2019秋高中数学第二章平面向量单元评估验收二含解析新人教A版必修4

1、 - 1 - 单元评估验收(二) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1若向量a(2，0)，b(1，1)，则下列结论正确的是( ) Aa·b1 B|a|b| C(ab)b Dab 解析：a·b2，所以A不正确；|a|2，|b| 2，则|a|b|，所以B不正确；ab(1，1)，(ab)·b(1，1)·(1，1)0，所以(ab)b，所以C正确；由于2×10×120，所以a，b不平行，所以D不正确 答案：C 2已知向量a，b不共线，若A

2、B1ab，ACa2b，且A，B，C三点共线，则关于实数1，2一定成立的关系式为( ) A121 B121 C121 D121 解析：因为A，B，C三点共线，所以ABkAC(k0)， 所以1abk(a2b)kak2b. 又a，b不共线，所以?1k，1k2，所以121. 答案：C 3(ABMB)(BOBC)OM化简后等于( ) A.BC B.AB C.AC D.AM 解析：原式ABBOOMMBBCAC. 答案：C 4设非零向量a，b满足|ab|ab|，则( ) Aab B|a|b| Cab D|a|b| 解析：由|ab|ab|，得(ab)2(ab)2， 得a·b0， 又a，b均为非零向量

3、，故ab. - 2 - 答案：A 5已知OA(2，2)，OB(4，1)，OP(x，0)，则当AP·BP最小时，x的值是( ) A3 B3 C1 D1 解析：APOPOA(x2，2)，BPOPOB(x4，1)，AP·BP(x2)(x4)2x26x10(x3)21. 当x3时，AP·BP取到最小值 答案：B 6设点A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，且AD2AB3BC，则点D的坐标为( ) A(2，16) B(2，16) C(4，16) D(2，0) 解析：设D(x，y)，由题意可知AD(x1，y2)，AB(3，1)，BC(1，4)， 所以2AB3BC2(3，1

4、)3(1，4)(3，14) 所以?x13，y214， 所以?x2，y16. 答案：A 7设D为ABC所在平面内一点，BC3CD，则( ) A.AD13AB43AC B.AD13AB43AC C.AD43AB13AC D.AD43AB13AC 解析：ADACCDAC13BCAC13(ACAB)43AC13AB13AB43AC. 答案：A 8在菱形ABCD中，若AC2，则CA·AB等于( ) A2 B2 - 3 - C|AB|cos A D与菱形的边长有关 解析：如图，设对角线AC与BD交于点O，所以ABAOOB. CA·ABCA·(AOOB)20 2. 答案：B 9

5、设D为边长是2的等边ABC所在平面内一点，BC3CD，则AD·AC的值是( ) A.14 3 B14 3 C.43 D4 解析：由BC3CD可得，点D在ABC外，在直线BC上且BD4CD，则|CD|13|BC|23，AD·AC(ACCD)·AC|AC|2|CD|AC|cos 3423×2×1214 3. 答案：A 10在ABC中，AB4，ABC30°，D是边BC上的一点，且AD·ABAD·AC，则AD·AB的值等于( ) A4 B0 C4 D8 解析：因为AD·ABAD·AC， 所以A

6、D·(ABAC)0， 所以AD·CB0，即ADBC. 所以ADB90°， 在RtADB中，B30°， 所以AD12AB2，BAD60°， 所以AD·AB|AD|AB|cos 60°2×4×1 24. 答案：C 11定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令a - 4 - bmqnp.下面说法错误的是( ) A若a与b共线，则ab0 Babba C对任意的R，有(a)b(ab) D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2 解析：根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，

7、所以abmqnp0，所以A正确；因为abmqnp，而banpmq，故二者不相等，所以B错误；对于任意的R，(a)b(ab)mqnp，所以C正确；(ab)2(a·b)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正确 答案：B 12已知A，B，C是锐角ABC的三个内角，向量p(sin A，1)，q(1，cos B)，则p与q的夹角是( ) A锐角 B钝角 C直角 D不确定 解析：因为ABC为锐角三角形，所以AB> 2， 所以A> 2B，且A，B?0， 2， 所以sin A>sin? 2Bcos B，所以p

8、3;qsin Acos B>0，故p，q的夹角为锐角 答案：A 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上) 13已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_ 解析：由题意可得，2×33m0，所以m2. 答案：2 14已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_ 解析：不妨令b(2，0)，a(cos ，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )， 令y|ab|ab| （2cos ）2sin2 （cos 2）2sin2 54cos 54cos ， 则y210 22516cos2.

