什么是贝叶斯推理

1、什么是贝叶斯推理 , 贝叶斯定理2007年09月29日 星期六 上午 08:22人们根据不确定性信息作出推理和决策需要对各种结论的概率作出估计， 这类推 理称为概率推理。 概率推理既是概率学和逻辑学的研究对象， 也是心理学的研究 对象，但研究的角度是不同的。 概率学和逻辑学研究的是客观概率推算的公式或 规则；而心理学研究人们主观概率估计的认知加工过程规律。 贝叶斯推理的问题 是条件概率推理问题， 这一领域的探讨对揭示人们对概率信息的认知加工过程与 规律、指导人们进行有效的学习和判断决策都具有十分重要的理论意义和实践意 义。1 什么是贝叶斯推理早在18世纪，英国学者贝叶斯(17021761)曾提

2、出计算条件概率的公式用 来解决如下一类问题：假设 H,1,H,2, 互斥且构成一个完全事件，已知它们 的概率P(H,i,i=1,2,，现观察到某事件 A与H,1,H,2,相伴随而出现，且已知条件概率P(A/H,i)，求P(H,i/A)。贝叶斯公式(发表于1763年)为: P(H,i/A)=P(H,i)P(A/H,i)/P(H,1)P(A/H,1)P(H,2)P(A/H,2),这就是著名的“贝叶斯定理”，一些文献中把 P(H,1) 、P(H,2) 称为基 础概率， P(A/H,1) 为击中率， P(A/H,2) 为误报率1 。现举一个心理学研究 中常被引用的例子来说明:参加常规检查的 40岁的妇

3、女患乳腺癌的概率是 1%。如果一个妇女有乳腺癌， 则她有80%勺概率将接受早期胸部肿瘤 X射线检查。如果一个妇女没有患乳腺癌， 也有9.6%的概率将接受早期胸部肿瘤X射线测定法检查。在这一年龄群的常规 检查中某妇女接受了早期胸部肿瘤 X射线测定法检查。问她实际患乳腺癌的概率 是多大？ 2设H,1=乳腺癌，H,2=非乳腺癌，A=早期胸部肿瘤X射线检查(以下 简称“X射线检查”)，已知P(H,1)=1%,P(H,2)=99%,P(A/H,1)=80%,P(A/H,2)=9.6% ，求 P(H,1/A) 。根据贝叶斯定理， P(H,1/A)=(1%)(80%)/(1%)(80%) (99%)(9.6

4、%)=0.078心理学家所关心的是， 一个不懂贝叶斯原理的人对上述问题进行直觉推理时 的情形是怎样的， 并将他们的判断结果与贝叶斯公式计算的结果做比较来研究推 理过程的规律。因此有关这类问题的推理被称为贝叶斯推理。2 贝叶斯推理研究概况2.1 基础概率忽略现象的发现与争论Kahnema和Tversky开辟了概率推理这一重要的研究领域。他们在20世纪70年代初期的研究首先发现，人们的直觉概率推理并不遵循贝叶斯原理，表现 在判断中往往忽略问题中的基础概率信息， 而主要根据击中率信息作出判断。 他 们一个经典性的研究 3 是:告知被试 100人中有 70人是律师， 30人是工程师， 从中随机选出一人

5、， 当把该人的个性特征描述得象工程师时， 被试判断该人为工 程师的概率接近 0.90。显然被试忽略了工程师的基础概率只有30%。后来他们还采用多种问题验证基础概率忽略现象 4 ，如让被试解决如下出租车问题:一个 城市 85%的出租车属于绿车公司， 15%属于蓝车公司，现有一出租车卷入肇事逃 逸事件，根据一目击者确认，肇事车属于蓝车公司，目击者的可靠性为80%。问肇事车是蓝车的概率是多少。结果大多数被试判断为80%，但如果考虑基础概率则应是 41%。 HAO37 这一研究结果引发了 20世纪 70年代以来的大量研究。有研究支持其结论， 如Eddy用前述乳腺癌问题让内科医生判断，结果 95%勺人判

