第三多维随机变量及其分布第节PPT课件

1、 设设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x, y，二元函数二元函数)()(),(yYxXPyxF ,yYxXP 称为称为或或。xy(x,y)第1页/共63页,2121yYyxXxP ,22yYxXP ,12yYxXP ,21yYxXP .,11yYxXP ).,(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF xy(x2, y2) (x1, y1) 第2页/共63页(1) F(x, y) 是变量是变量 x, y 的单调不减函数，的单调不减函数，即对于任意固定的即对于任意固定的 y, 当当 x2x1 时时, 有有),(),(12yxFyxF 对于任意固

2、定的对于任意固定的 x, 当当 y2y1 时时, 有有);,(),(12yxFyxF (2)且且, 1),(0 yxF对于任意固定的对于任意固定的 y，有，有, 0),(lim),( yxFyFx对于任意固定的对于任意固定的 x，有，有, 0),(lim),( yxFxFy, 0),(lim),( yxFFyx. 1),(lim),( yxFFyx第3页/共63页(3) F(x, y) 关于关于x 右连续，关于右连续，关于y 也右连续，也右连续，).,()0,(),(), 0(yxFyxFyxFyxF 即即 如二维随机变量如二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有所有可能取的值是有限对或无限可

3、列对，则称限对或无限可列对，则称(X,Y)是是。 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的所有可能取的值为值为), 2 , 1,(),( jiyxji), 2 , 1,(, jipyYxXPijji记记 则称上述一系列等式为二维离散型随机变则称上述一系列等式为二维离散型随机变量量(X,Y)的的， 或随机变量或随机变量X和和Y的的。 显然有：显然有：, 0 ijp. 1 ijijp第4页/共63页随机变量随机变量X和和Y的联合概率分布律也可用表格表示的联合概率分布律也可用表格表示ixxx21XY121111ixppy222122ixppyijjjjxppy21第5页/共63

4、页例例1：设随机变量：设随机变量X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y在在1 X中等可能地取一中等可能地取一整数值。试求整数值。试求(X, Y)的分布律。的分布律。(X, Y)的所有可能的取值为：的所有可能的取值为：X 等可能地取等可能地取1,2,3,4中的一个，中的一个，Y 等可能地取等可能地取1到到 X 之间的整数值。之间的整数值。,jYiXP 且且|iXPiXjYP i1 41 ., 4 , 3 , 2 , 1,41ijii 即可写出对应的概率分布表。即可写出对应的概率分布表。第6页/共63页离散型随机变量离散型随机变量

5、X和和Y的联合分布函数的联合分布函数F(x, y)具具有形式：有形式： xixyjyijpyxF,),(.,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量的分布函数的分布函数 F(x, y), 如果存在非负的函数如果存在非负的函数 f (x, y), 使使得对任意的实数得对任意的实数x, y，有，有 yxdudvvufyxF,),(),(则称则称 (X, Y) 是是，而，而 f (x, y) 称为称为或或。第7页/共63页 , 0),()1( yxf, 1),(),()2( Fdxdyyxf

6、则则连续，连续，在点在点若若),(),()3(yxyxf),(),(2yxfyxyxF (4) 设设 G 是是 xoy 平面上的一个区域，则点平面上的一个区域，则点 (X, Y) 落落 在在G 内的概率内的概率.),(),( GdxdyyxfGYXP第8页/共63页例例2：设连续型二维随机变量：设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为 222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf.0)2(;)1(XYPA 概率概率常数常数求求dxdyyxf ),(1)1(dxdyyxRARyx 22222)( RrdrrRdA020)( ,33RA .33RA 第9页/共63页例例2

7、：设连续型二维随机变量：设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为 222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf.0)2(;)1(XYPA 概率概率常数常数求求xy y=xGG10)2(XYP 概率概率 GdxdyyxfGYXP),(),( 1223)(3GdxdyyxRR RrdrrRdR0403)(3 .81 第10页/共63页第11页/共63页 二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分作为一个整体，具有分布函数布函数F(x, y)。但。但X，Y 都是随机变量，分别也都是随机变量，分别也有自身的分布函数。如将它们分别记为有自身的分布函数。如将它们分别记

8、为),(xFX),(yFY 则依次称为则依次称为。)(xXPxFX , yxXP),( xF同理可得同理可得).,()(yFyFY 第12页/共63页对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X, Y), xixyjyijpyxF,),(因为因为),()( xFxFX所以所以 xixjijp1 xixixXP), 2 , 1(1 ipxXPjiji所以所以), 2 , 1(1 jpyYPiijj同理同理第13页/共63页), 2 , 1(1 ipxXPjiji), 2 , 1(1 jpyYPiijj记记), 2 , 1(1 ixXPppijiji), 2 , 1(1 jyYPppjiijj 分别称

