第10章_数字信号处理中有限字长影响的统计分析

1、第10章 数字信号处理中有限字长 影响的统计分析1 量化误差的统计分析2 量化误差通过LSI系统的统计分析3 IIR系统系数量化对系统性能的影响4 FIR系统系数量化对系统性能的影响5 乘法舍入误差对系统性能影响的统计分析6 DFT运算中舍入误差的统计分析数字系统中误差的来源：（1）模拟信号抽样时有限字长所产生的量化误差；（2） 量化后的信号在离散系统中传递，必然产生量 化误差的积累，将在输出端产生更大的误差。（3） 滤波器系数量化所产生的量化误差必然影响滤 波器的性能；（4）离散系统中加、减和乘法运算将产生舍入误差；（5） DFT是信号处理中最常用的运算，其中包含了 大量的乘法运算，因此DF

2、T中的舍入误差也是 误差的一个重要来源。1.使用高精度（如14bit, 16bit）的A/D转换器，以减轻信号量化时的误差及滤波器系数量化的误差；减轻误差的措施：2. 用长字长的寄存器、加法器、乘法器来完成算术运算及逻辑运算，以减少舍入误差；3. 通过对误差的统计分析，采取更合理的系统结构，以减少量化误差和舍入误差的积累效应。10.1 量化误差的统计分析A/D)(tx)(nx01( )2 ,0,1iiiix n ：表示 为正数。 00( )x n( )x n1( )2 ,0,1iiiix n如果我们能有无穷多位的器件，则可实现 的精确表示，即：实际上：A/D的字长 位，所以2bqb量化步长：若

3、A/D的满刻度量程为 ，则量化步长A2bqA如何用有限位来表示一个二进制数？有截短和舍入两种方式。所谓截短，即是第 位以后的二进制数全部不要；所谓舍入，即是若第位为1，则在第 位加1，否则，第 位以后的二进制数全部不要。1bbbb,RTee现分析的行为:1. 截短：1 ( )( )2iTTii bex nx n 截短误差112 ( )( )()22biRRbii bex nx n 舍入误差1 ( )2biTiix n2. 舍入：11 ( )22bibRibix n1121220012iTii bbbTbbbTeeeq 对截短： 若则取最大值 ； 若则取最小值, 00TTn eqqe对固定的是在

4、之间服从均匀分布的随机变量即:0q( )Tpe1/qTe02q( )RpeRe2q1 q:Re对舍入误差121,0bb如果：/2Req正的最大120,1bb如果：/2Req 负的最大/2/2Rqeq对固定的 服从均匀分布：,Rn en1.,2.,3.,TRTRTRe ee ee e是平稳的服从均匀分布是白噪声序列为便于分析量化误差的行为，通常假定：,( ),( )TRTRe een en为一固定值时：,TRe e为随机变量；0 n 变成随机序列（信号）2222( ):( )1/ ,/2,/12( ):( )1/ ,0,/12TTTTRRRRenpeqqqenpeqq 对对截尾在量化过程中引入了

5、一直流分量舍入优于截尾022022( )d1d/122TTTTTqTTqepeeqeeqq方差的导出：量化误差的数学模型：( )( )( )qx nx ne n理想的A/D( )x n( )qx n( )e n( )x t将上述量化误差模型用于信号抽样的统计分析，可以大致决定量化误差的行为，并帮助确定所用A/D的字长。22SNR10lg10lg/1210lg10.8 10lg210lg10.86 (dB)xxebxxPPPqPqqPbSNR6dBb 每增加一位，增加这样：:SNR0,: 10lg610.8xifthenPb 信号和噪声同功率。如果选 b10；则6b10.8=70dB; 即信号量

6、化的信噪比为70dB。例d = 1.0000 -3.8184 2.4560 - 1.9374 0.8806 - 0.2130 十进制数序列aeq = 1.0000 -3.7500 2.3750 -1.8750 0.8750 -.1875 5bit截尾量化 e = 0 0.0684 -0.0810 0.0624 -0.0056 0.0255 SNR32.1901dB 误差序列aeq = 1.0000 -3.8750 2.5000 -1.9375 0.8750 -0.2188 SNR32.1901dB。5bit舍入量化 在数字音频应用中，设A/D的动态范围 在010V，若希望量化误差的均方根 值小

7、于 ,试决定所要的字长 b 。50Vrms1250Veq10V 2bq 16b 解出：由：15.82b 取例这一结论指出，当采用16bit、满量程为10V的A/D时，由量化误差引起的均方根值小于 。由前面的讨论，量化误差的信噪比等于16696dB。人的耳朵对声音感觉的动态范围大约是100dB。因此，对高质量的音频应用，如VCD，A/D的字长至少要16bit。50V10.2 量化误差通过系统后的统计分析( )( )( ) ( )( )( )qy nx nh nx ne nh n( )y n( )H z( )( )( )qx nx ne n( )( )( )( )( )( )x nh ne nh

8、ny nv n0( )( ) ()kv nh k e nk( ):v n 输入信号量化误差在输出端的反映00( )( ) ()( )veknnEh k e nkh n量化误差在输出端的统计分析：0( )( )2vnqnh n ( )2eqn 0e如果0v则 所以，如果采用截尾量化，在系统的输出端也将产生一个直流分量，其大小和系统的单位抽样响应有关。均值：方差：220000( )( ) ()( ) ()( ) ( )() ()vkmkmE vnEh k e nkh m e nmh k h m E e nk e nm2220( )12vnqh n输入量化噪声在输出端的方差222,20( )vv n

9、neh n归一化输出方差01( )( )( )1MrrrNkkkb zB zH zA za z10.3 IIR系统系数量化对系统性能的影响系统系数量化对系统性能的影响01( )( )( )1MrrrNkkkb zB zH zA za z,kkkrrraaabbb111( )1(1)NNkkikiA za zp z 重点研究系数量化对极点的影响：( )A z( )A z,1,iiipppiN1,1,2,NiikkkppaiNa()111,2,()N kNiikNkilli lpaiNppp 若系统有两个极点靠得很近，那么将产生一个很大的 ，严重时会使极点移到甚至移出单位圆，从而使系统变成不稳定

10、ip对下面的系统，字长分别取4bit和5bit，观察其系数量化对系统性能的影响。例-1-2-3-4-5-1-2-3-4-50.0079+0.0397z +0.0794z +0.0794z +0.0397z +0.0079z( )1.0000-2.2188z +3.0019z -2.4511z +1.2330z -0.3109zH z 0.0079 0.0397 0.0794 0.0794 0.0397 0.0079=1.0000 -2.2188 3.0019 -2.4511 1.2330 -0.3109ba0.4569 j 1.02390.42340.3314 j 0.59994bit量化后的极点：0.2896 j 0.87110.65240.4936 j 0.5675原来的极点： 0.3728 j0.9121,0.5246, 0.4274 j 0