6、断介于70%-80% 远高于7.8%2。Casscells等人的研究结果表明，即使哈佛医学院的工作人员 对解决如乳腺癌和与之相类似勺问题都出现同样勺偏差 5 。但也有研究发现，在许多条件下，被试对基础概率的反应是敏感的。例如， 如果问题的措辞强调要理解基础概率与判断的相关性 6 或强调事件是随机抽样 的7 ，则基础概率忽略现象就会减少或消除。另一个引人注意的是 Gigerenzer 和 Hoffrage1995 年的研究，他们强调概率信息形式对概率判断的影响。采用 15 个类似前述乳腺癌的文本问题进行了实验， 问题的概率信息用两种形式呈现， 一 种沿用标准概率形式（百分数）；一种用自然数表示的

7、频率形式，如“ 1000名 妇女中有10名患有乳腺癌，在患有乳腺癌的妇女中 8名妇女接受早期胸部X射 线测定法检查，在没有患乳腺癌的 990名妇女中有95名接受早期胸部X射线测 定法检查”。结果在频率形式条件下，接近 50%的判断符合贝叶斯算法，而在标 准概率条件下只有 20%的判断符合贝叶斯算法 8 。而另一些研究者对此也提出异议，有人认为他们在改变信息形式的操作中， 同时也改变了其他的变量。如 Lewis 和 Keren9 提出这种概率信息的改变使原 来的一般性问题变成了当前单个情境的具体问题， 因而问题变得容易， 被试判断 的改善不能说明他们的计算与贝叶斯计算一致。另外Fiedler认为

8、10，他们进行频率形式的操作为所有数据提供了一个共同的参照尺度即所有数据都是 相对于总体（ 1000名妇女）而言的，依靠它所有的数据变得容易比较。很明显， 接受X射线检查并患乳腺癌的妇女的数量（8）与接受X射线检查并无乳腺癌的妇 女的数量（95）相比或与接受X射线检查的妇女总数（103）相比都是非常小的。相 反，在标准概率条件下，没有共同的参照尺度，表面上击中率（80%）远高于误报率（9.6%），但它们是相对于大小不同的亚样本， 而不是相对于总体， 不能在同一 尺度上进行数量比较。于是他们用 4 个问题进行了 2（数据比较尺度：共同尺度 /非共同尺度）X 2 （数据形式：标准概率/频率）的被试

9、间设计，实验结果表 明：不管采用哪一种数据形式， 被试在非共同参照尺度条件下， 判断准确性都低， 在共同参照尺度下，判断准确性高。所以判断准确性与数据形式无关。 WWW.HAO37.NET可见，人们在概率判断中忽略基础概率是不是一种普遍现象， 不同的研究之 间存在较大分歧。 这将促使研究者们采用各种方法对人们的概率判断推理过程进 行更深入的探讨。2.2 贝叶斯推理问题的研究范式为了探讨上述问题， 人们采用了不同的研究范式。 从已有的研究看， 贝叶斯 推理的研究范式主要有两种，一种是文本范式，一种是经验范式。文本范式是实验中的问题以文本的形式直接提供各事件的基础概率和击中 率、误报率等信息， 让

10、被试对某一出现的事件作出概率大小的判断。 如前述的乳 腺癌问题，工程师问题，出租车问题等的研究就是采用这一范式。然而，在实际生活中， 人们进行概率判断需要从自己经历过的事件中搜集信 息，而不是像文本范式那样被动得到这些信息。 经验范式便克服了文本范式的这 一缺陷。经验范式就是在实验中让被试通过经历事件过程， 主动搜集信息来获得 基础概率、击中率和误报率等各种情况的信息，然后作出概率判断。例如，Lovett和Schunn11为了探讨基础概率信息和特殊信息对被试解决 问题策略的影响，利用建筑棒任务 （Building Stick Task,BST） 进行了实验设计。 对于一个给定的BST问题来说，

11、计算机屏幕下方提供3条不同长度（长、中、短） 的建筑棒并在上方显示一条一定长度的目标棒， 要求被试用建筑棒通过加法 （中 棒短棒） 策略或减法（长中或短棒） 策略制造目标棒。 被试只能凭视觉估计 每条棒的长度， 迫使他们不能用代数方法而只能用策略尝试来解决问题。 基础概 率是两种策略解决问题的基本成功率； 特殊信息是建筑棒与目标棒的接近类型对 选择策略的暗示性和所选策略成功的预见性： 长棒接近目标棒则暗示使用减法策 略，中棒接近目标棒则暗示使用加法策略， 如果暗示性策略成功表明该策略具有 预见性， 否则为非预见性。 问题设计时， 在 200个任务中控制两种策略基本成功 率（偏向：一策略高（如

