第4章弯曲内力PPT课件

1、一、支座形式与支座约束力 1. 活动铰支座 2. 固定铰支座 3. 固定端 二、梁的类型 1. 简支梁 2. 外伸梁 3. 悬臂梁 第1页/共37页第二节第二节 剪力与弯矩剪力与弯矩 一、剪力和弯矩 1. 梁内力计算:截面法 0:yF AP1Q0yFFFO()0:MF P1A()0yMFxaF x解得： QAP1yFFFAP1()yMF xFxa第2页/共37页2. 剪力、弯矩的正负规定 剪力的正负规定 剪力使研究对象有顺时针转的趋势为正，逆时针转的趋势为负。 弯矩的正负规定 弯矩使研究对象上凹下凸（凹面向上）为正，弯矩使研究对象上凸下凹（凹面向下）为负。 第3页/共37页例：简支梁AB受力如

2、图，求截面D与C上的剪力和弯矩。 解： 求支座约束力，建立平衡方程 B()0:MF A3220yFaqaaMA()0:MF B320yFaqa aM解得： A53yFqa B13yFqa 第4页/共37页 求截面D上的内力0:yF AQD0yFq aFD()0:MF AD02yaFaq aM QDA23yFFq aqa2DA726yaMFaq aqa 作截面D取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程 解得： A53yFqa B13yFqa 第5页/共37页 求截面C上的内力0:yF AQC20yFqaF 左左C()0:MF AC220yFaqa aM左左AQC123yFFqaqa 左左2AC

3、4223yMFaqa aqa左左作截面C取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程解得： A53yFqa B13yFqa 第6页/共37页作截面C取右段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程 BQC0yFF右右BC0yFaM右右BQC13yFFqa 右右2BC13yMFaqa右右 在集中载荷作用处截面的左右边的剪力不同，弯矩相同；在集中力偶作用处截面左右边的弯矩不同，剪力相同。 0:yF C()0:MF 解得： BQC(0)yFF左左BC(0)yFaMM左左BQC1()3yFFqa 左左222BC14()33yMFaMqaqaqa左左A53yFqa B13yFqa 第7页/共37页3. 梁内力计

4、算的简易法 剪力 弯矩 横截面上的剪力等于该截面任一侧梁上所有横向外力的代数和，外力符号同剪力的正负规定。 横截面上的弯矩等于该截面任一侧梁上所有外力（包括力偶）对截面形心之矩的代数和，外力（包括力偶）对截面形心之矩符号同弯矩的正负规定。 ()iMM F QiFF 第8页/共37页例：简支梁AB受力如图，求截面D与C上的剪力和弯矩。 解： 求支座约束力，建立平衡方程 B()0:MF A3220yFaqaaMA()0:MF B320yFaqa aM解得： A53yFqa B13yFqa 第9页/共37页 求截面D、C上的内力QDF DM QCF 左左CM 左左QCF 右右A2yFa AyFByF

5、 23qa q a q a B2yFaAyFa 276qa 2aq a M 2aq a AyFByF 13qa 2qa ByFaA2yFa 243qa M 2qa a AyFq a ByF 13qa ByFaCM 右右213qa 2qa a M A53yFqa B13yFqa 第10页/共37页二、剪力方程和弯矩方程 以横坐标x表示横截面在梁轴线的位置，各横截面上的剪力和弯矩表示为x的函数。 剪力方程 弯矩方程 QQ( )FFx ( )MM x 当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，所以集中载荷处、集中力偶处、分布载荷的起止处均是方程的分段点。 求x截面的剪力、弯矩 第11页/共37页三、

6、剪力图与弯矩图 以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。 建立坐标 F-x 和 M-x 确定各分段点处截面上的剪力、弯矩，标在相应的位置在分段点之间按剪力方程、弯矩方程大致绘出图形标出Fmax和Mmax数值及位置 第12页/共37页 例：图所示简支梁在整个梁上作用有集度为q 的均布载荷。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解： 求支座约束力 AB2yyqlFF 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点） QA( )2yqlFxFqxqx(0)xl2A( )222yxqlxqxM xF xqx(0)xl第13页/共37页 当结构、载荷对称时，剪力图反

7、对称，弯矩图对称。 均布载荷作用范围剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。 当F = 0时，M有极大值或极小值。Q( )2qlFxqx(0)xl2( )22qlxqxM x (0)xl 绘制剪力图和弯矩图 第14页/共37页 例：图所示简支梁在C点受集中力作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解： 求支座约束力 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点） PAyF bFl PByF aFl PQA( )yF bFxFl(0)xaPA( )yF bM xF xxlPQAP( )yF aFxFFl ()axlPAP( )()()yF aM xF xFxalxl(0)xa()axl第

8、15页/共37页 绘制剪力图和弯矩图 (0)xa()axl(0)xa()axlPQ( )F bFxl P( )F bM xxl PQ( )F aFxl P( )()F aM xlxl 在集中力F作用处剪力图发生突变，突变值等于集中力的大小（对于集中力作用处截面剪力必须指明截面的左右）。 在集中力F作用处弯矩图变成尖角，同时有极大值或极小值。 第16页/共37页 例：图所示简支梁在C点受集中力偶M作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解： 求支座约束力 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点） (0)xa()axl(0)xa()axlAyMFl ByMFl QA( )yMFx

9、FlQA( )yMFxFlA( )yMM xF xxlA( )()yMM xF xMxll第17页/共37页 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点） (0)xa()axl(0)xa()axl 绘制剪力图和弯矩图 集中力偶对剪力图无影响。 集中力偶M作用处弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的大小。 Q( )MFxl Q( )MFxl ( )MM xxl ( )()MM xxll第18页/共37页 例：图所示外伸梁上均布载荷为q = 3kN/m，集中力偶矩M = 3kNm。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解： 求支座约束力，取梁为研究对象，建立静力平衡方程 A()0:MF B

