18、时间序列样本：如果有两个连续的时间序列样本： 如如1981-1994以及以及 如如1995-2001 。相应的模型分别为相应的模型分别为:若若 则可写为则可写为: 其中其中: 为参数列向量，为参数列向量， 为列向量，为列向量， 为矩阵为矩阵这是这是 情况下的情况下的无约束模型无约束模型。17参数稳定性检验的方法参数稳定性检验的方法122ttkkttYXXu1(1,2,)n1112(1,2,)nnnn1221ttkkttYXXu1(1,2,)tn1222ttkkttYXXu1112(1,2,)tnnnn 111222YX0u=+Y0Xu,12Y ,Y12X ,Xjj(结构有变化结构有变化)(实际

19、做的是两段回归实际做的是两段回归)18如果在时间如果在时间 前后模型没有显著的结构变化，参数具稳前后模型没有显著的结构变化，参数具稳定性，应当有定性，应当有 ，即，即 ，这时可作整个期，这时可作整个期间间 的回归的回归:这是这是受约束受约束（ ）的回归。）的回归。邹至庄提出了通过检验邹至庄提出了通过检验 去检验参数稳定性或去检验参数稳定性或模型结构变动的方法。模型结构变动的方法。1njj0:H = = 11112(1,2,1,2,)n nnnn = Y = X + u邹至庄检验的假定和方法邹至庄检验的假定和方法检验的假定：检验的假定：1）两个子期间随机误差项为正态变量且同方差，即）两个子期间随

20、机误差项为正态变量且同方差，即2）两误差项是独立的）两误差项是独立的检验的做法：检验的做法：1）如果参数具稳定性，）如果参数具稳定性， ，可作整个期间，可作整个期间的回归，得残差平方和的回归，得残差平方和 ，这作为，这作为受约束受约束残差平方和。残差平方和。2）如果模型有显著的结构变化，）如果模型有显著的结构变化， ，分别作两个期，分别作两个期间的回归，分别得残差平方和间的回归，分别得残差平方和 与与 。由于两样本是独立的，将两残差平方和相加得无约束残差由于两样本是独立的，将两残差平方和相加得无约束残差平方和平方和 : 1912(0,)tuNjj12(1,2,)nnRRSSjj1RSS2RSS

21、URSS12URSSRSSRSS22(0,)tuN3）作受约束模型的检验）作受约束模型的检验:邹至庄证明了在邹至庄证明了在 下，下，有有在显著性水平在显著性水平 下，若下，若 F 值小于值小于F 的临界值，则不能拒的临界值，则不能拒绝没有结构变动的绝没有结构变动的 ，即认为模型确实没有显著，即认为模型确实没有显著的结构变动。反之，则有显著的结构变动。的结构变动。反之，则有显著的结构变动。例如，例如，中国城镇居民人均食品消费支出对居民实际消费总中国城镇居民人均食品消费支出对居民实际消费总支出支出 、食品价格指数、食品价格指数 及居民消费价格总指数及居民消费价格总指数 的的回归：回归：得到得到 及及201212() ,(2 )(2 )UURkFF k nnknnRSSRRSSSkS0:H0:H2X3X0.013789RRSS 4X12