12、70%），另一策略低（如 30%）；无偏向： 两策略各 50%） 和暗示性策略对成功预见性的比例 （有预见性： 暗示性和非暗示性策略成功率分 别为 80%和 20%；无预见性：暗示性和非暗示性策略成功率各 50%）。研究者对 被试在尝试上述任务前后分别用 10个建筑棒任务进行了测试，发现被试在尝试 前主要根据特殊信息选择策略， 在尝试后主要依据两种策略的基本成功率信息选 择策略。说明人们在尝试 200个任务后对尝试中的基础概率信息的反映是敏感 的。 免费论文集经验范式的优点在于， 实验操作过程非常接近人们在日常生活中获得概率信 息以作出判断的情况， 较为真实地反映了人们实际的表征信息和作出概率

13、判断的 过程。所以许多研究者采用了这一范式 12-14 。但研究范式的变化并没有能消除前述的争论， 在不同的研究范式下都存在人 们对基础概率信息的忽略或敏感现象， 并出现了各种对基础概率信息忽略或敏感 现象进行解释的理论。3 几种主要理论如前所述， 人们进行概率判断时， 在一些条件下忽略基础概率， 在另一些条 件下并没有忽略基础概率。 那么，人们是如何作出判断的呢？哪些因素在影响人 们的概率推理呢？对此，不同的研究者提出了不同的观点。3.1 启发法策略论Kahnema和Tversky认为人们直觉的概率推理受认知策略的影响，这是一 种依赖于经验的判断或猜测。 所以，经常会作出错误的判断。 主要的

14、认知策略包 括“代表性启发法”和“可得性启发法”。代表性启发法是指人们倾向于根据样本是否代表或类似总体来判断其出现 的概率， 愈有代表性的， 被判断为出现的概率愈大， 愈少代表性的被判断为出现 的概率愈小。例如，在他们的研究中， 要求被试估计某城市有 6个孩子的家庭中， 男（B）女（G）儿童出生顺序为GBGBB和BGBBBB B代表男孩，G代表女孩）的比 例，结果大多数被试估计前者远高于后者 3 。因为前者更能代表整个人口中的 比例，其次它看起来更随机。但从机会来说，两者的概率应是相等的。可得性启发法是指人们倾向于根据某现象在知觉或记忆中容易得到的事例 来估计其出现是概率，如他们在实验中要求被

15、试估计英语中以字母R、 L、 N、 K、V开头的单词数和以它们为第三个字母的单词数，结果绝大部分被试估计前者远多于后者 15 。但实际上前者是的基础比例远低于后者的基础比例。 判断错误的 原因在于人们更容易回忆出以这些字母开头的单词， 而不容易回忆起它们在中间 位置的单词。这与人们的记忆组织有关。3.2 自然抽样空间假说Gavanski 等 16 认为判断一个事件出现的概率时，人们从什么范围抽取一 样本有一种自然的抽样倾向， 他们称之为“自然抽样空间”， 如果直接从自然的 抽样空间中抽取的样本对判断事件的概率是无偏差的， 则被试容易作出准确的判 断；但若要求被试从非自然抽样空间中抽样才能正确判

16、断事件的概率， 则被试容 易作出错误的判断。 如前述乳腺癌问题， 被试从患乳腺癌的人群中抽样来判断接 受 X 射线检查的概率较为自然， 因为被试更容易认为患乳腺癌的人要接受 X 射线 检查。但实验任务是要求从接受 X 射线的人群中抽样来判断患乳腺癌的概率， 这 与被试的自然抽样方向相反， 导致被试对问题进行了错误的表征， 对照贝叶斯公 式，被试的错误是把 P（H,1/A ）表征为 P（A/H,1） ，刚好与问题的要求相反， 从而作出了错误的判断。3.3 频率效应论Gigerenzer 和 Hoffrage8 同意自然抽样的观点， 但他们所指的“自然”是 人们加工概率信息的自然方式， 认为人们是

