高职高等数学教案第五章定积分及其应用

1、学习必备欢迎下载第五章定积分及其应用§5-1定积分概念与性质一、两个引例1曲边梯形的面积曲边梯形定义：由直线 x = a, x = b, y = 0 及曲线 y =f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形。求曲边梯形的面积方法：（ 1）分割任取分点 a = x0 < x1 < x2< xn- 1 < xn = b ，把区间 a, b 分成 n 个子区间xi-1, xi (i = 1,2,) ，子区间长度为 D xi = xi - xi- 1 。（ 2）近似在子区间 xi- 1, xi (i = 1,2,) 上任取一点 i( xi - 1 ixi ) ，则小曲边梯

2、形面积可近似表示为 D Ai籇 f (i)xi 。（ 3）求和nn将 n 个小曲边梯形近似面积相加，则曲边梯形面积的近似为A = 邋D Ai?f (i)xi 。i= 1i = 1（ 4）极限时，令 = maxD x1 ,D x2 , ,D xn , ?n当 n ? ?0 ，则 A = lim?0?f (i)D xi。i= 12变速直线运动的路程设物体作直线运动，速度v = v(t ), t ? T1 ,T2 ，求这段时间内物体所经过的路程S。求路程方法：（ 1）分割任取分点 T1 = t0 < t1 < t2< tn- 1 < tn = T2 ，把区间 T1, T2 分

3、成 n 个子区间1, Ti(i = 1,2,) ，子区间长度为 D ti = ti - ti- 1 。Ti-（ 2）近似在子区间 ti-1,ti (i = 1,2,) 中可看做匀速直线运动，则在其上任取一点i(ti - 1 iti ) ，学习必备欢迎下载则在子区间中路程可表示为D Si 籇 v(i)ti 。（ 3）求和将 n 个子区间路程相加，则总路程可近似为（ 4）极限当 n ? ? 时，令 = maxD t1, D t2 ,二、定积分定义nnS=DS?v() t。邋iiii= 1i = 1n,D tn , ? 0 ，则 S = lim?0 ? v(i)D ti 。i= 11. 定义： 设函

4、数 f ( x) 在区间 a,b 上有界，在 a, b 中任意插入若干个分点a = x0 < x1 < x2< xn- 1 < xn = b将区间 a,b分成 n 子小区间 xi- 1 , xi (i = 1,2,) ，各子区间的长度为D xi = xi - xi- 1 ，在每个n子区间上任取一个点i(xi- 1 ixi ) ，作 f (i)D xi 的和式 ? f (i)xi ，i = 1令 = max D x1, D x2 , ,D xn 当 ? 0 时上式极限存在，则称这个极限为函数f ( x) 在区间 a,b 上的定积分，记作bnaf (x) dx = lim?

5、0 ? f (i) xiòi = 1其中 f (x) 为被积函数，f ( x)dx 为被积表达式，x 为积分变量， a 为积分下限， b 为积分上限。bf (x)dx说明：（ 1）由定积分的定义可知：曲边梯形的面积为A = òa变速直线运动的路程为T2S = òT1v(t)dt（ 2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，与区间分法和任取函数值无关，与积分变bbb量的字母选择无关，即蝌a f ( x)dx =a f (t )dt =?af (u) dub（ 3）当 a = b 时， òaf (x)dx = 0学习必备欢迎下载bf (x)dx = -af

6、(x) dx（ 4） 蝌ab2. 定理定理1：设 f (x) 在区间a, b上连续，则f (x) 在a,b上可积。定理 2：设 f (x) 在区间 a,b 上有界，且只存在有限个第一类间断点，则 f ( x) 在 a, b 上可积。3. 几何意义若 f (x) > 0 ，则b；若 f (x) 0 ，则bòaf ( x)dx = Aòa f (x)dx = - A若 f (x) 在区间 a,b 上有正有负，则积分值等于f (x) 在 x 轴上方部分与下方部分面积差。例： 利用定义计算定积分11- x2 dxò0解： 几何上此定积分表示半径为1 的圆第一象限的面

7、积11-x2 dx =因此 ò04三、定积分的性质b()b( )b( )性质1： ( )蝌af x ? g x dxaf x dx ? ?ag x dxbkf (x)dx = kbf (x)dx性质 2： 蝌aabcb性质 3： 蝌af (x)dx =af (x)dx + ?cf (x)dx注： 不论 c 在 a, b 内或外等式均成立性质 4：如果在区间a,b上 f ( x) o1，则bb1蝌adx =adx = b - a性质 5：如果在区间 a,b上 f ( x) 3bf ( x)dx 3bg( x)dxg( x) ，则 蝌aa性质 6：若函数 f ( x) 在区间 a,b上的

8、最大值 M 及最小值 m ，则bm(b - a) òaf (x)dxM (b - a)性质 7( 定积分中值定理) ：如果函数 f (x) 在闭区间 a, b上连续，则在区间a,b 上至少存在一个点bf ( x)dx = f ()(b- a)òa，使得学习必备欢迎下载|b() |b( ) |性质 8：|蝌afx dxaf x dx§5-2微积分基本公式一、积分上限函数及其导数a,b定义： 设函数 f ( x) 在区间上连续，且设x 为a, b上的一点，则函数f ( x) 在子区间学习必备欢迎下载xxa, x上的定积分 òaf ( x)dx 存在，为了方便

