初中数学九年级《垂直于弦的直径》教学设计

1、垂直于弦的直径教学设计一、教学目标（一）知识技能1知道圆是轴对称图形，能说出它的对称轴；知道圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。2掌握垂径定理，并会用符号表示垂径定理。（二）数学思考1通过垂径定理探索它的推论，初步体会“分类讨论”的数学思想。2通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，感受数学思考的条理性，发展数形结合思想。（三）解决问题1让学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，获得解决数学题的经验和方法，能够利用垂径定理及推论解决简单的问题。2通过推论的拓展，形成解决问题的一些基本策略，发展学生用数学的意识；培养学生“方程的观点”以及识别基本图形的能力。（四）情感态度通过探究垂径定理及其推论的

2、活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质，培养学生观察能力、好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心。二、教学重点探索垂径定理及其推论，并能正确运用它们解决问题。三、教学难点垂径定理推论的探索及应用。四、教学方法自主探究合作交流五、教学媒体多媒体六、教学过程活动一问题1，圆是轴对称图形吗：是中心对称图形吗？（类比思想）设计意图：可请一位学生演示：沿着圆形纸片的任一条直径对折，直径两侧的两个半圆会怎样？从而得出：圆是轴对称图形，且有无数条对称轴任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。让学生把一个圆形纸片绕圆心旋转180°后与原来的圆重合，说明圆是

3、中心对称图形，圆心是对称中心。（注意：其实圆绕它的圆心旋转任意角度都能与原来的圆重合，所以是特殊的中心对称图形，它的特殊性是具有旋转不变性）这一性质后面将会用到。问题2，利用轴对称图形的性质探究，如图：在o中，cd是直径，ab是弦，且cdab，你在圆中能找出哪些相等的量？并证明。说出你猜想的结论。（分组讨论，小组代表叙述结论） 教师重点关注：学生对轴对称图形性质的应用是否熟练，适当的进行复习巩固。 设计意图： （1）这样设计是想通过学生对图形的观察和对条件的分析，自己推测可能得到的结论，培养学生的观察能力和直觉的猜想能力。（2）由于学生思维的差异，各人猜想得出的结论会不同，也不一定全面，教师要

4、认同这样的差异，保护学生的积极性。（3）在学生猜对了全部结论后，师生再共同研究证明方法，（大屏幕投影已知、求证、证明全过程）由教师板书已知、求证和证明。（4）引导学生归纳结论，得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平这条弦所对的两条弧。几何语言为cd为直径，cdab。cd平分弦ab、cd平分弧ab、cd平分弧acb。问题3，请画图说明垂径定理的条件和结论，（学生自己画）并判断下列图形是否符合垂径定理的基本要求。教师重点关注：学生对垂径定理的理解是否全面、到位。设计意图：1让学生自己画图，分清垂径定理的条件和结论，有利于学生清楚地认识该定理的条件和结论。条件是：cd为直径，cdab。 结论是

5、：cd平分弦ab、cd平分弧ab 、cd平分弧acb。2认识定理中的垂径，可以是直径、半径、过圆心且垂直于弦的直线或线段。活动二问题4，引申思考：垂径定理可以改述为：一条直线满足条件：1过圆心，2垂直于弦，则可以推出结论3平分弦所对的优弧，4平分弦所对的劣弧，5平分弦。对于一个圆和一条直线来说，如果以1，2，3，4，5五个条件中的任意两个作为题设那么其它三个就都是结论，这样我们能得到9个推论都是正确的。本教材只介绍了一个推论即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。即由1，3推出2，4，5。说明：这里对“弦”限制不能去掉，否则该结论不成立。大家都知道两条直径一定互相平分，但

6、不一定垂直。师生共同讨论、证明，大屏幕投影已知、求证、证明全过程或由教师板书已知、求证和证明。设计意图：这套教材削弱了对几何证明的要求，所以推出格式没有给出，其它几个推论也没有拓展出来，只作简单说明而已，大屏幕投影给出推论的几可语言。活动三问题5，现在我们用垂径定理解决本节前面提出的求赵州桥桥拱半径的问题。学生思考：1如何把实际图形转换成几何图形。2利用垂径定理构建什么直角三角形？应用八年级所学的什么定理？应用什么思想来解决这个问题？解决问题：如图，用弧acb表示桥拱，设弧acb所在圆的圆心为o，半径为r，连结ab，弦ab的长即为桥的跨度。 想一想：如何确定拱高（弧的中点到弦的距离） 即过圆心

7、作弦ab的垂线oc，垂足为d， oc与弧ab相交于点c， 则d是ab的中点，c是弧ab中点，cd即为拱高，然后利用勾股定理列出关于半径r的方程即可解决问题。设计意图：在本次活动中教师应关注：1学生能否正确的绘出几何图形，连出相关的线段。2学生能否正确的使用垂径定理做出恰当的辅助线，找出相关的量。3学生能否把垂径定理和勾股定理结合起来，得到半径r，圆心到弦的距离d和弦长a之间的关系：r2 =d2 +()2 ,据此关系式在a、r、d三个量中，已知任意两个可以求出第三个量，这就是十分重要的方程思想。4利用所学的数学知识，解决生活中的实际问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段，即

8、培养学生用数学知识解决实际问题的能力，树立了学生学好数学的信心。问题6，判断1平分弦的直径垂直于弦（ ） 2平分弦的直径平分弦所对的两条弧（ ）小马利用垂径定理的推论认为这两句话是正确的。聪明的同学，你能告诉他究竟错在哪里吗？同桌讨论：教师可提示将被平分的弦进行分类：它为直径；它为非直径。设计意图：通过替人排忧解难，强化“推论”中对“弦”的限制条件不能丢失。问题7，课本30页练习12在o中，弦ab的长为8cm，半径r为5cm，e为弦ab的中点，求圆心o到弦ab的距离。教师重点关注：学生能否熟练应用垂径定理及其推论。设计意图：对学生进行推理训练，让学生明白解决问题要有依据，进一步提高学生的逻辑思

9、维能力和几何语言表达能力，然后通过变式训练加深对新知识的理解，培养学生分析、探究问题的能力。问题8，课本30页练习2。教师重点关注：学生对矩形的证明思路是否明确。设计意图：加强知识间联系，达到复习巩固的目的。活动四拓广探索：ab、cd为o的两条平行弦，o的半径为5cm，ab=8cm，cd=6cm，求ab、cd间的距离。学生试着自己完成。然后教师展示部分学生答案，加以订正，最后教师给出图形和完整解题过程。教师重点关注：学生能否将本题分为两种情况来解决。设计意图：培养学生用所学知识解决问题的能力，强化训练分类讨论的数学思想，使学生养成仔细审题、考虑问题全面的良好学习品质和个性思维品质，进一步提高学生自身的素质。七、小结这节课你有哪些收获？有何体会？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。教师重点关注：1学生的归纳总结能力。2能否对问题有进一步的思考。3