17、通过事件的频率而不是标准概率 （百 分数） 来获得环境信息的， 虽然两种信息形式的意义相同， 但人们对具有同等意 义的不同外部信息形式会产生不同的心理表征。 他从进化论的角度出发认为， 人 类进行概率推理已经进化了一种认知算法规则系统， 它不适合加工以百分数表示 的标准概率信息， 而适合加工以自然数表示的频率信息， 因为标准概率是在概率 论发展以后才被人们认识的， 而频率在人类进化的早期就被认识了， 所以人们对 事件的频率容易编码而且几乎是自动的， 而对标准概率难于编码。 因此， 它们预 言当问题的陈述从标准概率形式转变为频率形式时， 对条件概率的直觉推理会得 到显著改善， 并在前述的他们的实

18、验中得到了支持。 如果被试在判断中是忽略基 础概率的， 那么在标准概率改为频率形式时也应表现出来， 但他们的实验表明加 工频率信息的被试判断的准确性明显高于加工标准概率信息的被试。 然而，正如 前面所述，他们的结论也受到其他研究的挑战。3.4 抽样加工理论Fiedler10 认为对概率判断最根本的影响既不是抽样方向也不是概率信息 形式，而是抽取不同样本所得的数据需要进行不同的认知加工。 概率判断中的认 知加工分为两个过程， 一是归纳加工过程， 即利用记忆中或知觉到的样本进行的 概率估计，如旅行前根据自己的经验估计某个地区为晴天或雨天的概率。然而， 由于受许多主观 （如个人偏好、 期望等） 和客

19、观条件（如过去的经验是在一定时 空下获得的） 的限制，根据可利用的样本来估计概率会存在许多潜在的偏差， 所 以，要作出正确的判断就必须调整抽样过程中潜在的偏差， 这是一个元认知控制 过程，通过它， 不同来源的样本得到整合并运用于最后的概率判断， 这需要运用 大量基于规则的元认知操作， 包括使用逻辑规则、 概率演算、 统计学知识或元认 知知识。 如变换在不同尺度上估计的数量、 颠倒条件概率、 对来源于有偏差的样 本进行矫正等。HAO37 判断者之所以忽略基础概率而不遵循贝叶斯原理， 是因为他们缺乏元认知手 段，不能调整在抽样过程中潜在的偏差。 为验证此结论，他们用 4 个问题（在此 仅以乳腺癌为

20、例）在计算机上设计了 A、B 两种卡片盒，分别让两组被试自己搜 索信息，告知被试 A 卡片盒的每张卡片正面标明是否患有乳腺癌的案例， 背面告 知是否参加X射线检查，B卡片盒中每张卡片的正面和背面与前一个卡片盒的卡 片内容相反， 设计时设定基础概率、 击中率和误报率。 屏幕的左边行显示正面内 容，右边小窗口显示反面内容，被试点击左边行后才出现右边窗口的反馈信息， 确认后左边行变成灰色， 右边窗口消失。 信息搜索完毕时， 屏幕底部显示一刻度 尺，用于被试标示判断接受X射线检查的妇女患乳腺癌的概率。 这样，看A卡片 盒的被试明显觉得乳腺癌的击中率高， 非乳腺癌的击中率低， 但做判断时需要进 行问题角

21、度的转换；而看B卡片盒的被试明显了解到接受X射线检查的妇女中患 乳腺癌的案例很少，并可直接运用于问题判断。结果表明：从B卡片盒获取信息 的被试判断准确性高，从A卡片盒获取的被试判断准确性低。 从而验证了他们的 结论。4 小结贝叶斯推理在过去近30年中得到了较为广泛的研究，特别自 Kahnemar和 Tversky 发现人们直觉的概率判断忽略基础概率现象以来， 出现了许多理论和研 究方法的更新， 这些都深化了对这一问题的研究。 这些研究既揭示了人们概率估 计中常见的认知错误， 也为人们进行贝叶斯推理至少提供了以下启示： 首先，必 须注意事件的基础概率， 基础概率小的事件， 即使某种击中率较高，