9、起见， 将积分变量改写为t ，则定积分为 òaf (t)dt ，记作 (x) ，即( )x( )dt，称为积分上限函数。x = òaft定理： 如果函数 f (x) 在区间a, b( )x( )a,b上连续，则积分上限函数在上有x = òaf t dt导数dxf(t )dt = f ( x), x ? a,b( x) =dx òa说明： (x) 是函数 f ( x)在a, b上的一个原函数例1：求 ( )xln(14 )= òadt的导数x+ tdxln(1+ t4)dt =4)解：òa(x) =dxln(1+ xa例 2：求 (x)

10、 = òsec(t + 1)dt 的导数xdx解：sec(1)sec(1)()= -xdx òat +dt = -x +x2ò0sin tdt例 3：求 limx2x? 0xx2sin tdt(2sin tdt)= lim 2sin x = 1解： lim蝌02= lim02x 0xx 0( x )x02x例 4：求 (x) =xsin t2dt 的导数ò0解：= x2?(?sin xsin t dt x( x)ò0x) x2 x二、牛顿莱布尼茨公式定理： 如果函数 F (x) 是连续函数f ( x) 在区间a,b上的一个原函数，则有bf (x

11、)dx = F (b) -F (a)òa此公式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。学习必备欢迎下载说明： 为方便起见，F (b) - F (a) 也可记为 F ( x) ba ,F (x)ab 。证明： 已知函数 F (x) 是连续函数f ( x) 的一个原函数( )x( )也是 f ( x) 的一个原函数积分上限函数x = òaf t dt则 (x) = F ( x) + C ，则 (b) = F (b) + C , (a) = F ( a) + C所以 (b) - (a) = F (b)-bF (a) ，即òaf ( x)dx = F (b) - F

12、( a)1例 1：求 ò04x3dx13dx = x4 10 = 14 - 04 = 1解： ò04x0 dx例 2：求 ò- 11+ x20dx0解：ò-1 1+ x2= arctan x- 1= arctan0 -arctan(- 1) =4e 1例 3：求 òdx1xe 1e解： ò1xdx = ln | x |1= ln e- ln1 = 11xe例 4：求ò-11+ ex dx1ex11xx11解：蝌-11+ ex dx =- 11+ exd (1+ e ) = ln 1+ e- 1= ln(1 + e) -ln(

13、1+e) = 1ì?2x + 1 x ? 01?x，求f ( x) dx例 5： f ( x) = í?ex < 0ò-1?10x1x0211蝌-1f ( x)dx =- 1?01+ x)= 2 -解：e dx +(2x + 1)dx = e-+ ( x0e学习必备欢迎下载1例 6：求 ò x dx- 110x)dx + ?01x20x2 1解：蝌-1x dx =- 1(-xdx = -+= 12 -12 0例 7：求 ò 1- cos2 xdx- -0解：蝌-2 sin xdx+?01- cos2xdx = -2 sin xdx=02c

14、osx- 2cosx = 4 2-0例 8：求 y = sin x 在 0,上与 x 轴所围成图形的面积解： A=ò0sin xdx = (- cosx) = 20§5-3定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理： 如果函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，函数x = (t ) 满足(1)(t) 在,上有连续导数，且值域不越出a, b学习必备欢迎下载(2) () = a, () = b则有b() ()蝌afdx = f)(dtxtt注： 换元必换限，换元后不必还原。例 1：求4xdxò01+ x解： 令x =t, x = t2 , dx =2tdt

15、x =0,t = 0; x =4, t =24xdx =2(2t -2+2)dt蝌01+x01+ t22=轾- 2t + 2ln(1 + t)= 2ln 3t犏0臌ln 2ex - 1dx例 2：求 ò0解： 令ex -1 = t, x =ln( t2 + 1), dx =t22tdt+ 1x =0,t = 0; x = ln 2, t = 1ln 2x12t211蝌0e-1dx =0t2dt = 2?0(1-2)dt+ 1t+ 1= 2(t -1arctant )0= 2 -2aa2 - x2 dx( a > 0)例 3：求 ò0解： 令 x =a sin t ,

16、dx =a costdtx = 0 ,t = 0 ;x = a , t=2aa2a2 -x2 dx =a22 cos2 tdt =?02 (1+ cos 2t )dt蝌002学习必备欢迎下载a21a2sin 2t2= t +=2204注： 例 3 也可以利用定积分的几何意义求解，此定积分表示半径为a 的圆在第一象限的面积。例 4：求24cos3 x sin xdxò0解：232342蝌04cos x sin xdx = -4cos xd cos x = - cos x= 100注： 换元必换限，凑微分不换限。定理： 如果 f ( x) 在- a,a上连续（ 1）若函数为偶函数，则af

