基本积分方法

1、§基本积分方法、换元积分法换元积分法:第一类换元积分法:第二类换元积分法 1第一类换元积分法:设f(u),(x)为连续函数， (x)可导，且 f (u)du =F(u) C，则f :(x) '(x)dx 二里豆4© f (u)du =F(u) C =F ：(x) C 常见的凑微分形式：1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b)a f(axn b)dx f(axn b)d(axn b)na ' f(ex)exdx= f (ex)d(ex) f (In x) dx = f (ln x)d(ln x)x f (sin x) cosxdx = J f

2、(sin x)d (sin x) f (cosx) sin xdx 二- f (cos x)d (cos x) f (tanxjsec2 xdx 二 f (tanx)d(tanx) f (resin = f f (arcsin x)d(arcsin x)例 2.1 计算 arctanx dx'x2(1 +x2)解：令 arcta nx =t， dx =sec2 tdt，则 arcta n x ,x =x2(1 x2) tan21sec21d -x2苒" dt = t(csc21 -1)dt - - td cott -( tan tsec t22 2t 2t 2-tcott 亠

3、 i cottdt t cott In | sint | C2 2=arcta n xx| x| 1In(arctan x)2 C。例2.2计算下列积分:(1) exln(1 ex) ；(2)cosxdx1 +cosx解：(1), ex ln(1 ex)二 ln(1 ex)d(ex 1)X=ln(1 ex) (ex 1) (ex 1)e一dx=(eX 1)1 n(1 ex) ex C22-sin x-2cosx. 2 dx sin x'1 +ex(2)1 c°sxdx 二7 +COSX'-(1 cosx).丿 dx =(1 cos x)(1 -cosx)d sin x

4、二 2 csc xdx - dx - 22 cot x - xC""sin2xsinx 2 第二类换元积分法:：(t)单调、可导且 (t)=0,又f：(t)：,t)有原函数G(t)。则f (x)dx =f ：(t) '(t)dt 二G(t) C 二 G (x) CX。第二类换元法中常用的变量代换：三角代换：变根式积分 =三角有理式积分 倒数代换x1 :可消去分母中的变量t 指数代换： 适用被积函数由ax或ex构成的代数式。例2.3计算积分dxXXX1 e' e3 e®X解：令 e6 =1 =x = 61 nt, dx =-dtt1663 3t 11

5、 t3 t2 t T " _ (7 一1 t2)dt3=61 nt -3ln |1 t| In(1 t2) -3arctant C X2XX3=x 31 n 11 e6 | ln(1 e3) -3arctane6 Cdx例2.4计算积分.x + “1 x2dxx J -x21 1t In |sint cost | C2 211 2arcsinxIn | x ,1 - x | C22X +1例2.5计算积分-x '$ 2x解：x=si nt C0St dt=J sint cost cost-sint sin t cost 2sint costdtdx x2 -11解：令x=-，

6、则tx 1x x<1dx11 1tJ"t21(一严"八t2,1-t2d(1 t2)dt 22" -t2-arcsint *1 -t2C = _-arcsin1 Cx二、分部积分法分部积分公式:udv =uv - vdu分部积分法条件:选取u, v的原则:u, v具有连续导数。v要易于求出vdu比udv容易求出可用分部积分法求积分的类型:sin axIn x arctanx dx,f ax Je丿sin ax dxcosax dx,Pn(X)丿axiCosaxearccosxJ"JYIIdvdvu(x)u，v可任选JPn(X)u(x)例2.6计算积分

7、xln xdx。2 2xx解：原式=ln xd x 一 ln221x xdx 二22In2例2.7计算积分arctan dx e解:arcta nex2xedTgnexd(e&一arctanex - f 2x(1 2x) e (1 +e )_2xx xxarctane earctane ) C。1 (e2，计算 f (x)dx。例 2.7 设 f (ln x)(1 x)x解：，设 t =ln x，则 x =et,f(t)=叫®。e1 Xdxf (x)dx = ln(1 xe)dx 二一 In(1 ex)d (e)二-eln(1 - ex)-x' 1 + e=-e

8、87;l n(1ex)(1ex)dx = x 一(1e»)ln(1 ex) C。1 - ex三、几种特殊类型的积分:1 有理函数的积分=部分分式之和的积分对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：Adx = Aln | x -a | C x -a(x -a)k(1)Px Qx2 px qdA'(x-a) dx = Pl n(x 2C(x-a)2+ px +q) + 2q _ pP, arctan 2x - p = +c <4q-p2*：4q-p2(4)2Px，Q)k(x p

9、x q)pp-dldt(P)dt2 (t2 a2)k2 - (t2 a2)k其中 t = x 卫；dt=dx；2可以很容易地求出( 2tj 22 k dt(t(t2 a2)k而对于第二个积分式,Pt+(Q(t2 a2'_ p2a q 一 4。4)中的第一个积分为 1。(k -1)(t2 a2)k4我们可以得到递推公式-1 tn 1222na (t a先中说吋C。2n -11- I，其中：11 =2、n2 n1) 2n a【注意】 从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的 特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。例2.8计算积分 丁上5 dx。 x

10、2 6x+131(2x 6)16dx 二2x _62 -2dx =12 x -6x 132 x2 -6x 131dx 822dx(x_3)2 +221 2x 3In(x -6x 13) 4arctanC2例2.9计算下列积分2x31(1) 100dx ;(x 1)1001解：(1)令 X -1 二 1 ,u2x31(2)黑 2 "x(x10 +1)21 贝U dx亍dx，于u原式=金dx 二 u1002(u $31(-，(x1)100u=一丄 u99331；)duf 95/c 3二 - u (3u6u2 6u 2) du697196uu9748369 97-49( x -1)97(x