22、其出现的总 概率仍然是较小的。 如现实生活中中奖的机会等就是小概率事件。 其次， 应该对 信息的外部表征作理性的分析， 不应受一些表面特征所迷惑。 如击中率的高低并 不决定该事件出现概率的高低。 第三，不能过分相信经验策略 (如代表性启发和 可得性启发)。虽然经验策略有时能减轻人们的认知负荷并导致正确的概率估计， 但也在许多情况下会误导我们的判断。 如不要因为舆论经常宣传癌症对人们生命 的威胁就认为癌症致死的概率比心脏病致死的概率更高。 当然，贝叶斯推理问题 仍然值得做更进一步的研究， 如人们对概率信息的内部加工过程及其特点， 对基 础概率、击中率或误报率的敏感或忽略及其所依存的条件以及研究方

23、法和手段的 改进等。§3.3 条件概率及全概率公式3.3.1.对任意两个事件A、B,是否恒有P(A)> P(A|B).答：不是.有人以为附加了一个B已发生的条件，就必然缩小了样本空间 也就缩小了概率,从而就一定有P(A)> P(A|B),这种猜测是错误的.事实上, 可能P(A) > P(A|B),也可能P(A)< P(A|B),下面举例说明.在0,1, , ,9 这十个数字中 , 任意抽取一个数字 ,令A=抽到一数字是3的倍数;Bi=抽到一数字是偶数；B2=抽到一数字大于8,那么P(A)=3/10, P(A|Bi)=1/5, P(A|B2)=1.因此有 P(A

24、) > P(A|Bi), P(A)V P(A|B2).3. 3. 2.以下两个定义是否是等价的.定义1.若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A、B相互独立. 定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互 独立答：不是的因为条件概率的定义为P(A|B)=P(AB)/P(B)或 P(B|A)=P(AB)/P(A)自然要求P(A)工0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件，也就是 说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上, 若P(A)=0由0 < P(AB) < P(A)=0 可知

25、 P(AB)=0 故P(AB)=P(A)P(B).因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1,但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.3. 3. 3.对任意事件A、B,是否都有P(AB)< P(A) < P(A+B)< P(A)+P(B).答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(*)因为 P(AB)> 0,故P(A+B) < P(A)+P(B).由 P(AB)=P(A)P(B|A),因为 0W P(B|A)< 1,故 P(AB)< P(A);同理 P(AB)< P(B), 从而 P(B)-P(AB

26、)> 0,由(*)知 P(A+B) > P(A).原命题得证.3. 3. 4.在引入条件概率的讨论中，曾出现过三个概率：P(A|B), P(BA), P(AB).从事件的角度去考察，在A、B相容的情况下，它们都是下图中标有阴 影的部分，然而从概率计算的角度看，它们却是不同的.这 究竟是为什么？答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别P(A|B)的计算基于附加样本空间 Qb； P(BA)的计算基于附加样本空间 Qa； P(AB)的计算基于原有样本空间Q.3. 3. 5.在n个事件的乘法公式:P(AiA2, An)=P(Ai)P(A2Al)P(A3|AiA2), P(An|Ai

27、A2, An-l)中,涉及那么多条件概率,为什么在给出上述乘法公式时只提及P(AiA2,An-1)>0 呢？答：按条件概率的本意,应要求P(Ai)>0, P(AiA2)>0, , , P(AiA2, An-2)>0,P(AiA2, An-l)>0.事头上，由于 A1A2A3, An-2 _ A1A2A3, An-2An-1,从而便有 P(AiA2 , An-2) P(AiA2, An-1)>0.这样,除P(AiA2, An-1)>0作为题设外,其余条件概率所要 求的正概率，如P(AiA2, An-2) >0, , , P(AiA2) >0,

28、 P(Ai)>0便是题设条件 P(AiA2, An-1)>0 的自然结论了 .3.3.6.计算P(B)时，如果事件B的表达式中有积又有和,是否就必定要用 全概率公式.答：不是.这是对全概率公式的形式主义的认识，完全把它作为一个”公 式”来理解是不对的.其实，我们没有必要去背这个公式，应着眼于使之满足Ai,A2, ,An的结构.事实上,对于具体问题,若能设出n个事件Ai,(*)就可得沪BQ二跚+地+地(*)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.因此，能否使用全概率公式，关键在于(*)式，而要有(*)式，关键又 在于适当地对Q进行一个分割，即有(*)式.3. 3. 7.设P(A)工0