9、上述两式为二维离散型随机变量分别称上述两式为二维离散型随机变量(X, Y)关于关于X和和Y的的。第14页/共63页对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X, Y)，设其概率密度为，设其概率密度为 f (x, y)。),()( xFxFX由由 xdxdyyxf),(知知X是一连续型随机变量，具有概率密度函数为是一连续型随机变量，具有概率密度函数为.),()( dyyxfxfX同理同理, Y也是一连续型随机变量也是一连续型随机变量, 其概率密度函数为其概率密度函数为.),()( dxyxfyfY 它们分别被称为二维连续型随机变量它们分别被称为二维连续型随机变量(X, Y)关关于于X和和Y的

10、的。第15页/共63页例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：求关于求关于 X 和关于和关于Y 的边缘分布律。的边缘分布律。012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211 XY), 2 , 1(1 ixXPppijiji), 2 , 1(1 jyYPppjiijj3/16/12/1 ip3/13/13/1jp 第16页/共63页例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为： 其它其它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf求关于求关于 X 和关于和关于 Y 的边

11、缘分布密度。的边缘分布密度。 dyyxfxfX),()(1y = x xxdyxyxx010)2(8 . 41, 00或或 10)2(4 . 21, 002xxxxx或或第17页/共63页例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为： 其它其它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf求关于求关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布密度。的边缘分布密度。 dxyxfyfY),()(1y = x 110)2(8 . 41, 00yydxxyyy或或 10)2223(8 . 41, 002yyyyyy或或第18页/共63页例例3：设二维连续型随机变量

12、：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且都是常数，都是常数，其中其中),(),(222121 NYX记为记为第19页/共63页),(),(222121 NYX如果如果则可求得则可求得 xexfxX21212)(121)( yeyfxY22222)(221)( 由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖参数一维正态分布，并且都不依赖参数 , 亦即对于给亦即对于给定的定的 不同的不同的

13、 对于不同的二维正态分对于不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。布，但它们的边缘分布却都是一样的。 ,2121 这一事实表明，由联合分布可确定边缘分布，这一事实表明，由联合分布可确定边缘分布，但反之不然。但反之不然。第20页/共63页第21页/共63页 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为), 2 , 1,(, jipyYxXPijji(X,Y)关于关于X 和关于和关于Y 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为), 2 , 1(,1, ippxXPjijii), 2 , 1(,1, jppyYPiijjj第22页/共63页), 2 , 1(|

14、 iyYxXPji即求即求, 0, jp设设jyY 我们来考虑在事件我们来考虑在事件已发生的条件下事件已发生的条件下事件 发生的概率：发生的概率：ixX 显然显然,|jjijiyYPyYxXPyYxXP ), 2 , 1(, ippjji易知，上述条件概率具有分布律的特征：易知，上述条件概率具有分布律的特征：), 2 , 1(, 0|)1( iyYxXPji 1,1|)2(ijjiijippyYxXP 1,1ijijpp. 1 第23页/共63页于是，我们有于是，我们有 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，对固定的是二维离散型随机变量，对固定的 j，, 0 jyYP若若), 2 , 1(|,

15、ippyYxXPjjiji则称则称为在条件为在条件 下随机变量下随机变量X 的的。jyY 同理，对于固定的同理，对于固定的 i，, 0 ixXP若若), 2 , 1(|, jppxXyYPijiij则称则称为在条件为在条件 下随机变量下随机变量Y 的的。ixX 第24页/共63页 现设现设(X,Y)是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量， 这时由于对任意这时由于对任意的的X, Y, 有有 , 0 xXP, 0 yYP 因此不能由因此不能由条件概率公式直接引入条件概率公式直接引入 “条件分布函数条件分布函数”，下面我们，下面我们用极限方式来处理。用极限方式来处理。给定给定 y，设对任意固定的

16、设对任意固定的0 , 0 yYyP于是对任意于是对任意 x ，有，有,| yYyPyYyxXPyYyxXP由此引入下述定义：由此引入下述定义：第25页/共63页给定给定 y，设对任意固定的设对任意固定的0 , 0 yYyP有有且对任意且对任意 x ，极限，极限存在，存在，,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP则称此极限为则称此极限为，|yYxXP 记为记为).|(|yxFYX或或第26页/共63页 设设(X, Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y), 概率密度为概率密度为f (x,y)， 若在点若在点(x,y)处，处， f (x,y)连续，边缘概率密度连续，边缘概率密度 连连