10、6160yqMF 0:yF AB60yyFFq 解得： A14.5kNyF .B3 5kNyF 第19页/共37页 剪力方程和弯矩方程 CA段： ()02xQ( )3Fxqxx 221( )1.52M xqxx ()26xAD段： QA( )14.53yFxqxFx 22A1( )(2)1.514.5292yM xqxFxxx ()68xDB段： QB( )3.5yFxF B( )(8)3.528yM xFxx A14.5kNyF .B3 5kNyF 第20页/共37页四、平面刚架的内力图 由在同一平面内不同取向的杆件通过杆端相互刚性连接（刚节点）组成的框架结构。 平面刚架 轴力、剪力和扭矩图

11、正值画在刚架外侧，弯矩图画在杆件受拉的一侧。 轴力、剪力和扭矩的正负号规定与前述相同，弯矩对于刚架无正负规定。 内力的画法 内力正负规定第21页/共37页 例：图所示为下端固定的刚架，在其轴线平面内受集中荷载FP1和FP2作用。试作刚架的内力图。 解：对于水平段将坐标原点取在C点，对于竖直段见坐标原点取在B点。 CB段 BA段 1(0)xa2(0)xlN1()0Fx N2P1()FxF Q1P1()FxF Q2P2()FxF 1P11()M xF x 2P1P22()M xF aF x 第22页/共37页BA段 2(0)xlN1()0Fx N2P1()FxF Q1P1()FxF Q2P2()F

12、xF 1P11()M xF x 2P1P22()M xF aF x CB段 1(0)xa第23页/共37页五、平面曲杆的内力图 轴线为平面曲线的杆件。 平面曲杆 轴力、剪力和扭矩图正值画在曲杆外侧，弯矩图画在杆件受拉的一侧。 轴力、剪力和扭矩的正负号规定与前述相同，曲杆规定使曲杆的曲率增加（曲率半径减小）的弯矩为正 。 内力的画法 内力正负规定第24页/共37页 例：一端固定，轴线为四分之一圆周的曲杆在其轴线平面内受载荷如图所示，试列出此杆的内力方程并作弯矩图。 NP( )sinFF (0)2 QP( )cosFF P( )sinMF R (0)2 (0)2 解：建立极坐标系，取圆心O为极点，

13、OB为极轴， 表示横截面位置。根据平衡方程可得 第25页/共37页第三节第三节 剪力、弯矩与载剪力、弯矩与载 荷集度间的关系荷集度间的关系 一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系 0:yF QQQ( )( )d( )( )d0FxFxFxq xxC()0:MF Qd( )( )d( )( )dd02xM xM xM xFxxq x解得： Qd( )( )dFxq xx Qd( )( )dM xFxx 第26页/共37页 二、利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制剪力图、弯矩图 无均布载荷无均布载荷q = 0 均布载荷均布载荷 q 0集中力集中力F 集中力偶集中力偶M 剪力图剪力图 水平直线水平

14、直线斜直线斜直线剪力图剪力图有突变有突变无特殊无特殊变化变化弯矩图弯矩图 斜直线斜直线二次抛物二次抛物线线弯矩图弯矩图有尖角有尖角弯矩图弯矩图有突变有突变Qd( )( )dFxq xx Qd( )( )dM xFxx 第27页/共37页21Q2Q1()()( )dxxFxFxq xxF 2121Q()()( )dxxM xM xFxxM Qd( )( )dFxq xx Qd( )( )dM xFxx 第28页/共37页例：外伸梁及其所受载荷如图，试作梁的剪力图和弯矩图。 解： 求支座约束力 解得： A()0:MF P1BP284412150yqFMFF 0:yF ABP1P280yyFFqFF

15、 A7kNyF B5kNyF 第29页/共37页A7kNyF B5kNyF 剪力图 AC段： 斜直线 斜直线 CD段： 水平直线 DB段： 水平直线 BE段： QA7kNF QC71 43kNF 左左QC71 421kNF 右右QD71 823kNF QD71 823kNF QB71 823kNF 左左QB2kNF 右右QE2kNF 第30页/共37页A7kNyF B5kNyF 弯矩图 AC段： CD段： 二次抛物线（有极值） 求弯矩极值位置 二次抛物线（无极值） A0M C7 41 4 220kN mM C7 41 4 220kN mM D7 81 8 42 416kN mM 左左143xx

16、 1xm max7 51 5 2.52 120.5kN mM 第31页/共37页BE段： 斜直线 DB段： 斜直线 A7kNyF B5kNyF D2 75 46kN mM 右右B2 36kN mM B2 36kN mM E0M 第32页/共37页例：试作组合梁的剪力图和弯矩图。 解： 求支座约束力 解得： 以CB为研究对象，建立静力平衡方程 C()0:MF B20 3 2.5550yF 以整体为研究对象，建立静力平衡方程 A()0:MF B50 120 3 456.50AyMF 0:yF AB5020 30yyFFA81kNyF B29kNyF A96.5kN mM第33页/共37页 剪力图 AE段： 水平直线 水平直线 ED段： 斜直线 DK段： 水平直线 KB段： QA81kNF QE81kNF 左左QE815031kNF右右QD815031kNFQK815020 329kNF QB29kNF A81kNyF B29kNyF A96.5kN mMQD815031kNFQK815020 329kNF 第34页/共37页 弯矩图 AE段： ED段： 斜直线 A81kNyF B29kNyF A96.5kN