九年级二次函数与数形结合重点题---附答案

1、第十四讲数形结合问题【典型例题1】A(3,0),交y轴于点B.结PA, PB,当P点运动到出P点的坐标；若不存在,如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点(1)求抛物线和直线 AB的表达式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连 顶点C时，求 CAB的铅垂高CD及SAB ;9(3) 否存在点 P,使Sxpab= S；ACAB),右存在，求8请说明理由.解：(1)设抛物线的表达式为y1 =a(x1)2 +4。把A (3,0)代入表达式，求得 a = -1o所以 y1 =-(x1)2+4 = x2 +2x+3。设直线AB的表达式为 y =kx + b。由y1 = -x2 +2x

2、 +3求得B点的坐标为(0,3)把 A(3,0), B(0,3)代入 y2 =kx+b 中，解得 k=1,b=3。所以 y2 = x +3。(2)因为C点坐标为(1,4),所以当x= 1时，y1 = 4, y2=2。所以 CD= 4-2 = 2。c1S&AB =2父3父2 =3(平方单位)。(3)假设存在符合条件的点 P,设P点的横坐标为x, 4PAB的铅垂高为h,22则 h=y1y2=(x +2x+3) (x+3) = x +3x。，一 9m 1-2-9 八由 S*APAB= SCAB,信 一M 3 M ( x + 3x) = - M 3。828化简得 4x212x+9=0。.一 3

3、解得 x =一。2将 x = 3 代入 y1 = -x2 + 2x + 3 中，2.1, .3 15解得P点坐标为(3,15)。2 4【知识点】抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。【基本习题限时训练】PAB的面积等于()1 .已知点A的坐标为(0, 3),点B与点A关于原点对称，点 P的坐标为(4, 3),那么 (A) 6; (B) 9; (C) 12; (D) 24。答案：Co2 .已知抛物线y=3x2 +bx+c的顶点坐标为(-1, 2),那么这条抛物线的表达式为(22_(A)y =3x+6x+5;(B)y =3x_6x+5;(C)y =3x2+6x+

4、1 ；(D)y =3x26x+1。答案：Ao3.已知直线y=3x+b经过点A (3, 3),并与x轴交于点B,点C在x轴的正半轴上，且/ 4的横坐标为()(A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 6。答案：Bo【典型例题2】ABC=Z ACB,那么点 C如图，在平面直角坐标系中， 点C(3, 0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度 动，连结AP,设4ABP的面积为S,点P的运动时间 解析式；(3)在(2)的条件下，是否存在点 巳 使以点A, AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不解：(1 ). VO

5、B2 -3 + OA-1 =0 ,Job2-3+ oa-1 = 0.沿线段CB由C向B运 为t秒，求S与t的函数B, P为顶点的三角形与 存在，请说明理由.2_OB 3=0,OA-1 =0.OB =B OA = 1 .点A,点B分别在x轴，y轴的正半轴上，A (1, 0), B (0, J3).(2)由(1)得 AC=4, AB =.12 +(拘2 =2, BC="32+(V3)2 =26AB2 +BC2 =22 + (262 =16 = AC2 .ABC为直角三角形， /ABC =90，. .S=-(2/3-t)M2=2j3-1 (0wtv2V3).2(3)存在，满足条件的的有两个

6、.P(-3,0), P2i【知识点】非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。 【基本习题限时训练】1.已知|a -b +3 +vb+T =0,那么ab的值等于()(A) 4； (B) -4； (C) 1; (D) - o44答案：Do2.在直角坐标系中，直线 y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在线段AB上, 点C到原点的距离等于()AO8 ABO,那么(A) 1; (B) 1痣；(C) 2庶；(D) 土弗。 555答案：DoBC和BA运动，点M的运动速度为每3.在矩形ABCD中，AB=12, BC=16,点M和点N同时从点B出发，分别沿边秒4厘米，点N的运动速度为每秒

7、 3厘米，设运动的时间为t,那么当 MNC成为等腰三角形时,t的值等于(127(A) 16; (B) 16 ; (C)(D)973答案：Ao【典型例题3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形,AD=6,如果OA、OB的长是关于x的一元二次方程OA OB.2_ 一 一.x 7x+12=0的两个根，且(1)求 sin/ABC 的值.如果E为x轴上的点，且Szxaoe =16,求经过3D、判断zAOE与ADAO是否相似?解：(1)解 x2 7x+12 =0得 x1 =4, x2：OA OB, OA=4, OB =3。在 RtAAOBE两点的直线的表达式，并AB = JOA2+OB2

8、=5。.sin ABCOA "AB(2) .点 E 在 x 轴上，SAaoe1631 八八-AO OE216o3由已知可知D (6, 4)。设 yDE =kx +b,当 E 18 ,0 I 时有34 = 6k b0 =8k +bk=6解得b5165616yDE=5x-g。同理E 1 -8,0 3，yDE9x生。1313OE在 4AOE 中，/AOE =90°, OA=4,在 AAOD 中，Z OAD=90° , OA=4, AD=6。OA ADOE=OA, .AOEszXDAO。【知识点】锐角的三角比，解一元二次方程，直线表达式的求法，相似三角形的判定和性质，勾股

9、定理，菱形的定义和判定。【基本习题限时训练】21 .方程X2 5x6=0的解是（）(A) 2 或-3; (B) -2 或 3; (C) 1 或-6; (D) -1 或 6。答案：Do2.在 ABC中，AB=13, BC=12,AC=5,那么/ A的正切值等于（512（A）行；（B）三；（C）13，(D)12133答案：Bo3.如果菱形的一条对角线与边长都等于6厘米，那么这个菱形的面积等于（y = a'x2+b'x + c',抛物线F与x轴的另一个交点为C.(A) 9 后(B) 12J3； (C) 18*”；(D) 2473 0答案：Co【典型例题4】如图，抛物线F： y