9、因为2516cos29，25， 所以y216，20 又y0， - 5 - 所以y4， 25 答案：4 25 15若a(2，3)，b(4，7)，ac0，则c在b方向上的投影为_ 解析：ac(2，3)c0，所以c(2，3)， 设c与b夹角为，则c在b方向上的投影为|c|·cos |c|·c·b|c|b |c·b|b | （2，3）·（ 4，7）（4 ）272655. 答案：655 16若两个向量a与b的夹角为，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|a|b|·sin ，若已知|a|1，|b|5，a·b

10、4，则|a×b|_ 解析：由|a|1，|b|5，a·b4得cos 45， 又0，所以sin 35. 由此可得|a×b|1×5×353. 答案：3 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分10分)如图，ABCD是一个梯形，ABCD且|AB|2|CD|，M，N分别是DC，AB的中点，已知ABe1 ，ADe2，试用e1，e2表示下列向量AC，MN. 解：因为ABCD，|AB|2|CD|， 所以AB2DC，DC12AB. (1)ACADDCe212e1. (2)MNMD DAAN 12DCAD12A

11、B - 6 - 14e1e212e1 14e1e2. 18(本小题满分12分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范围 解：|c|2|a2b|2|a|24a·b4|b|2178cos (其中为a与b的夹角) 因为0°<<120°. 所以1 2<cos <1， 所以13<|c|<5， 所以|c|的取值范围为 (13，5) 19(本小题满分12分)如图所示，在ABC中，AQQC，AR13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P . (1)用AB和A

12、C分别表示BQ和CR； (2)如果AIABBQACCR，求实数和的值； (3)确定点P在边BC上的位置 解：(1)由AQ12AC， 可得BQBAAQAB12AC. 因为AR13AB， 所以CRCAARAC13AB. (2)将BQAB12AC，CRAC1 3AB代入AIABBQACCR， - 7 - 则有AB?AB12ACAC?AC13AB， 即(1)AB12AC13AB(1)AC， 所以?113，121，解得?45，35. (3)设BPmBC，APnAI. 由(2)知AI15AB25AC， 所以BPAPABnAIABn?15AB25ACAB2n 5·AC?n51ABmBCmACmAB

13、， 因为AB与AC不共线， 所以?mn51，m2n 5，解得?m23，n53， 所以BP23BC，即BP PC2， 所以点P在BC的三等分点且靠近点C处 20(本小题满分12分)在四边形ABCD中，AB(6，1)，BC(x，y)，CD(2，3)，BCDA. (1)求x与y的关系式； (2)若ACBD，求x、y的值以及四边形ABCD的面积 解：如图所示 - 8 - (1)因为ADABBCCD(x4，y2)，所以DAAD(x4，2y) 又因为BCDA，BC(x，y)， 所以x(2y)(x4)y0，即x2y0. (2)由于ACABBC(x6，y1)， BDBCCD(x2，y3) 因为ACBD，所以A

14、C·BD0， 即(x6)(x2)(y1)(y3)0，又x2y0， 所以y22y30，所以y3或y1. 当y3时，x6， 于是BC(6，3)，AC(0，4)，BD(8，0) 所以|AC|4，|BD|8， 所以S四边形ABCD12|AC|BD|16. 当y1时，x2，于是有BC(2，1)，AC(8，0)，BD(0，4) 所以|AC|8，|BD|4，S四边形ABCD16. 综上可知?x6，y3或?x2，y1， S四边形ABCD16. 21(本小题满分12分)已知a(2xy1，xy2)，b(2，2) (1)当x，y为何值时，a与b共线？ (2)是否存在实数x，y使得ab，且|a|b|？若存在

15、，求出xy的值；若不存在，请说明理由 解：(1)因为a与b共线，所以存在实数，使得ab， 所以?2xy12，xy22， 解得?x13，yR， - 9 - 所以当x13，y为任意实数时，a与b共线 (2)由ab?a·b0?(2xy1)×2(xy2)×(2)0?x2y30. 由|a|b|?(2xy1)2(xy2)28. 联立解得?x1，y1，或?x53，y73， 所以xy1或xy35 9. 所以存在实数x，y，使得ab，且|a|b|， 此时xy1或xy35 9. 22(本小题满分12分)已知三角形ABC是等腰直角三角形，ABC90°，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于点F，连接DF.求证：ADBFDC(用向量方法证明) 证明：如图所示，建立直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则D(0，1) 于是AD(2，1)，AC(2，2) 设F(x，y)，由BFAD， 得BF·AD0， 即(x，y)·(2，1