存在性与恒成立

1、专题训练恒成立存在性问题知识点梳理恒成立问题的转化：a f 能成立问题的转化：a f 恰成立问题的转化： a f x在M上恒成立 x在CrM上恒成立1、2、3、另一转化方法：若x D, f (x) fmin (X) A，若 x fmax(X) B D,4、设函数f x、 贝 U fmin X gmin X5、设函数f X、 贝S fmax X gmax Xx恒成立X能成立a f x在af X max ；afX恒成立af xminf Xmin ；afX能成立af xmaxa的解集为M上恰成立 a f xA在D上恰成立，等价于f (x)在D上的最小值 f (x) B在D上恰成立，则等价于f(x)在

2、D上的最大值，对任意的，对任意的XiXi存在X2存在X2，使得f Xi，使得f Xig X2，g X2，2)对任意Xi i,2,X2 2,4，都有f(Xi) g(x2)恒成立，求实数a的取值范围； 【分析：】1) 思路、等价转化为函数f(x) g(x) 0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求 最值解决.2) 思路、对在不同区间内的两个函数f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足 fmin(x) gma)(x)即可.简解：(i)由值大于a即可.对3X X2x2 iX 求导，(x) 2X4增函数，min (X)2ax22ax i xx3(x) 2x2 i 求导，e(2x2 i)I，所以a的取值范围

3、是0 ai-,2，都有 h(x)成立，只需满足7 0,3(X) Xi的最小故(x)在x i,2是6、设函数f则f X在xi7、设函数ff max X g min x8、设函数ff min X gmax x9、若不等式，对任意的g xa , b上的值域M是g xg x，存在XiXia , b，在X2a , b，存在 X2 c,d，使得 f Xi存在X2c,d上的值域N的子集。,使得f Xi=g X2即：Mg X2N。则g X，存在Xi a , b，存在X2 c, d，使得fXig X2和图象在函数y10、若不等式f x 和图象在函数y gg x在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y 图象上

4、方；x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y 图象下方；题型一、常见方法i、已知函数f(x)i)对任意X i,2，2ax 1， g(x)-，其中 a 0， x 0 .x都有f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围;23 .i0在x3b，对任意aa2、设函数h(x)-x实数b的取值范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数, 本题为例，实质还是通过函数求最值解决.方法i ：化归最值，方法2:变量分离，h(x) i0方法3:变更主元,b i0 (xi(a) axhmax(x) i0 ； x)或ax2(i0i0b)x ；I2】简解：方法i：对h(x)由此可知,i0h(i) i0g(

5、x) xih(x)在- ,i上的最大值为4i4a b i0 b4i a b i039 /4a49 a3、已知两函数f (x)f (Xi) g X2 ,则实数i-,i恒成立，求再处理另一个参数.a (x . a)(x . a)22 ,xi h(：)与h(i)中的较大者.4b求导,h(x),对于任意a已,2，得b的取值范围是2x ,m的取值范围为g(x)m，对任意Xi0,2，存在X2i,2，使得解析：对任意Xi0,2，存在X2i上的最小值-m不大于f(x)4i,2 ,使得 f (Xi) g X2 等价于 g(x)x2在0,2上的最小值0,既f mX-m 在 i,224.已知f(x) 2ax - I

6、nx在x 1与x -处都取得极值.函数g(x)=x2 2mx+m , x2若对任意的X!丄,2，总存在X2 -,2，使得、g(xj f(X2)Inx2,求实数m的2 2取值范围。上恒大于0，故有:f20 x24x3 0 x3或 x1f20 x210x1 或 x1解析：Q f (x)2ax b lnx,xf (x)2a 2 !qxf (x)2ax卫xIn x 在 x处都取得极值二1f(1) 0，f(2)2a2ab 14b 2 0解得：a b13x2二 a b -3f(x) 22(x 1)(x2x3x又函数y=f (x)所以函数f(x)在xi处都取得极值2、已知函数f(x) ln(ex a)(a为

7、常数)是实数集R上的奇函数，函数g x f(x) sinx是区 间1,1上的减函数，(I )求a的值；(I )若g(x) t2 t 1在x 1,1上恒成立，求t的 取值范围；(I )分析：在不等式中出现了两个字母： 是一个变量，另一个作为常数。显然可将 为在，1 知：f(x) x 上恒成立， 中 1t 10t 1 t sin1 10，In x 2x+在-,2上递减，3 3x 2f(x) lnxmf(2)=又 函数g(x) = x2 2mx+m图象的对称轴是x=m及t ,关键在于该把哪个字母看成 视作自变量，则上述问题即可转化 内关于 的一次函数大于等于0恒成立的问题。(II)略解：由(I )

8、g(x) x sinx ,Qg(x)在 11上单调递减，1, g(x) max g( 1) sin1，只需 sin1 t： )恒成立，由上述结论：可令f而t2 t sin1 0恒成立，题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)1、当x 1,2时，不等式x2 mx 4 0恒成立，则m的取值范 解析：当 x(1,2)时，由 x2 mx 4 0得 m 1. /. m 5.xmaxt 1t2 t sin1 0，g (x) cosx 02 2t 1 , (t 1) t(t 1) t2 sin1 1t 1 。 y |x当m<4时：g(x)min=g()=1，依题意有2 时：g(x