10、=ax2 +bx+c的顶点为P,抛物线F与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD±x轴于点D,平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F':（1）当a = 1, b= -2 , c = 3时，求点C的坐标；（2）若 a、b、c满足了 b2 =2ac.求b ： b'的值； 探究四边形OABC的形状，并说明理由.解：（1）由条件，得y =（x1）2 +2 , .点P的坐标点D的坐标为（1,0）。抛物线F'的表达式为y =x2 +b'x+3 ,b' = -4。，抛物线F'的表达式为y =x2 -4x+3。.C的坐标为（3, 0）。（2）

11、由题意，得点 P的横坐标为 上。2a.PDx轴于D, 点D的坐标为（一-b-,0）.2a根据题意，得a=a' , c= c' , .抛物线F'的表达式为y=ax2+b'x+c.又.抛物线 F'经过点 D (2,0),0=aMbv+b'(2)+c .2a4a2 2a0 =b2 -2bb' 4ac又 b2 =2ac,0=3b2 -2bb'.b:b' =2 .由得，抛物线 F'为y =ax2 +3bx +c .23 一令 y=0,贝U ax2 +-bx +c =0 .2bb x1 = , x2 = 2aabb点D的横坐标

12、为 ，,点C的坐标为（,0）.2aa2_b2 =2ac,24ac - b 4ac - 2ac 2ac c= ?4a4a 4a 2.点P的坐标为(一包,c).2a 2设直线OP的解析式为y=kx.2.cb,ac2acbbb一一=k , k = = -= = , y = x .22ab2b2b22点B是抛物线F与直线OP的交点，ax2 +bx+c = -x.2bb, x2 =-2aa点p的横坐标为一2, .点b的横坐标为一B . 2aa2bb/曰b, b、 b把 x =_ 代入 y = _ x,得 y = _(_)= -a22 a 2a2ac c -2a点B的坐标为（_b ,c）.aBC/ OA,

13、 BC =OA四边形OABC是平行四边形.又AOC=90°, .四边形 OABC是矩形.【知识点】平移的概念，抛物线的顶点坐标，抛物线的与 【基本习题限时训练】x轴和y轴的交点坐标，平行四边形和矩形的判定。1.如果把抛物线y=x2进行平移，得到图像的表达式为y = x2 -2x+4,那么下列移动方法正确的是（(A)(B)(C)(D)答案:向右平移 向右平移 向左平移 向左平移Ao1个单位，向上平移 3个单位，向上平移 1个单位，向上平移 3个单位，向上平移3个单位;1个单位;3个单位;1个单位。A和点B （点B在点A的右侧），与y轴交于点C,顶点为D,那么/CBD的度数为（）（A）

14、30 度；（B） 45 度；（C） 60 度；（D） 90 度。答案：Do3.已知在等腰梯形 ABCD中，AD/ BC,点A的坐标为 么四边形OABC的形状是（）（-3, 0）,点B的坐标为（0, 4）,点D的坐标为（6, 0）,那（A）矩形；（B）菱形；（C）平行四边形；（D）梯形。答案：Co【典型例题5】已知抛物线y2x -2x +a ( a <0)y轴相交于点A,顶点为M .直线ya分别与x轴，y轴相交于B, C两点，并且与直线 AM相交于点N .(1)填空：试用含a的代数式分别表示点与N的坐标，则M)，N()；(2)如图，将ANAC沿y轴翻折，若点轴交于点D ,连结CD,求a的值

15、和四边形ADCN的面积;(3)在抛物线y=x22x+a (a<0)上是否存在一点 P,使顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在,41斛：(1) M(1, a 1 y N a, a 33的对应点N恰好落*yCN' xBAM在抛物线上,得以P, A试说明理由.AN与x(2 )由题意得点N与点N '关于y轴对称第(2)题.N -a,-a将N '的坐标代入y = x2八1-2x +a得a 316 2=a98+-a +a, 39二ai =0 (不合题意，舍去)，a2二 一4，点N到y轴的距离为3.，二直线AN'的解析式为y = x-9,4它与x轴

16、的交点为D处,0 I：.点D到y轴的距离为-. 44S四边形 ADCN - SAACNSA ACD9 9 1892 22 2 416(3)当点P在y轴的左侧时，若 ACPN是平行四边形，则 PN平行且等于 AC ,，代入抛物线的解析式,J.把N向上平移-2a个单位得到P ,坐标为14 a, -7 a33得-7a = a2 -8a 393二阚=0 (不舍题意，舍去)当点P在y轴的右侧时，若 APCN是平行四边形，则 AC与PN互相平分, , OA=OC, OP =ON .二P与N关于原点对称,41P -a,-a将P点坐标代入抛物线解析式得16 2二a9二a1 =0 (不合题意，舍去)，a21581 7，存在这样的点P1.，.,2 8?F2i5,_5 i,能使得以P, A C, N为顶点的四边形是平行四边形. 28【知识点】抛物线的顶点坐标，图形的运动问题，四边形的面积求法，平行四边形的判定。 【基本习题限时训练】1 .如果把直线y=2x+6沿y轴翻折，那么所得图形与 x轴的交点坐标为( (A) (3, 0); (B) (-3, 0); (C) 3;