11、 -1)则 du =10x9dx，于是u 1 -u12du210 u(u 1)210 u(u 1)(1 u)2111小-2du=(l n|u|l n|u+1|+)+C(1 u)10u 1Au98499933(x 1)(2 )令 x101 原式=一-=u ,du10 u(u +1)1 1=10 udu2 三角函数有理式的积分=有理函数的积分由sinx , cosx及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作: R(sin x, cosx)，积分 R(sin x, cosx)dx称为三角函数有理式积分。【解题方法】sinkx 或 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，

12、把分母化成 coskx的单项式，或将分母整个看作一项。 尽量使R(cos x，sin x)的幕降低，常用倍角公式或积化和差公式。 常用积化和差公式：1sin ： xcos : x sinC： T')x sin(:; l- )x21sin txsin : x cos(：£ I jx-cos(:：)x21COS J XCOS : x COS(5 ：上)X cos(： )x2倍角公式：1 2 1 2 1sin xcosxsin 2x , sin x (1 一 cos2x) , cos x (1 cos2x)2 2 2 在积分的过程中注意"1 =sin2 x - cos2

13、x ”的妙用。例2.10计算下列积分(1)3 ； (2)-dx; (3) sin2 xcos4 xdx。' sin x cos x' 1 + cosx解：1sin2 x cos2 x11 +3535533sin xcos x sin xcos x sin xcos x sin xcos x.2 2 . 2 2 sin x cos x sin x cos x33sin xcos x sin xcos x1sin x11+3533sin xcosxcos xsinxcos x sinxcosx2sin x2 sinx cos2 x+353sin xcosxcos xsinxcosx

14、22(sin x cos2x).sin xcosx1- .35.3-sin xcos xcos x sin x sin xcosx2 si nx2si nxcosx1 353cos xsinxcosxcos xsin x sinxcosx2 si nx3si nxcosx=3_5_3cos xsinxcosxcos xsin x故原积分=(冷 3聖竺半皿' cos x sin xcosx cos x sin x$ 3l n| csc2x 一 cot 2x | C4 cos x cos x 2sin xx si n x(2)1 cos xdx 型 dx1 + cosx(3) sin2 x

15、 cos4dx =T +cosx- x. xdx -ln(1 cosx) = xd tan ln(1 cosx)2 x22- tan°dx- ln(1 cosx)2x2lncoslIn(1 cosx) C>1+cos2x 1 丄1 - cos4x(1 cos2x) -8 22 cos=xta n=xta nx2x21 2 'x= sin 2x421(1 cos2x cos4x cos2xcos4x) 16111(1 cos2x -cos4x cos2x cos6x) 1622故 原积分= (1 cos2xcos4x -1 cos2xcos6x)dx16 2 2sin6x

16、 C1921'X sin 2X 丄Sin4x1664643 无理函数的积分二有理函数的积分无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。【解题方法】 利用第二类换元法中的三角代换； 若被积函数含有Tax +b， n；ax + b，可令fax +b =t， ;： ax +b =t ；¥ ex + dH ex + d若被积函数含有 貉x , m'x，可令 仮=t，其中m, n为正整数，p为m, n的最 小公倍数。【注意】无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。例2.11计算积分1 . x 2dxx 2,2(t2 +1) =t= x 厂 t -1解：令

17、4t2原积分=亦dt=2 f'(1 12)(1 +t2)dxy82 dt(t2 -1)2dt2旳 1 t2dt1 -t21 t1 -t-2aretantC=InJ-2)-2areta n 一x2四、分段函数的积分连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。如果分界点是函数的间断点，那么在包含该点的区间内，不存在原函数。 【解题方法】方法一先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数； 由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。 方法二x 利用变上限积分函数，先求出f(x)的一个原函数f(t)dt，则有axf (x)dx = f (t)d

18、t +C'a(注意：方法二省去了确定常数的麻烦)x2, XE0，求sinx, x . 0解法一：由于f (x)在在x=0连续，故 a, 0), (0, + a)内的原函数。例2.12设f (x)=丿f (x)dx。f (x)的原函数存在，因此先分别求出f (x)在(-13x C1, x _ 03-cos x C2, x 0由原函数F(x)的连续性，考虑 F(x)在x= 0处的左、右极限，得F(x) =G = -1 C2 = C2 =1f (x)dx 二 3" C, X E° , C1 二C-cosx 1 C, x 0x解法二：设f (x)的一个原函数为 F(x) f

19、(t)dt，而xfx2dx, x0'f (t)dt =- 1x_0sin xdx, x >00F(x)1 x3, X"3cosx 1, x 0f (x)dx= F (x) +C = <1 3 ,一 x +C, £ 3-cosx 1 C,xZO。x 0例 2.13 求 min1,x2dx。刀2'，解：min1, x =1,x _1x2,-1 ： x ：1x _1由于min1, x2在x= 1, x=1连续，故 min1,焰 的原函数存在，因此先分别求出 min1, x2在(a, 1), ( 1, 1), (1, + a)内的原函数。x +G , x 兰-113x C2, T ： x ： 13x C3, x _ 1由原函数F(x)的连续性，考虑 F(x)在x= 1 , x= 1处的左、右极限，得1lim F(x)工 lim F(x)二 C T 9 -