理论力学课件：刚体平面运动微分方程

1、2质点系质点系对定点对定点“O”的动量矩的动量矩等于等于质系总动量对质系总动量对定点定点“O”之矩之矩加上加上质点系相对于质心的动量矩质点系相对于质心的动量矩 CCCOLvMrL xyOmiCrrrarx1y1C 质点系对固定点质点系对固定点“O”的动量矩的动量矩与与 相对于质心的动量矩之间的关系相对于质心的动量矩之间的关系复习复习3zvdm rA定轴转动刚体对该定轴的动量矩定轴转动刚体对该定轴的动量矩J z 为刚体对该轴的转动惯量。为刚体对该轴的转动惯量。 zzJL平面运动刚体平面运动刚体对面内对面内固定点固定点“O”的动量矩：的动量矩： CCzzOJvmmLL)(转向相同时，取同号；反之，

2、取异号转向相同时，取同号；反之，取异号4 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，的数学形式，而对于质心以外的其它动点，而对于质心以外的其它动点，一般不存在一般不存在这种简这种简单的关系。单的关系。四、质点系相对质心四、质点系相对质心 “ C ” 的动量矩定理：的动量矩定理： )(FMFrdtLdCeirCxyOmiCrirriarx1y1C5五、平面运动刚体相对质心五、平面运动刚体相对质心 “ C ” 的动量矩定理：的动量矩定理： )(FmJJzCC 六、刚体平面运动微分方程：六、刚体平面运动微分方程：)(eiCCFaM

3、rM )()()(321tftfytfxAA )(FmJJzCC 平面运动微分方程平面运动微分方程.)(eiCCjFaMaMj 61. 直角坐标式：直角坐标式： CCCeiyCCyeixCCxMJJFyMMaFxMMa )()(2. 自然坐标式：自然坐标式： CCCninCiCMJJFMaFMa 7问此种解法是否正确？问此种解法是否正确？为什么？为什么？已知均质轮已知均质轮O1，半径，半径R1，质量为，质量为m1; 均质轮均质轮O2，半径，半径R2，质量为，质量为m2，主动力矩，主动力矩M，阻力矩，阻力矩Mf，求，求1。思考题思考题1O1O2MMf222111 JJLo foMMJJdtdL

4、22111 8问此种解法是否正确？问此种解法是否正确？为什么？为什么？222212111)( mOOJJLo foMMdtdL 11O1O2MMf29 对对O1轮，有轮，有T1T1T2T2 对对O2轮，有轮，有正确解法正确解法MMfO1O2R2MMfMMfMMf 1 2R1 补充方程：补充方程：且：且：将将R2+R1可解得：可解得：T1T1T2T2T1T1T2T2T1T1T2T2121111RTRTMJ fMRTRTJ 222122 ;, 2211TTTT 2211 RR 2222211121,21RmJRmJ 例例4 . 质量为质量为m半径为半径为R的均质圆轮置放于倾角为的均质圆轮置放于倾角

5、为 的斜面上，的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为摩擦系数为f、f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解：取轮为研究对象。解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。受力分析如图示。由由式得式得 cosmgN 式中含有四个未知数式中含有四个未知数aC 、F F、（角加速度） 、N N ，需补充附加条需补充附加条件 。件 。 . .一般情况下轮作平面运动。一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有FmgmaC sin Nmg cos 0 FRJC NFm

6、gCa Oxy 运动分析：取直角坐标系运动分析：取直角坐标系 Oxy a C y = 0，a C x = a C1设接触面绝对光滑：设接触面绝对光滑：0 F sin32gaC 2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，设接触面足够粗糙。轮作纯滚动， 所以可解得所以可解得, raC FmgmaC sin FRJC 因为轮由静止开始运动，故因为轮由静止开始运动，故 0，轮沿斜面平动下滑。，轮沿斜面平动下滑。 sin gaC 常量。常量。 , 0 sin31 ; sin32 mgFgR NFmgCa OxygfaC)cos(sin 轮作纯滚动的条件：轮作纯滚动的条件： cossin31maxfmgFmgF t

7、g31 f表明：当表明：当 时，解答时，解答3适用；适用； 当当 时，解答时，解答2适用；适用；f =0 时解答时解答1适用。适用。 tg31 f tg31 fFmgmaC sin FRJC 3设轮与斜面间有滑动，又滚动。设轮与斜面间有滑动，又滚动。 F= f N，可解得：可解得： cos2 Rgf cos mgfF NFmgCa Oxy例例5. 均质圆柱，半径为均质圆柱，半径为r，重量为，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速，置圆柱于墙角。初始角速度度 0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。阻

8、不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象。解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个注意只是一个刚体刚体)受力分析如图示。受力分析如图示。运动分析：质心运动分析：质心C 不动，刚体绕质心转动。不动，刚体绕质心转动。根据刚体平面运动微分方程根据刚体平面运动微分方程)0 , 0( CyCxaaBAFN 0QNFBA 0rFrFdtdrgQBA 212 补充方程：补充方程：BBAANfFNfF , 0)1(2 QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222 fQfFfQfNfQfFfQNAABB , 2112rgfffdtd 解得：解得：) 1( 2)1(02fgfrft BAFN 0

9、QNFBA 0rFrFdtdrgQBA 212 补充方程：补充方程：BBAANfFNfF , tdtffrgfd020112 0 15例例6 . 两根质量各为两根质量各为8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T 字型，可绕通过字型，可绕通过O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OA处于水平位置时处于水平位置时, T 形杆具有角速度形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承。求该瞬时轴承O的反力。的反力。解：选解：选T 字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。受力分析如图示。受力分析如图示。5 . 08 . 9825. 08 . 985 . 0812172 5 . 025. 0 mgmgJO

10、2222121712131mlmlmlmlJO 由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程 rad/s20.75 2 16根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得OxCxCXmama 21mgmgYmamaOyCyC 21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221 xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982 OY17例例7. 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一绳缠在，一绳缠在绕固定轴绕固定轴O转动的圆柱转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重上，绳重

11、不计且不可伸长，不计轴不计且不可伸长，不计轴O处处摩擦。摩擦。求：求： 圆柱圆柱B下落时质心的加速度。下落时质心的加速度。 若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么，试问在什么条件下圆柱条件下圆柱B的质心将上升。的质心将上升。18选圆柱选圆柱B为研究对象为研究对象rTrgPB212 TPagPC 运动学关系：运动学关系：BACrra TrrgPA 221解：选圆柱解：选圆柱A为研究对象为研究对象由由、式得：式得：BA , 52rgBA gaC54 代入代入、式得：式得：19由动量矩定理：由动量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA 2)222()(22 rPMrgPragPrgPBcA 222222 补充运动学关系式：补充运动学关系式：BACrra 代入代入式，得式，得grPrPMarPMargPargPCCC 5)2(2 ; 222当当M 2Pr 时，时， ，圆柱，圆柱B的质心将上升。的