17、 (x)dx = 2af (x)dx蝌-a0（ 2）若函数为奇函数，则af (x)dx = 0ò-a34x sin x注： 利用此定理，可简化奇偶函数在对称区间上的积分，如ò- 3 1+ x2 + x4 dx = 0二、分部积分法 定理： 设函数 u( x), v(x) 在区间a, b上有连续导数u ( x), v ( x) ，由导数公式?可得bbbu vdx，移项可得(uv) = u v + uvuv a = 蝌auv dx +abbbbbb，凑微分可得公式蝌auv dx = uv a -au vdx蝌audv = uv a -avdu此公式为定积分分部积分公式。2例 1

18、：求 ò x cos xdx022解：22蝌0xcos xdx = x sin x-sin xdx =+ cos x=+ 1000221例 2：求 òarcsin xdx0110 -1x解： 蝌arcsin xdx = xarcsin x02dx01-x学习必备欢迎下载1112-2(1- x)= +2 d (1- x22 ò01 12=+ (1- x ) 20= - 1 24例 3：求 ò1e x dx解： 令 x = t ，则 x = t 2 , dx =2tdt ， x = 1,t = 1; x =4,t = 242222蝌1e x dx = 21t

19、et dt = 2蝌1td (et ) = 2(tet )1- 21et dt2t 22= 4e - 2e-2e 1 =2e2sinn xdx例 4：求 I n= ò0I n = -蝌0解：2 sin n- 1 xd (cosx) = - cos x sinn - 1 x 0222 x)sin n- 2 xdx = (n- 1)= (n - 1)蝌0(1- sin+ 2 cosxd sinn- 1 x02 (sin n- 2 x - sinn x)dx022= (n - 1)蝌0sinn - 2 xdx- (n - 1)0sinn xdx则 I n = (n - 1)I n- 2 -

20、 (n - 1)I n ，即 I n = n- 1 I n- 2nI 2k=2k - 1 2k - 32k - 531I 02k鬃2k - 4鬃鬃22k - 242k 2k - 22k - 442I 2k+ 1 =鬃2k - 3鬃鬃I12k + 1 2k - 15322其中 I 0 = ò0dx =，I1=0sin xdx = 12ò综上： I 2k =I 2k+ 1 =2k - 1 2k - 3 2k - 53 1 鬃鬃鬃?2k2k - 2 2k - 44 2 22k 2k - 22k -442鬃2k -3鬃鬃32k + 1 2k - 15注：2n2n2ncos xdx

21、=sin(-x)dx = - ?0sin (-x) d ( - x)蝌00222学习必备欢迎下载0令2nn2n2n-x = t ，则 蝌0cos xdx = - sintdt = 蝌0sintdt =0sinxdx22§5-4反常积分定义： 设函数 f ( x) 在区间 a,+ ?) 上连续，取b > a，极限limb( )称为函数 f ( x) 在òafb?x dx无穷区间 a,+ ?) 上的反常积分，记为+ ?( )limb( )蝌affdx。x dx = b? ?ax若极限存在，则反常积分收敛；若极限不存在，则反常积分发散。f ( x) 在区间 (- ?, b

22、上的反常积分为b()limb()类似，函数蝌-?f x dx = a?af x dx函数 f (x) 在区间 (- ?, ? ) 上的反常积分为+ ?f( )cf(x)dx +?c?f()dx蝌-?x dx =?x+ ?1ò-?例 1：求反常积分1+ x2 dx+ ?1 2+ ?dx = arctan x- ?= limarctanx -limarctanx =-(-) = 解：ò-? 1+ xx? x - ?22学习必备欢迎下载+ ?2xe- x2dx例 2：求反常积分 ò0+ ?- x2?- x22- x2 + ?解：蝌2xe dx = -ed (- x )

23、= -轾犏e00臌0= - ( lim-x2e-1)=1x?§5-5定积分的应用一、定积分微元法求曲边梯形面积：用任意一组分点把区间a, b 分成长度为(i =1,2) 的n各小区间，曲边梯形的被分成 D xi￥n 个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积为D Ai籇 f (i)xi ，总面积为 A 籇 ? f (i)xi ，给i= 1￥b以极限可得 A = lim?0 ? f (i)D xi = òaf ( x)dx 。i= 1定积分微元法：一般地，若某一实际问题中所求量U 满足：1. U 是与一个变量x ? a, b 有关的量学习必备欢迎下载2. U 对于 a,b有可加性3.

24、D U i 的近似可用f (i)D xi 表示则可用定积分来表示U ，步骤为：1.选取一个变量为积分变量，并确定变化区间a, b2.把 a, b分为 n 个小区间，dU = f (x)dxb3. U = ò f ( x)dxa二、直角坐标系下平面图形的面积方法： 1. 由 y = f ( x) ? 0, xa, x = b 及 x 轴所围成图形的面积为bf (x)dxA = òa2.由 y =f (x), y = g ( x)( f ( x) ? g(x) 及 x = a, x = b 所围成图形的面积为bA = ò f (x) - g( x)dxa3.由 x = ( y), x = ( y)( y) ? ( y) 及 y = c, y = d 所围成图形的面积为dA = ò(y)- ( y)dyc例 1：求由 y = x2 , y = 3x 所围成图形的面积解： 图略ì2? y = x