集合中元素的个数

1、阅读材料阅读材料 集合中元素的个数集合中元素的个数例例1 1 学校先举办了一次田径运动会，某班有学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个班有班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？赛？分析：分析：设设A为田径运动会参赛的学生的集合，为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合。那么为球类运动会参赛的学生的集合。那么AB就就是两次运动会都参赛的学生的集合。是两次运动会都参赛的学生的集合。试

2、分析试分析 AB、 A、B、AB中元素个数的关系中元素个数的关系.解：设解：设A=田径运动会参赛的学生田径运动会参赛的学生， B=球类运动会参赛的学生球类运动会参赛的学生，那么，那么，AB=两次运动会都参赛的学生两次运动会都参赛的学生，AB=参赛的学生参赛的学生。 card（AB）= card（A）+ card（B）card（AB）=8+123=17。答：两次运动会中，这个班共有答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛名同学参赛。)3(BA)5(AB)9(用图来求解用图来求解 ：例例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的物理课外小组的

3、人数的2倍，同时参加两个课外倍，同时参加两个课外小组的人数是小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组人，至少参加一个课外活动小组的人数为的人数为25人人.试求参加数学小组、物理小组的试求参加数学小组、物理小组的人数各是多少？人数各是多少？参加数学小组参加数学小组20人，参加物理小组人，参加物理小组10人人.card（AB）= card（A）+ card（B）card（AB）即即 25=2x+x-5 x=10card（AB）= card（A）+ card（B）card（AB）能否推广？试写出三个集合类似公式能否推广？试写出三个集合类似公式.例例3. 某校高三学生共某校高三学生共249人，毕业考

4、试成绩优秀的人，毕业考试成绩优秀的人数及科目如下表人数及科目如下表;科目数 单科 两科 三科 科目 语 数 外 语数 数外 语外 语数外 人数 131 117 152 61 79 62 53 表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科优秀者里也包括两科以上的优秀者。优秀者里也包括两科以上的优秀者。有人说上面的统计表有误，你认为呢？有人说上面的统计表有误，你认为呢？由统计表计算高三年级共有由统计表计算高三年级共有131+117+152-61-79-62+53=251(人人)，所以统计表有误，所以统计表有误.例例4. 在在100个学生中，有美术爱好者个学生

5、中，有美术爱好者63人，音乐人，音乐爱好者爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术人（并非每个学生都有爱好），对美术和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？最多最多63人，最少人，最少38人人.中元素有多少个？,.5 , 4 , 3 , 2 , 1Z问题的提出：问题的提出：无限集中元素的个数？！无限集中元素的个数？！中元素有多少个？R中元素的个数？集合,.5 , 4 , 3 , 2A是不是所有的无限集都有相同的个数呢？是不是所有的无限集都有相同的个数呢？1.无限无限（1）初识无限）初识无限（2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？在有限集

6、中，如何比较元素个数的多少？ 理解无限的关键理解无限的关键一一对应一一对应（3）无限集中元素的个数）无限集中元素的个数基数基数与此相关的一个定义：与此相关的一个定义：若在一个集合与全体正整数集合之间若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。存在一一对应，则称这个集合是可数的。（4）几个令人吃惊的例子）几个令人吃惊的例子 的基数相同吗？与,.5 , 4 , 3 , 2,.5 , 4 , 3 , 2 , 1Z全体正整数和全体有理数一样多吗？全体正整数和全体有理数一样多吗？全体正整数和全体整数一样多吗？全体正整数和全体整数一样多吗？部分整体？！部分整体？！（5）问题的提出）

7、问题的提出是不是所有的无限集都有相同的基数呢？是不是所有的无限集都有相同的基数呢？康托在康托在1973年年11月月29日给戴德金的信中提出：日给戴德金的信中提出：一对应的关系？之间是否存在着一个一和RZ11月月29日日12月月7日，康托给无限的理论奠定了日，康托给无限的理论奠定了基础。他创造了一种适用于无限集的新数体基础。他创造了一种适用于无限集的新数体系系超限数，以解决无限集的基数比较问题。超限数，以解决无限集的基数比较问题。实数集（实数集（0，1）是不可数的。）是不可数的。无理数集是不可数的（有理数集可数）。无理数集是不可数的（有理数集可数）。是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？是不是还

8、存在数量上多于实数集的集合呢？实数集是不可数的实数集是不可数的 。.,.5 , 4 , 3 , 2 , 10第一个数的基数被称作超限数的Z11实数、一直线上的点、平面上的点实数、一直线上的点、平面上的点及高维空间的任一部分的点的基数。及高维空间的任一部分的点的基数。若在一个集合与全体正整数集合之间存在一若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。一对应，则称这个集合是可数的。“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于数学中的无穷无尽，其诱人之处在于它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的理论之花。理论之花。”E.Kasner and J.Newman集合

9、论危机重重：集合论危机重重：2.罗素悖论罗素悖论 大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们称之为称之为“普通的普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，。有许多集可能包含它自身为元素，例如集例如集S定义如下：定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是定义的集合是S的元素。的元素。”可以看到，可以看到，S是包含它自身是包含它自身为一元素的。这样的集我们称之为为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集非普通集”。我们。我们考查考查“所有普通集组成的集所有普通集组成的集”，称它为，称它为C。那么。那么C本身本身是普通集还是非普

10、通集？如果是普通集还是非普通集？如果C是普通集，由于是普通集，由于C定义定义为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。这样的话，这样的话，C必须是非普通集。这是一个矛盾。因此必须是非普通集。这是一个矛盾。因此C必须是非普通集，但这时必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集包含了一个非普通集（即（即C本身）为其元素，这与本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义只包含普通集的定义相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在，的存在，就已经使我们陷入矛盾。就已经使我们陷入矛盾。罗素的理发师悖论罗素的理发师悖论其他

11、一些悖论其他一些悖论（1）芝诺悖论）芝诺悖论 1）二分法悖论）二分法悖论 2）阿基里斯和乌龟）阿基里斯和乌龟代数悖论：代数悖论：数理逻辑诞生 数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反

12、映了代数学作为普遍科数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。没有系统地发展这种思想。 现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种一种“通用代数通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这正

13、是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。影响不大。 真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出年出版了版了逻辑的数学分析逻辑的数学分析，给出了现代所谓的，给出了现代所谓的“布尔代数布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，物的类，1

14、表示全类，表示全类，0表示空类；表示空类；xy表示表示x和和y的共同分子所的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；组成的类，运算是逻辑乘法；xy表示表示x和和y两类所合成的类，两类所合成的类，运算是逻辑加法。运算是逻辑加法。 布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是不是类而是命题，则类而是命题，则x1表示的是命题表示的是命题 x为真，为真，x0表示命题表示命题x为假，为假，1x表示表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。非数值运算的推广非数值运算的推广 集合运算集合运算 语句运算语句运算康托的最大基数悖论、布拉里康托的最大基数悖论、布拉里.福蒂悖论、福蒂悖论、罗素悖论，动摇了整个数学的基础。罗素悖论，动摇了整个数学的基础。给数学提供一个可靠的基础：给数学提供一个