17、续，且续，且)(yfY, 0)( yfY则有则有,lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY /)()(/),(),(lim0yFyFyxFyxFYY dyydFyyxFY)(),( )(),(yfduyufYx .)(),( xYduyfyuf第27页/共63页.)(),()|(| xYYXduyfyufyxF条件概率密度，条件概率密度，的的下随机变量下随机变量为在条件为在条件若记若记XyYyxfYX )|(|则由上式可得则由上式可得.)(),()|(|yfyxfyxfYYX .)(),()|()|(|xfyxfxyfxyFXXYXY

18、 和和同理可定义同理可定义第28页/共63页例例1：设：设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A。若。若二维随机变量二维随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它0),(1),(GyxAyxf则称则称。现设二维随机变。现设二维随机变量量(X, Y)在圆在圆 上服从均匀分布，求条件上服从均匀分布，求条件概率密度概率密度122 yx).|(|yxfYX由假设随机变量由假设随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它011),(22yxyxf 第29页/共63页 其它其它011),(22yxyxf 由假设随机变量由假设随机变量(X, Y)具有概率密度具有概

19、率密度且有边缘概率密度且有边缘概率密度 dxyxfyfY),()( 其它其它011,12121122yydxyy 第30页/共63页 其它其它011),(22yxyxf 其它其它011,121)(21122yydxyfyyY 时有时有于是当于是当11 y 22|1211)/2(/1)|(yyyxfYX 2211yxy 0其它其它第31页/共63页例例2：设二维随机变量：设二维随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它010,|1),(xxyyxf求条件概率密度求条件概率密度).|(|xyfXY dyyxfxfX),()( 101xdyxx其它其它0 其它其它0102xx于是当于是当

20、 0 x 1 时有时有 取其它值取其它值yxyxxfyxfxyfXXY0|21)(),()|(|第32页/共63页第33页/共63页 在这一节中，我们将利用两个事件相互独立在这一节中，我们将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。为此，的概念引出两个随机变量相互独立的概念。为此，我们有：我们有：函数，函数，的分布函数和边缘分布的分布函数和边缘分布量量分别是二维随机变分别是二维随机变设设),()(),(),(YXyFxFyxFYX若对于任若对于任意的意的x, y，有，有,yYPxXPyYxXP ),()(),(yFxFyxFYX 即即则称则称。第34页/共63页对于二维离散型随

21、机变量对于二维离散型随机变量(X,Y)，X 和和 Y 是相互独立的充要条件是：是相互独立的充要条件是：,jijiyYPxXPyYxXP ), 2 , 1(, ipppjiji即即012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211 XY3/16/12/1 ip3/13/13/1jp 例例1：设：设(X,Y)的分布律为：的分布律为：X 与与Y 不独立。不独立。第35页/共63页对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X,Y)，X 和和 Y 是相互独立的充要条件是：是相互独立的充要条件是：).)( )(),( yYxyxXdyyfdxxfdxdyyxf即即),()()

22、,(yFxFyxFYX 两边对两边对x, y 求二阶混合偏导数，得：求二阶混合偏导数，得：),()(),(yfxfyxfYX 续点处成立。续点处成立。的一切连的一切连这一等式只须在这一等式只须在)(),(),(yfxfyxfYX第36页/共63页例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为： 其它其它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf前面已求得关于前面已求得关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布密度为的边缘分布密度为 10)2(4 . 21, 00)(2xxxxxxfX或或 10)2223(8 . 41, 00)(2yyyyyyyfY或

23、或第37页/共63页 其它其它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf 10)2(4 . 21, 00)(2xxxxxxfX或或 10)2223(8 . 41, 00)(2yyyyyyyfY或或)41,21(取点取点,59)41,21( f则则,109)21( Xf,8099)41( Yf)41()21()41,21(YXfff 因为因为所以所以 X 与与Y 不独立。不独立。第38页/共63页例例3：二维正态随机变量：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf. 11, 0, 0,

24、212121 且且都是常数，都是常数，其中其中第39页/共63页则可求得则可求得 xexfxX21212)(121)( yeyfxY22222)(221)( 2)(2)(21exp21)()(2222212121 xxyfxfYX，因此，如果因此，如果0 ),()(),(,yfxfyxfyxYX 有有则对于所有则对于所有即即X和和Y相互独立。相互独立。第40页/共63页反之，反之，如果如果X和和Y相互独立，相互独立，,)(),(),(都是连续函数都是连续函数由于由于yfxfyxfYX),()(),(,yfxfyxfyxYX 有有故对于所有的故对于所有的,21 yx特别，令特别，令则从上述等式可

