圆的辅助线讲义

1、教育教学讲义学员姓名：年 级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学课时数：2课 题圆的辅助线教学目标圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行. 教学内容课前检测知识梳理1&#

2、160; 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。【例1】如图，已知ABC内接于O，A=45°，BC=2，求O的面积。 【例2】如图，O的直径为10，弦AB8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_【例3】由圆的半径相等，想到：连半径，构造直角三角形或等腰三角形。如图1，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是（ ）图1（A）3cm。（B）2.5

3、cm。 （C）2cm。（D）1cm。练习已知：P是O外一点，PB，PD分别交O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分BPD例1.如图，以RtABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求A的半径。解：过A作AHBD于H，则。BAAC，CAB=AHB=90°。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如图，AB是O的直径,POAB交O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：。证明：过O作OCNP于点C，则。OCNP，POAB，POM=PCO=90°。又OPM=CPO，OPMCPO，即。评析：求解圆中与弦有关

4、的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。* 4 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的同旁.过O作OEAB于E，交CD于F，则AE=AB=3.连结OA、OC.ABCD,OECD于F，则EF是平行弦AB、CD间的距离.在RtOEA中，由OA=5,AE=3得OE=4.同理可得OF=3.EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的两旁.过O点作O

5、EAB于E，延长EO交CD于F.连结OA、OC.ABCD，则EOCD于F.EF是平行弦AB、CD间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.实际应用 如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积.2  遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。【例3】如图，AB是O的直径，AB=4，弦BC=2, B= 巩固 已知:在RtABC中ABC=90&

6、#186;,以AB为直径作O交AC于D，DE切O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.AB是O的直径,ADB=90º，BDC为Rt.又ABC=90º，AB是O的直径，BC切O于点B.又DE切O于D,BE=DE，则BDE=DBE.1+BDE=90º，C+DBE=90 º,1=C，DE=EC.BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.例3.如图，AB为半圆的直径，OHAC于H，BH与OC交于E，若BH=12，求BE的长。解：连结BC。 AB为直径， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC， OHE=CBE，

7、HOE=BCE，OHECBE，。例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CDAB于D, 求证:。证明：连结AC、BC。 AB为直径， ACB=90°，1+2=90°。又CDAB，ADC=CDB=90°，1+3=90°，3=2，BCDCAD，即。评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。3  遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例4】如图，AB、AC是O的的两条弦，

8、BAC=90°，AB=6，AC=8，O的半径是 4  遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例5】如图，弦AB的长等于O的半径，点C在弧AMB上，则C的度数是_.5  遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD例4. 如图4，ABC中，AC=BC，以BC为直径的O交AB于点

9、D，过点D作DEAC于点E，交BC的延长线于点F。图4求证： （1）AD=BD； （2）DF是O的切线。练习 如图，ABC中，C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圆O的半径.例5.如图，已知MN为O的直径，AP是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求A的度数。解：连结OP，设A的度数为x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于点P，APOP，A+POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，A=30°。例6.如

10、图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证1=2。证明：连结OC。DC切O于点C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。  （2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6 遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。【例7】如图所示，已知AB是O的直径，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求证：直线

11、L与O相切。  （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。【例8】如图，ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F 求证：AB是O切线；巩固 例2. 如图2，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB。求证：DE是O的切线。 7  遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例9】如图，P是O外一点，PA

12、、PB分别和O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作O的切线分别交PA、PB于D、E，若PDE的周长为12，则PA长为_8  遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：    内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；    内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，ABC中，A=45°，I是内心，则BIC= 【例11】如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O

13、之间的距离9  遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。 作用：利用切线的性质；    利用解直角三角形的有关知识。11遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质；利用两圆公共的圆周的性质；     垂径定理。典例 已知:O1与O2相交于

14、A、B两点,E为O1上的一点,EF切O1于点E,EA、EB的延长线交O2于C、D两点.求证:EFCD.证明:连结AB，则1=2.四边形ABDC是O2的内接四边形,2=D.1=D.EFCD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.例11.如图，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD。证明：连结AB。 AD为O1的直径，ABD=90°，D+BAD=90°。又C和BAO1都是O2中所对的圆周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90°，CO1AD。例12.如图，O1和O2相交于A、B两点，两圆

15、半径分别为和，公共弦AB的长为12，求O1AO2的度数。解：连结AB、O1O2，使之交于H点。AB为O1与O2的公共弦，连心线O1O2垂直平分AB，O1AH=45°，O2AH=30°，O1AO2=O1AH+O2AH=75°。 评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。12遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质； 切线性质等。巩固 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:APB=CPD.证明:过点P作公切线TP.则APT=D ,B

16、PT=BCP.APB=BPT-APT,CPD=BCP-D,APB=CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.典例 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:APD+BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则BPM=A，CPM=D.APD+A+D=180º,APD+BPM+CPM=180º.BPM+CPM=BPC,APD+BPC=180º.例10.如图，A和B外切于点P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，若A与B的半径分别为r和3r,求：CD的长；B的度数。解：连结AB，连结AC、BD，过

17、点A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切线，C、D为切点，ACCD，BDCD。又AEBD，四边形ACDE为矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60°。13 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。 14遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。 作用：以便利用圆的性质。圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A、B、C在O上（AC不过O点），若ACB=60°,AB=6，