9、)min=g(m)=m m2cosxsin10(y ,y axO:在1，1 0 (其1，则y |x|m< 12(2)当 1 m2得:63+ .516(3)当 m>2 时：g(x)min=g(2)=4 3m，二 43m综上：m心161-成立，462m1m< 2题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、若对任意x R,不等式lxl ax恒成立，则实数a的取值范围是 解析：对 x R,不等式|x| ax恒成立、则由一次函数性质及图像知1 a 1 ,即 1 a 1。7 ,即 6m263+ ,5166m 70 ,所以，实数m的取值范围为(31m , 乂 m>

10、;2，m183+75?6 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足P 2的所有实数p,求使不等式x2 px 1 p 2x恒成立的x的取 值范围。解：不等式即 x 1 p x2 2x 1 0,设 f p x 1 p x2 2x 1,则 f p 在-2,22、已知函数f x x2 2心2，在x 1恒有f x k，求实数k的取值范围。分析：为了使f x k在x 1,恒成立，构造一个新函数 F x f x k，则把原 题转化成左边二次函数在区间 1,时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的 图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令F x f x k x2 2

11、収2 k，则F x 0对x 1,恒成立，而F x是开口向上的 抛物线。当图象与x轴无交点满足 0，即 4k2 22 k 0，解得2 k 1。当图象与x轴有交点，且在x 1,时F x 0，则由二次函数根与系数的分布 知识及图象可得：0F 10解得3 k 2,故由知3 k 12k12ax2 bx c a O大于0恒成立，则有 a 0数y mx2 bx ca 0小于0恒成立，则有0。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间f xmax若在区间f x imin小结：若二次函数y同理，若二次函D上存在实

12、数x使不等式fA ；D上存在实数x使不等式fx B成立，则等价于在区间D上的Bx A成立，则等价于在区间D上(H)若 l<m<n<e,证明 mn nm；(皿)函数 g(x) x3 x 2,证明：X1 (1,e), X0 (1,e),使得 g(x°) f(xj 成立.e ( 1»e) » T-1、存在实数x ,使得不等式X 3 X 1解：设f x |x 3 x 1，由x 3f x又 x 3 x 12、已知函数f x, 2f x a 3a4 二 a2ln x 1 ax22a2 3a有解，则实数a的取值范围为 有解，a2 33 f3a 4，解得a 4或

13、a2x a 0存在单调递减区间，求X min1。a的取值范围-丄）Ox-(£专O+O加）扱大值有核值时实敷厲的車值施囲却 "4"） 4分解:因为函数f存在单调递减区间，所以f' x0,有解.即aax2 2x 1x1x1""2xax 2（要证明汨即证明稈Cm*叭也即证明 专（1 »e） *JW F J） -a当>0. /. FGO在（i间上为増晡X < m <*tA 葺晋匸<n". * $分（n）由用（忙）-®i 求导- L令 grM1 嶄禅 « = ±y.令于3

14、«3 -1士卒.1"2x1 1xx 0, 能成立，设u1 2x 2 -x2 x由题设a 0,所以a的取值范围是 1,00,小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当 使用，等价转化，切不可混为一体。 不等式 不等式 不等式 不等式M对x M对x M对xM对x1 得，umin x 1.于是,I时恒成立1时有解I时恒成立I时有解fmax (x) M?，fmin(x)M? xfmin(x) M?， fmax(X)M ， x1,即f x的上界小于或等于 或f x的下界小于或等于即f x的下界大于或等于 或f x的上界大于或等于M ；

15、M -M ；M ；题型六、等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法1 .已知函数f (x) ax ln x,x (1,e),且f (x)有极值（I ）求实数a的取值范围;令（讨3# 7皿鮮唤一咎或八辱"（3匸（£ 2山畑在（1 <）上为单RSJtSft."ff<0 =2店（叭"'"2.ya在y fi叮的值城为f *2."由（I）知/（讨一 =A - ） -i +inr <oAo 1*而/t I） "4 - I、-2肌营）=皿十£ f * 十o）,-*-A-s） > -2.,i二F 7

16、 A -1 4 ln（此 m +It -1 <Op即挥>X - -）,<CO ">）肩（】）勺.»Z,（M + i, -I +lnt -夕”乐-2注八2）*且匕-1 +b（）C（ -24Ga <（1 +e） t e （1 fe） f 使褐 gg）吋J J 成立，4、不等式ax . x 4 x在x 0,3内恒成立，求实数a的取值范围5、已知两函数 f x 7x2 28x c， g x 2x3 4x2 40x。(1) 对任意x 3,3，都有f x g x成立，求实数c的取值范围;(2) 存在x 3,3，使f x g x成立，求实数c的取值范围；(3

17、) 对任意X1,X2 3,3，都有f X, g X2，求实数c的取值范围；(4) 存在"X2 3,3，都有f禺g X2，求实数c的取值范围；课后作业:1、设a 1，若对于任意的x a,2a，都有y a,a2满足方程loga x log a y 3 , 这时a的取值集合为（）（A） a|1 a 2（ B）a|a 2（ C） a|2 a 3（ D） 2,3x y 02、若任意满足x y 5y 3 0的最大值是。0的实数x，y，不等式a(x2y2) (x y)2恒成立，则实数a16、设函数 f (x)- x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R).3(I)求函数f x的单调区间和极值；(H)若对任意的X a 1,a 2,不等式f x| a成立，求a的取值范围3、不等式sin2 x 4sinx 1 a 0有解，则a的取值范围是7、已知A、B、C是直线上的三点，向量OA, OB, OC满足： OA y 2f 1 OB ln x 1 OC 0.(1) 求函数