25、得：则从上述等式可得：,2112121221 . 0 从而从而对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y)，X和和Y相互独立的充要条件是：相互独立的充要条件是：. 0 参数参数第41页/共63页例例4：设：设X和和Y是相互独立的随机变量，其概率密度是相互独立的随机变量，其概率密度分别为：分别为： , 00, 0)(xxexfxX , 00, 0)(yyeyfyY YXYXZ当当当当是常数。引入随机变量是常数。引入随机变量其中其中010, 0 的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。求求求条件概率密度求条件概率密度ZyxfYX)2();|()1(|第42页/共63页)()(),()1(yf

26、xfyxfYX 其它其它00, 0 yxeyx 时时当当0 y)(),()|(|yfyxfyxfYYX , 00, 0 xxex 1)2(YXPZP yxdxdyyxf),( Ayxdxdye A xyxdxdyedx 0 第43页/共63页0YXPZP 11YXP 所以所以 Z 的分布律为的分布律为 kpZ10 Z 的分布函数为的分布函数为 111000)(zzzzFZ 第44页/共63页第45页/共63页1. 离散型的情形：离散型的情形：例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为6/26/126/26/1110XY求随机变量求随机变量 Z =

27、X+Y 的的分布律。分布律。Z = X+Y 的可能取的值为的可能取的值为 1, 2, 3,11 YXPZP且且1, 0 YXP, 6/1 22 YXPZP1, 12, 0 YXPYXP, 2/16/26/1 第46页/共63页例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为6/26/126/26/1110XY求随机变量求随机变量 Z = X+Y 的的分布律。分布律。Z = X+Y 的可能取的值为的可能取的值为 1, 2, 3,11 YXPZP且且1, 0 YXP, 6/1 22 YXPZP1, 12, 0 YXPYXP, 2/16/26/1 33 YXP

28、ZP2, 1 YXP. 3/16/2 所以随机变量所以随机变量 Z = X+Y的分布律为的分布律为3/12/16/1321kpZ第47页/共63页2. 连续型的情形：连续型的情形：的分布函数为的分布函数为则则，的概率密度为的概率密度为设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf),(xyx+y=z dydxyxfyz),(yux dyduyyufz),(uyz zdudyyyuf),(所以所以 Z 的概率密度为的概率密度为.),()( dyyyzfzfZ第48页/共63页所以所以 Z 的概率密度为的概率密度为.),()(

29、 dyyyzfzfZ由由 X, Y 的对称性，的对称性，)(zfZ又可写成又可写成.),()( dxxzxfzfZ 特别地，当特别地，当 X 和和 Y 相互独立时，设相互独立时，设 (X, Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为),(),(yfxfYX则上式分别可化为则上式分别可化为.)()()( dyyfyzfzfYXZ.)()()( dxxzfxfzfYXZ或或记为记为).()(yfxfYX ).()()(yfxfzfYXZ 即即第49页/共63页例例2：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们是两个相互独立的随机变量，它们都服从都服从N(0, 1)分布，其概率密

30、度为分布，其概率密度为 xexfxX2221)( yeyfyY2221)( 求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。.)()()( dxxzfxfzfYXZ dxeexzx2)(22221 dxeezxz22)2(421 第50页/共63页 dxeezfzxzZ22)2(421)( 2zxt dteetz22421 4221ze4221ze 即即 Z 服从服从N(0, 2)分布。分布。同理可证，如同理可证，如X和和Y相互独立，且相互独立，且),(211 NX),(222 NY).,(222121 NYXZ则则更一般地，利用数学归纳法可证：更一般地，利用数学归纳法可证：相互独立，且相互独立

31、，且如如nXXX,21),(2iiiNX ).,(1211 niiniiniiNXZ 则则第51页/共63页例例3：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，且是两个相互独立的随机变量，且 xexfxX2221)( 即即 其它其它即即021)(bybbyfY求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。),(2 NX上均匀分布，上均匀分布，服从服从),(bbY )()()(yfxfzfYXZ dyyfyzfYX)()( bbyzdybe212122)(21 第52页/共63页 bbyzZdybezf2121)(22)(21 bbyzdyeb22)(21221 tyz bzbztdteb22221

32、)()(21 bzbzb第53页/共63页例例4：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，其概率是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为密度分别为,0101)( 其它其它xxfX求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。,00)( 其它其它yeyfyY.)()()( dyyfyzfzfYXZ 010yyz 01yzyz,0)1(时时 z yyzyz01. 0)( zfZy0zz -1第54页/共63页,10)2(时时 zzyyzyz 001 zyZdyezf01)(y0 zz -1.1ze ,1)3(时时 zzyzyzyz 101y0zz -1 zzyZdyezf11)(.)1(zee 第55页/共63页 0)(zfZ0 zze 110 zzee )1(1 z设设X和和Y是两个相互独立