29、, P(B)工0,因为有(1) 若 A、B互不相容，则A、B 一定不独立.(2) 若 A、B独立，则A、B 一定不互不相容.故既不互不相容又不独立的事件是不存在的.上述结论是否正确.答：不正确.原命题中的结论(1)(2)都是正确的.但是由(1)(2)(它们互为 逆否命题,有其一就可以了)只能推出在P(A)工0, P(B)工0的前提下，事件A、 B既互不相容又独立是不存在的，并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是 不存在的”.事实上，恰恰相反，既不互不相容又不独立的事件组是存在的， 下面举一例.5个乒乓球(4新1旧),每次取一个,无放回抽取三次,记Ai=第i次取到新球,i=1,2, 3.因为是

30、无放回抽取,故Ai、A2、A互相不独立,又AiAeA3=三次都取到新球, 显然是可能发生的,即Ai、A2、A3可能同时发 生, 因此Ai、A2、A3不互不相容3. 3. 8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系？事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系？答：“对立”与“互不相容”区别和联系，从它们的定义看是十分清楚的， 大体上可由如下的命题概括：“对立” 一“互不相容”，反之未必成立.至于“独立”与“互不相容”的区别和联系，并非一目 了然事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事 件的关系，丝毫未涉及它们的概率，其关系可借助图直观显 示.事件的独立性是由概率表

31、述的,即当存在概率关系P(A|B)=P(A )或 P(B|A)=P(B)时，称A、B是相互独立的.它们的联系可由下述命题概括：对于两个非不可能事件A、B,则有“A、 B互不相容”-“A、B不独立”.其等价命题是：在P(A)>0与P(B)>0下，则有“ A、B独立”A、B不互不相容”(相容).注意,上述命题的逆命题不成立.3.3.9.设A、B为两个事件，若0<P(A)<1,0<P(B)<1.(*)则A、B相互独立,A、B互不相容,.：1 - .,这三种情形中的任何 两种不能同时成立.答：在条件(*)下当A、B相互独立时，有 P(AB)=P(A)P(B);当A、

32、B互不相容时，有 P(AB)<P(A)P(B);当上匚二:二上时，有 P(AB)>P(A)P(B).在条件(*)下，上述三式中的任何两个不能同时成立.因此，A、B相互独 立，A、B互不相容，丄:二三圧宀二二这三种情形中的任何两种不能同时成立.此结论表明：在条件(*)下，若两个事件相互独立时，必不互不相容，也不 一个包含另一个，而只能是相容了 .3.3. 10.证明：若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立.答：若 P(A)=O,又 ”口 二竄, 故 OW P(AB)W P(A)=O. 于是 P(AB)=O=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.若 P(A)=

33、1,则 M."ij-1'l.由前面所证知，与任何事件B相互独立再由事件独立性的性质知, 丿与B相互独立,即A与B相互独立.另种方法证明：由P(A)=1知 进而有 P(AB = 0 .又+二且AB与山，互不相容,故PP3)=哂=P(屈)+ 翻 =F的.即A与B相互独立.3.3.11.设A、B是两个基本事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,- - -I - -:,问事件 A 与 B是什么关系？解1由已知条件.< = .' i.:厂可得3 _ * .由比例性质，得p)=迥+ D = F所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.解

34、2由，-7i,- JI 得-； -| .因而-KJ.又二二-，所以 P(BA)=P(B).因此事件A与B相互独立3.3.12是不是无论什么情况，小概率事件决不会成为必然事件答：不是的.我们可以证明，随机试验中，若A为小概率事件，不妨设 P(A)= (0< £< 1为不论多么小的实数),只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早要发生的概率为1.事实上,设Ak=A在第k次试验中发生,则P(Ak)=i | - .,在 前n次试验中A都不发生的概率为：于是在前n次试验中，A至少发生一次的概率为p/FOV 4+&)十昭)诃.如果把试验一次接一次地做下去,即让nx,由于o< < 1,则当nx 时，有Pn 1.以上事实在生活中是常见的，例如在森林中吸烟，一次引起火灾的可能性 是很小的，但如果很多人这样做，则迟早会引起火灾.3.3. 13.只要不是重复试验,小概率事件就可以忽视.答：不正确.小概率事件可不可以忽视，要由事件的性质来决定，例如在森 林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的，但火柴有1%勺可能性擦不 燃是不必在意的.3. 3. 14.重复试验一定是独立试验,理由是：既然是重复试验就是说